广东省揭阳市惠来一中2023年数学高二上期末达标检测模拟试题含解析

广东省揭阳市惠来一中2023年数学高二上期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（）A. B.C. D.2．关于的不等式的解集为（）A. B.C.或 D.3．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（）A. B.C. D.4．设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（）A. B.C. D.5．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（）A. B.C. D.6．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）A.5 B.3C.4 D.27．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.8．已知集合，，则A. B.C. D.9．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B.C.2 D.10．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或11．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是A. B.C. D.12．已知命题：，；命题：，使，若“”为假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校有高一学生人，高二学生人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为的样本，已知从高一学生中抽取人，则________14．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该几何体的体积为________.15．已知圆关于直线对称，则________16．若无论实数取何值，直线与圆恒有两个公共点，则实数的取值范围为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由18．（12分）已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的（1）求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程19．（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数a的取值范围.20．（12分）已知椭圆C：过两点（1）求C的方程；（2）定点M坐标为，过C右焦点的直线与C交于P，Q两点，判断是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由21．（12分）已知，其中.（1）若,求在处的切线方程；（2）若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值；（3）讨论函数的单调性.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.【详解】，在上是增函数，即恒成立，；设，；∴时，是增函数；时，是减函数；故时，，∴；故选：B.2、C【解析】求出不等式对应方程的根，结合不等式和二次函数的关系，即可得到结果.【详解】不等式对应方程的两根为，因为，故可得，根据二次不等式以及二次函数的关系可得不等式的解集为或.故选：C.【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，属基础题.3、C【解析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C4、C【解析】据三角形中位线可得；再由双曲线的定义求出，进而求出的面积【详解】双曲线的方程为：，，设以为直径的圆与直线相切与点，则，且，，∥.又为的中点，，又，，的面积为：.故选:C5、D【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.故选：D.6、B【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.故选：B.7、B【解析】根据a的值和离心率可求得b,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为，知，则，即有，故，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选：B.8、B【解析】由交集定义直接求解即可.【详解】集合，，则.故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.9、D【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离.当，即时，距离有最大值为.故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.10、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.【详解】不等式解集为，即的二根是1和2，利用根和系数的关系可知，故不等式即转化成，即，等价于或者，解得或，或者.故解集为，或，或.故选：D.【点睛】分式不等式的解法：（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.11、D【解析】转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.【详解】设，圆心为，则，当时，取到最大值，∴最大值为故选：D.【点睛】本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论12、D【解析】根据题意，判断命题和的真假性，结合判别式与二次函数恒成立问题，即可求解.【详解】根据题意，由为假命题可得“”为真命题，即p、q都为真命题，故，解得故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据分层抽样的等比例性质列方程，即可样本容量n.【详解】由分层抽样的性质知：，可得.故答案为：14、【解析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，由，求得底面半径，进而得到高，再利用锥体的体积公式求解.【详解】设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，所以，解得，所以，所以圆锥的体积为：，故该几何体的体积为，故答案为：15、1【解析】根据题意，圆心在直线上，进而求得答案.【详解】由题意，圆心在直线上，则.故答案为：1.16、【解析】根据点到直线的距离公式得到，根据，解不等式得到答案.【详解】依题意有圆心到直线的距离，即，又无论取何值，，故，故.故答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值【小问1详解】由题意知，，根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆的方程为，则，，曲线的方程为；【小问2详解】由题意知直线的方程为且m≠0)，设直线与椭圆的交点为，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，为．18、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程【详解】解（1）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角为，斜率为，又直线过点，∴直线的方程为，即；（2）设直线的方程为，则点到直线的距离，解得或∴直线的方程为或19、（1）在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值（2）【解析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案【小问1详解】当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.【小问2详解】因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围20、（1）；（2）为定值.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求解即可；（2）对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化，求解即可.【小问1详解】因为椭圆过两点，故可得，解得，故椭圆方程为：.【小问2详解】由（1）可得：，故椭圆的右焦点的坐标为；当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为：，代入椭圆方程，可得，不妨取，又，故.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立椭圆方程，可得：，设坐标为，故可得，则.综上所述，为定值.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中的定值问题；处理问题的关键是合理的利用韦达定理，将目标式进行转化，属中档题.21、（1）；（2）最大值为5，最小值为；（3）答案见解析.【解析】（1）求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；（2）根据求出a，进而求出函数的单调区间，然后求出函数的最值；（3）先求出导函数，然后讨论a的取值范围，进而求出函数的单调区间.【小问1详解】当时，，，切点坐标为，，切线的斜率为，切线方程为，即.【小问2详解】，是函数的极小值点，，即，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，，函数在区间上的最大值为5，最小值为.【小问3详解】函数的定义域为，，令得，.①当时，，函数在R上单调递增；②当时，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为；③当时，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为.综上：时，，函数R上单调递增；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为