圆及垂径定理（讲练10题型）

24.1.1&24.1.2圆及垂径定理圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

注意：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.题型1：圆的概念1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D．【变式11】下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心 B．以10m长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案．【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，∴C选项正确，故选：C．与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.题型2：与圆有关的概念2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)

①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）

②弦是直径；（）

③长度相等的两段弧是等弧；（）

④直径是圆中最长的弦.（）【答案】①√②×③×④√.

【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.

【总结】理解弦与直径的关系，等弧的定义.【变式21】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．【点评】本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大．【变式22】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．题型3：确定圆心和圆3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心；【分析】根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；【解答】解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；【变式31】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12BC为半径的圆上．圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.题型4：圆的对称性4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．【答案与解析】证明：过O点作OM⊥AB于M，交大圆与E、F两点.如图，则EF所在的直线是两圆的对称轴，所以AM=BM，CM=DM，故AC=BD.【变式41】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE＝DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE+DE＝BE+CE，即AD＝BC．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．【变式42】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．【分析】（1）作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，∴CD＝2CH＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．垂径定理及推论

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

常见辅助线做法（考点）：过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．题型5：垂径定理与计算5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．【答案】解：连接OC，如图所示：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=12CD∴OE=OB−EB=5−2=3，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=O∴CD=2CE=8．【解析】【分析】连接OC，先利用勾股定理求出CE的长，再根据垂径定理可得CD=2CE=8。【变式51】如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD=2，AB=12，求⊙O的半径．【答案】解：连接AO，∵点C是弦AB的中点，半径OD与AB相交于点C，∴OC⊥AB，∵AB=12，∴AC=BC=6，设⊙O的半径为R，∵CD=2，∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AO2=OC2+AC2，即：R2=（R2）2+62，∴R=10答：⊙O的半径长为10．【解析】【分析】连接AO，设⊙O的半径为R，则OA=R，OC=R2，利用垂径定理的推论得出OC⊥AB，AC=BC=6，利用勾股定理得出R2=（R2）2+62，再解方程即可。【变式52】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．【答案】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝16cm，∴CE＝12在Rt△OCE中，OC＝10cm，CE＝8cm，∴OE=O∴AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．【解析】【分析】先利用垂径定理求出CE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用线段的和差可得AE＝AO+OE＝10+6＝16（cm）．题型6：垂径定理与证明6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.【答案】证明：作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH，∵OC＝OD，OH⊥AB，∴CH＝DH，∴CH﹣AH＝DH﹣BH，即AC＝BD.【解析】【分析】作OH⊥AB于H，由垂径定理可得AH＝BH，根据等腰三角形的性质可得CH＝DH，然后根据线段的和差关系进行证明.【变式61】如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB，证明：OM＝CD．【分析】设圆的半径是r，ON＝x，则AB＝2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．【解答】证明：设圆的半径是r，ON＝x，则AB＝2x，在直角△CON中，CN＝＝，∵ON⊥CD，∴CD＝2CN＝2，∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝x，在△AOM中，OM＝＝，∴OM＝CD．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．【变式62】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：AC【答案】证明：作半径OE⊥AB交圆于E点.∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴AE=BE∴AE即：AC=【解析】【分析】作半径OE⊥AB交圆于E点，则OE⊥CD，由垂径定理可得AE=BE，题型7：垂径定理分类讨论问题7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1 B．3 C．3或4 D．1或7【答案】D【解析】【解答】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面CD，作ON⊥AB与CD、AB的交点为M、N由题意知OM⊥CD，CM=MD=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△DOM中，由勾股定理得OM=∴MN=ON−OM=1cm②如图2，宽度为8cm的油面EF，作PN⊥EF与AB、EF的交点为N、P，连接OB由题意知PN⊥AB，EP=PF=12在Rt△BON中，由勾股定理得ON=在Rt△EPO中，由勾股定理得OP=∴NP=ON+OP=7cm∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm；故答案为：D.【分析】分两种情况：①当油面没超过圆心O，油面宽为8cm；②当油面超过圆心O，油面宽为8cm；根据垂径定理及勾股定理分别解答即可.【变式71】已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A．6 B．221 C．6或221 D．以上说法都不对【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得．【解答】解：如图，①若CD＝8，则CF=12∵OC＝OA＝5，∴OF＝3，∵EF＝1，∴OE＝2，则AE=21∴AB＝2AE＝221；②若AB＝8，则AE=12∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，∵EF＝1，∴OF＝4，则CF＝3，∴CD＝2CF＝6；综上，另一弦长为6或221，故选：C．【变式72】已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【分析】分两种情况，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM=12AB=12×96＝48（cm），OD如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM=OA2∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC=AM2如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50﹣14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．题型8：垂径定理翻折问题8.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．【答案】43【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD=CD=12根据勾股定理，得：AD=OA2−O由垂径定理得，AB=2AD=43，故答案：43．【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的长度．【变式81】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长.【答案】解：如图：作OD⊥AB于D，连接OA.根据题意得：OD＝12再根据勾股定理得：AD＝0A2−0D2由垂径定理得：AB＝23cm.【解析】【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长.【变式82】如图,AB是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦CD⊥AB于点E,AB=10,BE=3.将阴影部分沿着弦AC翻折压平，翻折后，弧AC对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系为.【答案】点在圆外【解析】【解答】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧AC于G，∵AB=10,BE=3，∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,∵CD⊥AB,∴CE∴AC∵OF⊥AC，∴CF=12∴OF∵152∴OF>5∴FG<5∴OF>FG,∴点O与弧G所在圆的位置关系是点在圆外.故答案是：点在圆外.【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧AC于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系.题型9：垂径定理的应用拱桥问题9.如图所示，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点到弦的距离）为8m，求桥拱得半径R．【分析】首先得到OD⊥AB，根据勾股定理列出股定理得：R2＝202+（R﹣8）2，求出R即可解决问题．【解答】解：由题意得：OD⊥AB，CD＝8；则AD＝BD＝20，OD＝R﹣8；由勾股定理得：R2＝202+（R﹣8）2，解得：R＝29，即桥拱的半径R为29m．【点评】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．【变式91】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【答案】（1）解：连接OA，由题意得：AD=1在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）解：连接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）.∴A′B′＝32（米）.∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施.【解析】【分析】（1）连接OA，由垂径定理得AD=12AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可；

