专题六-随机变量及其分布列、统计案例-Word版含解析

专题六随机变量及其分布列、统计案例一、题之源：课本基础知识1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))pi＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))4．条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).5.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也相互独立．6．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)7．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差．8．均值与方差的性质eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(（1）E（aX＋b）＝aE（X）＋b,（2）D（aX＋b）＝a2D（X）))(a，b为常数)．9．两点分布与二项分布的均值、方差XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)p(p为成功概率)npD(X)p(1－p)np(1－p)10.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．11．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．12．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))xieq\s\up4(2)－neq\o(x,\s\up6(－))eq\s\up4(2))，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))．(3)通过求Q＝eq\o(\s\do8(i＝1),∑,\s\up6(n))(yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．13．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．二、题之本：思想方法技巧1.求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出.(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率.对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验恰有k次发生的概率等，都要能熟练计算.(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.2.分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率.在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.3.可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等.注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.4.“独立”与“互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型).两事件相互独立通常不互斥，两事件互斥通常不独立.5.条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(3)为了求一些复杂事件的条件概率，往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和，利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)进行计算，其中B，C互斥.6.对n次独立重复试验的理解(1)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率.实际上，Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k正好是二项式(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项.这也是二项分布名称的由来.(2)要弄清n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k与Pk＝(1－p)k－1p的区别.7.相互独立事件同时发生的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算.8.正确理解独立重复试验与独立事件间的关系独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在每次试验中，事件发生的概率均相等.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样.一般地，有“恰好”等字眼的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字眼的题目用对立事件的概率公式计算更简单一样.9.均值与方差的常用性质掌握下述有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)；D(aX＋b)＝a2D(X).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).10.计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求.11.(1)在实际中经常用均值来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；(2)注意离散型随机变量的均值、方差与样本数据的平均数、方差的区别与联系.12.正态曲线的性质特点可用来求其数学期望μ和标准差σ：正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，据此结合图象可求μ；正态曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,\r(2π)σ)，据此结合图象可求σ.13.能熟练应用正态曲线的对称性解题，并注意以下几点：(1)正态曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；(3)几个常用公式：P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)(即第(2)条)；若b>0，则P(X<μ－b)＝eq\f(1－P（μ－b<X≤μ＋b）,2).14.无论是正态分布的正向或逆向的应用问题，关键都是先确定μ，σ，然后利用对称性，将所求概率转化到三个特殊区间.15．在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．16．分析两个变量相关关系的常用方法：(1)利用散点图进行判断；(2)利用相关系数r进行判断．17．(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．(2)根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值．(3)用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数，，由于，的计算量较大，计算时应仔细小心．18．线性回归分析的方法、步骤(1)画出两个变量的散点图；(2)求相关系数r，并确定两个变量的相关程度的高低；(3)用最小二乘法求回归直线方程＝x＋，(4)利用回归直线方程进行预报．注：①对于非线性(可线性化)的回归分析，一般是利用条件及我们熟识的函数模型，将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析，最后还原．②利用相关指数R2＝1－刻画回归效果时，R2越大，意味着残差平方和越小，模型的拟合效果越好.19．独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K2的观测值，其中K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)；(3)把K2的值与临界值比较，作出合理的判断．20．独立性检验的注意事项(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．(2)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．三、题之变：课本典例改编1.原题（选修2-3第八十六页例2）一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立与之间的回归方程。温度21232527293235产卵数个711212466115325改编为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物