2022年江苏省苏州市草桥实验中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022年江苏省苏州市草桥实验中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线被圆所截得的弦长为，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】可得圆心到直线的距离d，由弦长为，可得a的值，可得直线的斜率.【详解】解：可得圆心（0，0）到直线的距离，由直线与圆相交可得，，可得d=1，即=1，可得，可得直线方程：，故斜率为，故选D.【点睛】本题主要考察点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，相对简单.2.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆都相切，则双曲线C的离心率是（

）A．2或

B．2或

C.或

D．或参考答案：A3.已知函数，其中，，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（

）A.11 B.13 C.15 D.17参考答案：C【分析】先根据x为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，判断ω为正奇数，再结合f（x）在区间上单调，求得ω的范围，对选项检验即可．【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，∴?，n∈Z，∴ω＝2n+1．f（x）在区间上有最小值无最大值，∴周期T≥（），即，∴ω≤16．∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），在区间上，15x∈（，），此时f（x）在时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．4.若集合，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线参考答案：A6.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 A． B．

C．

D．参考答案：B略7.如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（）A．DC1⊥D1P B．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90° D．AP+PD1的最小值为参考答案：C【考点】棱柱的结构特征．【专题】应用题；空间位置关系与距离．【分析】利用DC1⊥面A1BCD1，可得DC1⊥D1P，A正确利用平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，得出平面D1A1P⊥平面A1AP，B正确；当A1P=时，∠APD1为直角，当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值．【解答】解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°利用余弦定理解三角形得AD1=，即AP+PD1≥，∴D正确．故选：C．【点评】本题考查正方体的结构特征，空间位置关系的判定，转化的思想．8.已知实数a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c=，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意利用余弦函数的值域和单调性，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：实数a=cos224°﹣sin224°=cos48°，b=1﹣2sin225°=cos50°，c==tan46°＞1，再根据余弦函数y=cosx在（0°，90°）上单调递减，且它的值域为（0，1），可得c＞a＞b，故选：B．9.已知函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点．则c=

A．一2或2

B．一9或3

C．一1或1

D．一3或1参考答案：10.运行如右所示的程序框图，输入下列四个函数，则可以输出的函数是 （

） A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则=．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由题设知直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，联立，解得A（﹣，P），B（，﹣），直线OA的方程为：y=，联立，解得D（﹣，﹣），由此能求出．【解答】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）∴直线OA的方程为：y=，联立，解得D（﹣，﹣）∴|BD|==，∵|OF|=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．12.设直线的方向向量是，直线的法向量是，若与平行，则_________.参考答案：13.已知sin（）=，且＜α＜，则cosα的值为

．

参考答案：考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围求出的范围，由平方关系求出的值，由和两角差的余弦公式求出cosα的值．解答：解：由题意得，，则，∵，∴，∴cosα====，故答案为：．点评：本题考查了平方关系，两角差的余弦公式，以及三角函数符号的应用，注意三角函数的符号和角之间的关系．14.．不等式的解集为

．参考答案：略15.（09年扬州中学2月月考）如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于

▲

参考答案：答案：

16.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为

。参考答案：17.函数f(x)＝则y＝f(x＋1)的图象大致是________．参考答案：②

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金.曲库中歌曲足够多，不重复抽取.比赛共分7关：前4关播放常见歌曲；第5,6关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1：4；第7关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金.关卡关卡奖金/元累计奖金/元110001000220003000330006000440001000058000180006120003000072000050000（Ⅰ）选手甲准备参赛，在家进行自我测试：50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率.①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6关的概率是多少？②在比赛前，甲计划若能通过第1,2,3关的任意一关，则继续；若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学期望；（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p，且他已经顺利通过前6关，

当p满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？．参考答案：略19.已知向量，互相垂直，其中．（）求，的值．（）若，，求的值．参考答案：见解析（）∵，∴，即，又∵，，∴，．（）∵∴，又，，∴．

20.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，E为PB中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求点P到平面ACE的距离．

参考答案：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）

略21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的数量积求出二面角P﹣EC﹣D的大小，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…（7分）又EF?平面MEC，AN?平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，﹣1，h），=（，﹣2，0），=（0，﹣1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令y=h，∴=（2h，h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），∴cos＜，＞===，解得h=，∴在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角P﹣EC﹣D的大小为．【点评】本题考查存在性问题，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．22.（14分）（2014?宜春校级模拟）设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f′（）=﹣4，解出a的值即可；（Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a≥0，a＜0两种情况，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅲ）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，利用分析法和根据（II）结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论．【解答】解：（I）由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx，则．又∵f（x）的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，∴，即4a×+×（a+4）+1=﹣1，解得

a=﹣6．…（4分）（Ⅱ）由（I）得，，由题知f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx的定义域为（0，+∞），由x＞0，得＞0．①当a≥0时，对任意x＞0，f′（x）＞0，∴此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，此时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（Ⅲ）不妨设A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，由