（2）连接OA′，则OE＝OP【变式92】如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）为20m，求桥拱所在圆的半径．【分析】设圆心为点E，作EF⊥AB，延长交圆于点C，根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作ED⊥AB，延长交圆于点C，则由垂径定理知，点D是AB的中点，AD＝BD＝AB＝40m，ED＝EC﹣CD＝AE﹣CD，由勾股定理知，AE2＝AD2+ED2＝AD2+（AE﹣CD）2，设圆的半径是r．则：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50答：桥拱所在圆的半径为50m．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

题型10：垂径定理的应用油管问题10.储油罐的截面如图所示，内径1000mm装入一些油后，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【分析】延长OC交⊙O于点D，先由垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出OC的长，进而可得出CD的长．【解答】解：延长OC交⊙O于点D，∵OC⊥AB于点C，∴BC＝AB＝×600＝300mm，∵⊙O的直径为1000mm∴OB＝500mm∵在Rt△OCB中，OC＝＝＝400mm，∴DC＝OD﹣OC＝500﹣400＝100（mm）．答：油的最大深度为100mm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式101】在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【答案】（1）解：作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，∴AF=12由勾股定理得，OF=OA则GF=OGOF=2dm；（2）解：连接OC，∵OE⊥CD，∴CE=12OE=OC则EF=OGOEFG=7dm，答：油的最大深度上升了7dm．【解析】【分析】(1)作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据勾股定理求出OF，计算即可；(2)连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．【变式102】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？【答案】（1）解：OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，∴AF=12AB=300mm，由勾股定理得，OF=OA（2）解：连接OC，∵OE⊥CD，∴CE=400mm，OE=OC【解析】【分析】（1）OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理得出AF的长，由勾股定理算出OF的长，最后根据GF=OG﹣OF即可算出答案；

