新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布课件新人教A版选择性必修第三册

第七章7.4.2超几何分布基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.了解超几何分布及其均值.2.能用超几何分布解决简单的实际问题.基础落实·必备知识全过关知识点

超几何分布1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为每抽取一次,产品件数就减少1件P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.2.超几何分布的均值:E(X)==np(p为次品率).过关自诊1.超几何分布与二项分布的期望有何规律?提示

超几何分布与二项分布的期望都为np.(对于超几何分布,p是N件产品的次品率;对于二项分布,p是在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率)2.设袋中有80个红球、20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为(

)D解析

取出的红球个数服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.由超几何分布的概率公式,知从中取出的10个球中恰有6个红球的概率为3.今有电子元件50个,其中一级品45个,二级品5个,从中任取3个,则出现二级品的概率为(

)C4.[北师大版教材习题]从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的均值.解

(1)设所选的3人中女生人数为随机变量X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,所以X的分布列为

重难探究·能力素养全提升探究点一超几何分布概率公式的应用【例1】

[2023湖北武汉期中]某班组织知识竞赛,已知题目共有10道,随机抽取3道让某人回答,规定至少要答对其中2道才能通过初试,他只能答对其中6道,试求:(1)抽到他能答对题目数的分布列;(2)他能通过初试的概率.解

(1)设随机抽出的三道题目此人能答对的道数为X,则X=0,1,2,3,X服从超几何分布,计算的具体结果如下表所示.(2)至少要答对其中2道才能通过初试,则可以通过初试包括两种情况,这两种情况是互斥的,根据上一问的计算可以得到P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=规律方法

1.解答超几何分布概率公式的应用问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.2.注意公式中M,N,n的含义,并明确所求的事件.变式训练1在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为

.(结果用最简分数表示)

探究点二求超几何分布的分布列【例2】

一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.变式探究

在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.规律方法

超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式

求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.探究点三二项分布与超几何分布的区别与联系【例3】

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图如图.(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列,并求其均值;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.解

(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的可能取值为0,1,2,X服从超几何分布.规律方法

不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.变式训练2在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求:(1)不放回抽样时,抽取次品数X的均值;(2)放回抽样时,抽取次品数Y的均值与方差.本节要点归纳1.知识清单:(1)超几何分布的概念及特征;(2)超几何分布的概率、分布列、均值;(3)超几何分布与二项分布的区别与联系.2.方法归纳:公式法、类比法.3.常见误区:容易将超几何分布与二项分布混淆,前者是不放回抽样,后者是有放回抽样.成果验收·课堂达标检测12341.(多选题)下列随机变量服从超几何分布的有(

)A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为XB.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为XABD解析

依据超几何分布模型定义可知,A,B,D项中随机变量X服从超几何分布.而C项显然不能看作一个不放回抽样问题,故不服从超几何分布.12342.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从班级中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是

.

12343.有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为

.(用式子表示)

12344.在元旦晚会上,数学老师设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球