三角函数恒等变形及解三角形练习题及答案

三角函数恒等变形及解三角形练习题一选择题1.若且，则的值为（）A.B.C.D.2.若则（）A.B．C.D．3.在中,,则等于()A. B. C. D.4.在△ABC中，，若此三角形有两解，则b的范围为（）A．B．b>2C．b<2D．5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定6.若的三个内角A,B,C满足,则()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形7．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为(A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)8.设函数的定义域为，且，且对任意若是直角三角形的三边长，且也能成为三角形的三边长，则的最小值为()A.B.C.D.二填空题9.在中,内角所对边的长分别为则角的大小为10.在中，若，则角B=11.已知cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，则cosβ=12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，则角A的大小为三解答题13.在中，内角所对的边分别是.已知，，.（1）求的值；（2）求的面积.14.已知向量，向量，函数.(1)求的最小正周期；(2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，且恰是在上的最大值，求，和的面积.15.在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若的最大值．16.已知，其中，，且，若相邻两对称轴间的距离不小于。（1）求的取值范围.（2）在中，、、分别是角、、的对边，，，当最大时，,求的面积.17.已知的角所对的边分别是，设向量，，.（I）若∥，求角B的大小；（II）若，边长，求的面积的最大值．18.已知函数,的最大值为2．（Ⅰ）求函数在上的值域；(Ⅱ)已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．19.在中，（1）求角B（2）若，求的值20.已知向量=（），=（,）,,函数，其最小正周期为.（1）求函数的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．答案1.A2.C3.D4.A∵在△ABC中，a=2，A=45°，且此三角形有两解，

∴由正弦定理=2，∴b=2sinA，B+C=180°-45°=135°，

由B有两个值，得到这两个值互补，

若B≤45°，则和B互补的角大于等于135°，这样A+B≥180°，不成立；

∴45°＜B＜135°，又若B=90，这样补角也是90°，一解，

∴＜sinB＜1，b=2sinB，则2＜b＜2，故选：A．5.A解析：解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；

新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．

而（a+x）2+（b+x）2-（c+x）2=x2+2（a+b-c）x＞0，

由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A6.C7.C8.A解析：不妨设为斜边，则，由题意可得即即所以选A.9.150°10.或.11.1/2解析：∵0<α<eq\f(π,2)且cosα＝eq\f(1,7)<coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)，又0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<α＋β<π，又sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)<eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(2π,3)<α＋β<π.∴cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\f(11,14)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).12.解析：由sinB＋cosB＝eq\r(2)得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，因为0<B<π，所以B＝eq\f(π,4).又因为a＝eq\r(2)，b＝2，所以在△ABC中，由正弦定理得eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(2,sin\f(π,4))，解得sinA＝eq\f(1,2).又a<b，所以A<B＝eq\f(π,4)，所以A＝.13.（1）；（2）14.(1)；(2)，，解析：(1)因为，所以(2)由(1)知：当时,由正弦函数图象可知,当时取得最大值。所以,由余弦定理，∴∴从而15.(Ⅰ)eq\f(π,3)(Ⅱ)4(Ⅰ)由eq\r(3)a－2csinA＝0及正弦定理，得eq\r(3)sinA－2sinCsinA＝0(sinA≠0)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵△ABC是锐角三角形，∴C＝eq\f(π,3)(Ⅱ)∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，由余弦定理，a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝4，即a2＋b2－ab＝4∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即(a＋b)2≤16，∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”故a＋b的最大值是4.16.（1）（2）对称轴为，∴（1）由得得（2）由（1）知∴ ∵∴∵∴ 由得 ∴17.解析：（1）∵∥，（2）由得，由均值不等式有（当且仅当时等号成立），又,所以,从而（当且仅当时等号成立），于是，即当时，的面积有最大值．18.(1)(2)解析：（1）由题意，的最大值为，所以．而，于是，．在上递增．在