2023-2024学年江西省南昌市进贤二中高二上数学期末检测试题含解析

2023-2024学年江西省南昌市进贤二中高二上数学期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：，；命题：，.则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.2．已知全集，集合，则（）A. B.C. D.3．椭圆的长轴长是（）A.3 B.4C.6 D.84．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.5．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为()A. B.2C.－1 D.－46．设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.8．已知P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点且，则的面积是（）A. B.2C. D.19．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知椭圆的两个焦点分别为，且平行于轴的直线与椭圆交于两点，那么的值为（）A. B.C. D.11．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.412．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.14．已知数列的前项和为，，则___________，___________.15．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.16．双曲线的离心率为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆的离心率为，设为坐标原点，为椭圆的左顶点，动直线过线段的中点，且与椭圆相交于、两点．已知当直线的倾斜角为时，（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在定直线，使得直线、分别与相交于、两点，且点总在以线段为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由18．（12分）已知，，分别是锐角内角，，对边，，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的值.19．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，O为原点，已知点，，，设向量，.（1）求与夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数k的值.20．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）21．（12分）已知函数（1）讨论的单调性：（2）若对恒成立，求的取值范围22．（10分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用基本不等式判断命题的真假，由不等式性质判断命题的真假，进而确定它们所构成的复合命题的真假即可.【详解】由，当且仅当时等号成立，故不存在使，所以命题为假命题，而命题为真命题，则为真，为假，故为假，为假，为真，为假.故选：C2、B【解析】根据题意先求出，再利用交集定义即可求解.【详解】全集，集合，则，故故选：B3、D【解析】根据椭圆方程可得到a，从而求得长轴长.【详解】椭圆方程为，故，所以椭圆长轴长为，故选:D.4、A【解析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.故选：A5、C【解析】详解】，令，解得或；令，解得函数在上递增，在递减，在递增，时，取极大值，极大值是时，函数取极小值，极小值是，而时，时，，故函数的最小值为，故选C.6、C【解析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性.【详解】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，，即，或，即，当时，有，即，是严格递增数列，当时，有，即，是严格递增数列，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件故选：C7、B【解析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).8、A【解析】设，先求出m、n，再利用面积公式即可求解.【详解】在中，设，则,解得：.因为，所以，所以的面积是.故选：A9、D【解析】根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：D.10、A【解析】根据椭圆的方程求出，再由椭圆的对称性及定义求解即可.【详解】由椭圆的对称性可知，,所以，又椭圆方程为，所以，解得，所以，故选：A11、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.12、D【解析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】由椭圆的对称性知：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，所以，又即，综上，，整理得，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性及矩形性质可得，由已知条件得到，进而得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1560【解析】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，则不同的分配方案有(种).（2）若4个组的人数为2,2,1,1，则不同的分配方案有(种).故所有分组方法共有20＋45＝65(种).再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有(种).故答案为：156014、①.②.【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.【详解】，可得由，可知时，故时即可化为又故数列是首项为公比为2的等比数列，故数列的通项公式故答案为：①；②15、【解析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.16、【解析】∵双曲线的方程为∴，∴∴故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在，且直线的方程为或【解析】（1）分析可知，，直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点、，由已知得出，求出的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为，则，，所以，椭圆的方程为，即，易知点，则点，当直线的倾斜角为时，直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，，解得，则，，因此，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：易知点，若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的两个端点，不合乎题意.设直线的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，直线的斜率为，直线的方程为，故点，同理可得点，，，由题意可得，解得或.因此，存在满足题设条件的直线，且直线的方程为或，点总在以线段为直径的圆上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.18、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根据题意得到，再由关于角的余弦定理和整理化简得，再由的面积，即可求出的值.【小问1详解】由及正弦定理可得.小问2详解】由锐角中得，根据余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.19、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐标先求出，，，由向量的夹角公式可得答案.（2）由题意可得，从而求出参数的值【小问1详解】由题，，，故，，，所以故与夹角余弦值为.【小问2详解】由与的互相垂直知，，，即20、（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则，y1y2＝-4，所以又点O到直线l的距离，所以，解得，即【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题21、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，当时，令，得，令，得；当时，令，得，令，得综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减【小问2详解】解：由（1）知，函数在上单调递增，则，所以对恒成立等价于对恒成立设函数，则，设，则，则在上单调递减，所以，则，所以在上单调递减，所以；故，即的取值范围是22、（1）；（2）或.【解析】（1）由离心率公式、将点代入椭圆方程得出椭圆的方程；（2）联立椭圆和直线的方程，由判别式得出