（2）连接OC，根据垂径定理得出CE的长，根据勾股定理算出OE的长，由EF=OG﹣OE﹣FG算出EF的长，同理，当CD在圆心O上方时，可得EF的长，综上所述即可得出答案。一、单选题1．已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm【答案】B【解析】【解答】解：∵⊙O中，最长的弦长为16cm，即直径为16cm，∴⊙O的半径是8cm，故答案为：B．【分析】根据最长的弦长为16cm，即直径为16cm，再求解即可。2．如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A．5 B．10 C．8 D．6【答案】A【解析】【解答】连接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=12AB=1在Rt△OAC中，OA=O【分析】连接OA，根据垂径定理得出AC=12AB=13．如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（）A．2 B．23 C．4 D．【答案】D【解析】【解答】连接OB，∵直径CD=8，AB⊥CD，OM=2∴BM=O=4=23根据垂径定理，得AB=2BM=43故答案为：D．【分析】连接OB，利用勾股定理求出BM的长，再利用垂径定理可得AB=2BM=434．下列说法正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦C．直径是同一个圆中最长的弦 D．过三点能确定一个圆【答案】C【解析】【解答】解：A、长度相等的两条弧是等弧，错误．B、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；C、过三点能确定一个圆，此命题错误；故选C．【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．（1）等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧．长度相等的两条弧，不一定能够完全重合；（2）此弦不能是直径；（3）相等的圆心角所对的弦相等指的是在同圆或等圆中．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，∠DOB=60°，EB=2，那么CD的长为（）A．3 B．23 C．33 D．43【答案】D【解析】【解答】解：∵∠DOB=60°，∴∠BCE=30°．在Rt△BCE中，∵BE=2，∠BCE=30°，∴BC=4，CE=BC∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2CE=43，故选D．【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可以容易求出∠BCE=30°，在直角三角形BCE中，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理算出CE的长，最后根据垂径定理求得CD的长6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，连接OD.∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝16，∴CE＝DE＝12又∵OD＝12∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，∴OE＝OD则OE的长度为6，故答案为：C.【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长.二、填空题7．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于.【答案】6【解析】【解答】据垂径定理和勾股定理可以计算出弦心距等于6.【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点.8．如图，在半径为6的⊙O中，劣弧AB的度数是120°，则弦AB的长是．【答案】6【解析】【解答】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，则AC＝BC＝12∵劣弧AB的度数是120°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴AC＝OA•cosA＝6×32＝33∴AB＝2AC＝63，故答案为：63．【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，先求出∠A＝∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2AC＝63。9．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于°．【答案】6；90【解析】【解答】解：∵AB为⊙M的直径，∴AB=4，当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，而O点到AB的距离最大为OM的长，∴△AOB的面积的最大值=12∠AMO=90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．故答案为：6；90.【分析】由条件可知AB定长是4，当OM⊥AB时△AOB的面积最大，据此即可解答。10．已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8，则AC的长为．【答案】45或25【解析】【解答】解：连结OA，∵AB⊥CD，∴AM=BM=12AB=1在Rt△OAM中，OA=5，∴OM=OA当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8，在Rt△ACM中，AC=AM2+C当如图2时，CM=OC﹣OM=5﹣3=2，在Rt△ACM中，AC=AM2+C故答案为45或25．【分析】连结OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM=4，再根据勾股定理计算出OM=3，然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当如图2时，CM=2，再利用勾股定理分别计算即可．三、计算题11．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.（1）请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；（2）若这个圆的半径为10cm，请求出弦心距为5cm的弦长.【答案】（1）解：作出圆的两条弦的垂直平分线的交点O，如图所示：（2）解：由题意得下图：其中OC=10，OD=5，在Rt△OCD中根据勾股定理得；CD=O∴圆的半径为10cm，弦心距为5cm的弦长为：2CD=103【解析】【分析】（1）在弧AB上任意取一点C，连接AC、BC，作线段AC、BC的垂直平分线，两线的交点O即为所求；

（2）由题意得OC=10，OD=5，利用勾股定理求出DC的长，由垂径定理即可求出结论.四、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD.【答案】解：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BEDE=AECE.即AC=BD.【解析】【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可知CE=DE、AE=BE，利用等式性质即可证明。13．如图为桥洞的形状，其正视图是由CD和矩形ABCD构成．O点为CD所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F）EF为2米．求CD所在⊙O的半径DO．【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，C