新教材2023-2024学年高中数学第7章随机变量及其分布7.2离散型随机变量及其分布列课件新人教A版选择性必修第三册

第七章7.2离散型随机变量及其分布列基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.3.会求简单的离散型随机变量的分布列.基础落实·必备知识全过关知识点1

离散型随机变量1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为

.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.

取值个数可能是无限的,但是能一一列举2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.随机变量名师点睛1.所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的.2.随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结果虽然不是数量,但可以将它数量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.过关自诊1.随机变量和函数有类似的地方吗?提示

随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实数对应,函数把实数与实数对应,由随机变量的定义知,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间Ω相当于函数的定义域.2.[北师大版教材例题]连续抛掷一枚均匀的硬币2次,用X表示这2次抛掷中出现正面的次数,则X是一个随机变量,分别说明下列集合所代表的随机事件:(1){X=0};(2){X=1};(3){X≤1};(4){X>0}.解

(1){X=0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件,即2次都是出现反面.所以{X=0}表示“2次都是出现反面”.(2){X=1}表示“恰有1次出现正面”.(3){X≤1}表示“至多1次出现正面”.(4){X>0}表示“至少1次出现正面”.知识点2

概率分布列1.分布列一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率

,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称

,分布列的表格表示如下:

Xx1x2…xnPp1p2…pnP(X=xi)=pi分布列

名师点睛对分布列的理解应注意的问题(1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象,与函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X=xi)=pi和图象表示.(2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机变量数字特征的基础.2.离散型随机变量分布列的性质(1)pi

0,i=1,2,…,n;

(2)p1+p2+…+pn=1.

可通过此条性质检验求出的分布列是否正确名师点睛对分布列性质的理解(1)离散型随机变量的两条性质是检验一个分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求出分布列中的未知数.(2)离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,故离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.≥过关自诊1.[北师大版教材习题]已知随机变量X的分布列如下表:则实数m的值为(

)C2.已知离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)=

.

知识点3

两点分布X01P1-pp我们称X服从

或

.

1-p两点分布

0—1分布

过关自诊若离散型随机变量X的分布列如表所示,则a的值为(

)X-11P4a-13a2+aA重难探究·能力素养全提升探究点一离散型随机变量的概念【例1】

下列变量是离散型随机变量的是

.(填序号)

①下期某闯关节目中过关的人数;②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;③在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;④水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.①③

解析

①是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.②不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.③是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号可以一一列出.④不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,水位值不能按一定次序一一列出.变式探究

将本例的④改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警戒水位是29m),X是离散型随机变量吗?解

X是离散型随机变量.规律方法

“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是不是随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值是不是有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.变式训练1写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数Y;(2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X.解

(1)Y可能的取值为0,1,2,3,Y=0表示遇到红灯的次数为0;Y=1表示遇到红灯的次数为1;Y=2表示遇到红灯的次数为2;Y=3表示遇到红灯的次数为3.(2)X可能的取值为0,1,2,3,4.X=0表示取出0件次品;X=1表示取出1件次品;X=2表示取出2件次品;X=3表示取出3件次品;X=4表示取出4件次品.探究点二离散型随机变量的分布列与性质【例2】

[2023四川绵阳质检]某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求随机变量X的分布列.解

由题意知,X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则X的可能取值为0,1,2,3,4,5.由古典概型的概率公式得∴X的分布列为

规律方法

求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n),并确定X=xi的意义;(2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n);(3)列成表格的形式.变式训练2袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,第一次取出白球后停止,求取球次数X的分布列.【例3】

设离散型随机变量X的分布列为

X01234P0.20.10.10.3m求2X+1的分布列.解

由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9,故2X+1的分布列为2X+113579P0.20.10.10.30.3变式探究

若例3的条件不变,求随机变量Y=|X-1|的分布列.解

由例3,知m=0.3.列表为

X01234|X-1|10123故P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(Y=0)=P(X=1)=0.1,P(Y=2)=P(X=3)=0.3,P(Y=3)=P(X=4)=0.3.故Y=|X-1|的分布列为Y0123P0.10.30.30.3规律方法

1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.2.求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.探究点三两点分布【例4】

一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球.(1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即(2)从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列.规律方法

1.两点分布的特点(1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的.(2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1.2.解答此类问题时要充分利用两点分布的特点,并对应其性质特点对问题的结果进行检验.变式训练3已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列.本节要点归纳1.知识清单:(1)随机变量的概念、分类;(2)离散型随机变量的概念;(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质;(4)两点分布.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:(1)随机变量的取值不明确导致分布列求解错误;(2)易忘记结合分布列的性质进行检验.成果验收·课堂达标检测123451.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②某道路斑马线一天经过的人数X;③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是(

)A.①②③ B.②③④

C.①②④ D.仅③④6C1234562.已知离散型随机变量X的分布列如下:则P(X=10)=(

)C1234563.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为Y,则Y<2表示的试验结果是

.

取到1件次品、2件正品或取到3件正品

解析

应分Y=0和Y=1两类.Y=0表示取到3件正品;Y=1表示取到1件次品、2件正品.故Y<2表示的试验结果为取到1件次品、2件正品或取到3件正品.1234564.若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.令Y=3X-2,则P(Y=-2)=

.

0.