关于带元素a的带带辅助陪集

关于带元素a的带带辅助陪集

1右待集的性质设置g是h的一组，hg，ag。a组的左一组ah和右组ha被称为h组的侧面组。性质1设G是一个群,H≤G,a,b,c∈G,则1)若cH=bH,则有acH=abH;2)若Hc=Hb,则有Hca=Hba;3)若cH=bH,则cHa=bHa;4)(ab)H=a(bH)=abH.证1)任取ach∈acH,由于cH=bH,所以ch=bh1,因此ach=abh1∈abH,故acH⊆abH.同理可得,abH⊆acH,因此acH=abH.类似可以证明2)、3)、4).性质2设G是一个群,H≤G,e是G的单位元,a,b,c是G中任意元素,则以下30个命题等价:1)aH=bH,2)H=a-1bH,3)H=b-1aH,4)a-1b∈H,5)b-1a∈H,6)a∈bH,7)b∈aH,8)e∈a-1bH,9)e∈b-1aH,10)aH⊆bH,11)bH⊆aH,12)aH∩bH≠ϕ,13)a∈aH∩bH,14)b∈aH∩bH,15)H=Ha-1b,16)H=Hb-1a,17)Ha-1=Hb-1,18)a-1∈Hb-1,19)b-1∈Ha-1,20)e∈Ha-1b,21)e∈Hb-1a,22)Ha-1⊆Hb-1,23)Hb-1⊆Ha-1,24)Ha-1∩Hb-1≠ϕ25)a-1∈Ha-1∩Hb-1,26)b-1∈Ha-1∩Hb-1,27)caH=cbH,28)Ha-1c=Hb-1c,29)aHc=bHc,30)cHa-1=cHb-1.性质3设G是一个群,H≤G,则对于任意a∈G,Ha-1恰由aH中的每个元素的逆元组成.即有:Ha-1={x-1|x∈aH}.证设A={x-1|x∈aH},任取ha-1∈Ha-1,其中h∈H,因为ha-1=(ah-1)-1,且ah-1∈aH,所以(ah-1)-1∈A,故ha-1∈A,因此Ha-1⊆A.又任取x-1∈A,其中x∈aH,则x=ah1,所以x-1=(ah1)-1=h1-1a-1∈Ha-1,因此A⊆Ha-1,所以Ha-1=A={x-1|x∈aH}.类似性质2,我们可以得出关于右陪集相等的如下性质.性质4设G是一个群,H≤G,e是G的单位元,a,b,c是G中任意元素,则以下30个命题等价:1)Ha=Hb,2)H=Hba-1,3)H=Hab-1,4)ab-1∈H,5)ba-1∈H,6)a∈Hb,7)b∈Ha,8)e∈Hba-1,9)e∈Hab-1,10)Ha⊆Hb,11)Hb⊆Ha,12)Ha∩Hb≠ϕ,13)a∈Ha∩Hb,14)b∈Ha∩Hb,15)H=ab-1H,16)H=ba-1H,17)a-1H=b-1H,18)a-1∈b-1H,19)b-1∈a-1H,20)e∈ab-1H,21)e∈ba-1H,22)a-1H⊆b-1H,23)b-1H⊆a-1H,24)a-1H∩b-1H≠ϕ25)a-1∈a-1H∩b-1H,26)b-1∈a-1H∩b-1H,27)Hac=Hbc,28)ca-1H=cb-1H,29)cHa=cHb,30)a-1Hc=b-1Hc.2ahbg的表征定义1设G是一个群,H≤G,a,b∈G,称G的子集aHb={axb|x∈H}为群G关于H的一个双侧陪集.由定义可知,ab∈aHb.性质5双侧陪集b-1Ha-1恰由双侧陪集aHb中每个元素的逆元组成,即:b-1Ha-1={x-1|x∈aHb}.证设A={x-1|x∈aHb},对于任意b-1ha-1∈b-1Ha-1,其中h∈H,由于b-1ha-1=(ah-1b)-1,且ah-1b∈aHb,所以b-1ha-1∈A,从而b-1Ha-1⊆A;又任取x-1∈A,其中x∈aHb,设x=ahb,则x-1=(ahb)-1=b-1h-1a-1∈b-1Ha-1,所以A⊆b-1Ha-1,因此b-1Ha-1=A={x-1|x∈aHb}.性质6设G是群,H≤G,则对于任意a∈G,都有aHa-1≤G.证因为e=aea-1∈aHa-1,所以aHa-1≠ϕ;又对任意ah1a-1、ah2a-1∈aHa-1,都有(ah1a-1)(ah2a-1)=ah1h2a-1∈aHa-1,(ah1a-1)-1=ah1-1a-1∈aHa-1,因此aHa-1≤G.性质7设G是一个群,H≤G,则aHb≤G⇔b-1Ha-1≤G.证必要性:设aHb≤G,则e∈aHb,因此e=ahb,a-1=hb∈Hb,所以Ha-1=Hb,从而有b-1Ha-1=b-1Hb,由性质2知,b-1Hb≤G,所以b-1Ha-1≤G.充分性:若b-1Ha-1≤G,则e∈b-1Ha-1,因此e=b-1ha-1,b=ha-1∈Ha-1,所以Hb=Ha-1,从而有aHb=aHa-1,由性质2知,a-1Ha≤G,所以aHb≤G.性质8设G是一个群,H≤G,a,b,c∈G,1)若aHb=H,则有aH=Hb-1;2)若Hc=Hb,则有Hca=Hba;3)若cH=bH,则cHa=bHa;4)(ab