安徽省肥东县圣泉中学2023年数学高二上期末学业质量监测模拟试题含解析

安徽省肥东县圣泉中学2023年数学高二上期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列为等比数列，，则的值为（）A. B.C. D.22．设异面直线、的方向向量分别为，，则异面直线与所成角的大小为（）A. B.C. D.3．已知数列满足，则（）A.32 B.C.1320 D.4．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把名使用疫苗的人与另外名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列结论中，正确的结论是（）A.若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病B.这种疫苗预防的有效率为C.在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”D.有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用5．在平面直角坐标系xOy中，点（0,4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)6．已知是椭圆两个焦点，P在椭圆上，，且当时，的面积最大，则椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.7．“”是“方程是圆的方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数01234概率0.10.16030.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.749．已知焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B.C.2 D.10．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A.4 B.C.2 D.不确定11．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺12．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（）A.4 B.8C.16 D.32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知长方体中，，，则点到平面的距离为______14．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）15．设，若，则S＝________.16．若直线过圆的圆心，则实数a的值为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.（1）求和；（2）若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知定义域为的函数是奇函数，其中为指数函数且的图象过点（1）求的表达式；（2）若对任意的．不等式恒成立，求实数的取值范围；19．（12分）已知数列的首项，，，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和20．（12分）已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.21．（12分）已知数列满足，，数列前项和为.（1）求数列，的通项公式；（2）表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.22．（10分）已知直线方程为（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据等比数列的性质计算.【详解】由等比数列的性质可知，且等比数列奇数项的符号相同，所以，即.故选：B2、C【解析】利用空间向量夹角的公式直接求解.【详解】，，，.由异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成的角为.故选：C3、A【解析】先令，求出，再当时，由，可得，然后两式相比，求出，从而可求出，进而可求得答案【详解】当时，，当时，由，可得，两式相除可得，所以，所以，故选：A4、C【解析】根据的值与临界值的大小关系进行判断.【详解】∵，，∴在犯错误的概率不超过的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”，C对，由已知数据不能确定若某人未使用该疫苗，则他在一年中有的可能性生病，A错，由已知数据不能判断这种疫苗预防的有效率为，B错，由已知数据没有的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用,D错，故选：C.5、D【解析】设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可【详解】解：设点(0,4)关于直线x－y+1＝0的对称点是(a,b),则，解得：，故选：D6、A【解析】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，即可解出【详解】由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，∵时，△F1PF2的面积最大，∴a＝＝，b＝∴椭圆的标准方程为故选：A7、A【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】若方程表示圆，则，即，解得或，故“”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件，故选：A8、D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：故选：D【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题9、D【解析】由题意，化简即可得出双曲线的离心率【详解】解：由题意，.故选：D10、A【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A11、B【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故所以冬至当日日影长为.故选：B12、B【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##2.4【解析】过作于，可证即为点到平面的距离.【详解】过作于，∵是长方体，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，设点到平面的距离为，∵∥平面，∴根据等面积法得，故答案为：.14、①.6；②..【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，即所以故答案为：6；15、1007【解析】可证f（x）+f（1﹣x）＝1，由倒序相加法可得所求为1007对的组合，即1007个1，可得答案【详解】解：∵函数f（x），∴f（x）+f（1﹣x）1故可得S＝f（）+f（）…+f（）＝1007×1＝1007,故答案为：1007点睛】本题考查倒序相加法求和，推断出f（x）+f（1﹣x）＝1是解题的关键.16、【解析】根据圆的求得圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，即可求解.【详解】由题意，圆，可得圆心为，因为圆心为在直线上，可得，解得.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得数列的和；（2）由题得，再利用分组求和求出，得到，令，判断函数的单调性得解.【详解】（1）设数列的公差为，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由题意：，，，令，则，即对任意的恒成立，是单调递增数列，，只需，所以.【点睛】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.18、（1）；（2）.【解析】（1）设（且），因为的图象过点，求得a的值，再根据函数f(x)是奇函数，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，检验是奇函数即可；（2）将分式分离常数后，利用指数函数的性质可以判定f(x)在R上单调递减，进而结合奇函数的性质将不等式转化为二次不等式，根据二次函数的图象和性质，求得对于对任意的恒成立时a的取值范围即可.【详解】解：（1）由题意，设（且），因为的图象过点，可得，解得，即，所以，又因为为上的奇函数，可得，即，解得，经检验，符合，所以（2）由函数，可得在上单调递减，又因为为奇函数，所以，所以，即，又因为对任意的，不等式恒成立，令，即对任意的恒成立，可得，即，解得，所以实数的取值范围为【点睛】本题考查函数的奇偶性，指数函数及其性质和函数不等式恒成立问题，关键是利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为二次不等式在闭区间上恒成立问题，然后利用二次函数的图象转化为二次函数的端点值满足的条件.另外注意，第一问中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意检验对于任意的实数x，f(x)=-f(-x)恒成立.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用等比数列的定义即可证明.（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】当时，，所以：数列是公比为3的等比数列；【小问2详解】由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，所以：，所以：，，所以，①所以，②①②可得.20、(1)(2)，或【解析】（1）由椭圆的性质可知：，解得a和c的值，即可求得椭圆C的标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得：，，λ，根据向量的坐标坐标，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得实数m的取值范围【详解】(1)由已知，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由已知,设，联立方程组，消得，由韦达定理得①②因为，所以，所以③，将③代入①②，，消去得，所以.因为，所以，即，解得，所以，或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的坐标表示，不等式的解法，考查计算能力，属于中档题21、（1），（2）证明见解析【解析】(1)利用累加法求通项公式，利用通项公式与前n项和公式的关系可求的通项公式；(2)求出并判断其范围，求出，利用裂项相消法求的前n项和即可证明.【小问1详解】由题可知，当n≥2时，＝当n＝1时，也符合上式，∴；当时，，当n＝1时，也符合上式，∴；【小问2详解