江西省南城县二中2023-2024学年高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

江西省南城县二中2023-2024学年高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的表面积为（）A. B.C. D.2．函数的图像大致是（）A. B.C. D.3．数列中，，，若，则（）A.2 B.3C.4 D.54．设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（）A. B.C. D.5．展开式中第3项的二项式系数为（）A.6 B.C.24 D.6．已知奇函数，则的解集为（）A. B.C. D.7．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.748．某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A.散点图 B.条形图C.茎叶图 D.扇形图9．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A. B.C. D.10．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°11．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，Р是这对相关曲线在第一象限的交点，则点Р与以为直径的圆的位置关系是（）A.在圆外 B.在圆上C.在圆内 D.不确定12．已知等比数列满足，则q＝（）A.1 B.－1C.3 D.－3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为椭圆上的一点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为______14．已知椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的一点，与椭圆交于.若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为_______15．已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为____________16．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间（1）求频率分布直方图中a的值：（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）18．（12分）已知函数.（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）当时，求函数f(x)的值域.19．（12分）设椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.20．（12分）中国共产党建党100周年华诞之际，某高校积极响应党和国家的号召，通过“增强防疫意识，激发爱国情怀”知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党100周年以来的丰功伟绩的传颂．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图（1）求值并估计中位数所在区间（2）需要从参赛选手中选出6人代表学校参与省里的此类比赛，你认为怎么选最合理，并说明理由21．（12分）已知数列的首项，其前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，且，求n.22．（10分）已知圆心在直线上，且过点、（1）求的标准方程；（2）已知过点的直线被所截得的弦长为4，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意画出几何体的图形，把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，由此能求出球的表面积【详解】把、、、扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与的距离为球的半径，，，是正三角形，，，球的表面积为故选：C2、B【解析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.【详解】当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，排除A、D；又由指数函数增长趋势，排除C.故选：B3、C【解析】由已知得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出，再利用等比数列求和可得答案.【详解】∵，∴，所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴，∴，则，解得.故选：C.4、C【解析】先求出代表的是以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），数形结合得到取得最小值时a的值，得到圆心C，利用点到直线距离求出圆心C到直线的距离，数形结合求出半径r的取值范围.【详解】，两边平方得：，即点P在以为圆心，2为半径的圆的位于x轴下方部分（包含x轴上的部分），如图所示：因为Q的坐标为，则在直线，过点A作⊥l于点，与半圆交于点，此时长为的最小值，则，所以直线：，与联立得：，所以，解得：，则圆C：，则，圆心到直线的距离为，要想圆C上恰有2个点到直线的距离为1，则.故选：C5、A【解析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.【详解】由题意，二项式展开式中第3项，所以展开式中第3项的二项式系数为.故选：A.6、A【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.【详解】的定义域为，因为是奇函数，所以，可得：，所以，经检验是奇函数，符合题意，所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增，由可得，即，解得：或，所以的解集为，故选：A.7、D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题8、A【解析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；故选：A9、B【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.【详解】由题意，，所以，，所以双曲线的渐近线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.10、B【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小【详解】如图，取AD中点为G，连接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故选：B11、A【解析】设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，根据题意可得，设，根据椭圆与双曲线的定义将分别用表示，设，再根据两点的距离公式将点的坐标用表示，从而可判断出点与圆的位置关系.【详解】解：设椭圆的长轴长为，椭圆的焦距为，双曲线的实轴长为，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则，所以，以为直径的圆的方程为，设，则有，所以，设，，所以①，②，则①②得，所以，所以，将代入②得，所以，，则点到圆心的距离为，所以点Р在以为直径的圆外.故选：A.12、C【解析】根据已知条件，利用等比数列的基本量列出方程，即可求得结果.【详解】因为，故可得；解得.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】根据椭圆的定义、点到圆上距离的最小值，即可得到答案；【详解】设为椭圆的左右焦点，则，等号成立，当共线，共线，的最小值为，故答案为：14、【解析】利用椭圆及三角形内切圆的性质可得、，结合等边三角形的性质得的大小，在△中应用余弦定理得到a、c的齐次式，即可求离心率.【详解】由题意知：由内切圆的性质得：,由椭圆的性质,而,∴,∴由内切圆的性质得：再由椭圆的性质,得：,由此，△为等边三角形,可得,在△中，由余弦定理得：，解得，则,故答案为：.15、【解析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，，而△的面积是△面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.16、【解析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则有：，，，，，可得：设，且则有：，可得：则有：故则当且仅当时，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）众数；中位数【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可；（2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可.【小问1详解】由,得【小问2详解】50名学生竞赛成绩的众数为设中位数为,则解得所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.418、（1）；（2）.【解析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出周期；（2）求出的范围，进而结合三角函数的性质求得答案.【小问1详解】，函数最小正周期为.【小问2详解】当时，，，∴，即函数的值域为.19、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根据椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.【详解】（1）因为椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为，联立得，则△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，所以，，①当时，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取”=”.②当时，.③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，综上，|AB|的取值范围为，即：【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(k为直线斜率)注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零20、（1）；中位数所在区间（2）选90分以上的人去参赛；答案见解析【解析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得a值，根据各组的频率，即可分析中位数所在区间.（2）计算可得之间共有6人，满足题意，分析即可得答案.【小问1详解】，解得成绩在区间上的频率为，，所以中位数所在区间，【小问2详解】选成绩最好的同学去参赛，分数在之间共有人，所以选90分以上的人去参赛．（其它方案如果合理也可以给分）21、（1）（2）【解析】（1）由条件得，则利用等差数列的定义可得答案；（2）利用裂项求和求出