山东省东营市广饶县英才学校2015-2016学年八年级数学下学期期末试卷（含解析）新人教版五四制

cm． 【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算． 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：因为OE=OF=EF=10（cm）， 所以底面周长=10π（cm）， 将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE=10（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长10π（cm） 设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得： 10π=， 所以n=180°， 即展开图是一个半圆， 因为E点是展开图弧的中点， 所以∠EOF=90°， 连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离， 在Rt△AOE中由勾股定理得， EA2=OE2+OA2=100+64=164， 所以EA=2（cm）， 即蚂蚁爬行的最短距离是2（cm）． 【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 18．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），有下列结论： ①abc＜0，②4a+b=0，③抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），④若点（﹣2，y1），（5，y2）都在抛物线上，则有y1＜y2， 请将正确选项的序号都填在横线上②③． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0， ∴abc＞0，故①错误； ∵抛物线的对称轴为x=2， ∴﹣=2，b=﹣4a， ∴4a+b=0，故②正确； ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；故③正确； ∵对称轴方程为x=2， ∴（﹣2，y1）可得（6，y1） ∵（5，y2）在抛物线上， ∴由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故④错误； 综上所述②③正确． 故答案为：②③． 【点评】此题考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．解方程： （1）（x﹣5）2=2（x﹣5） （2）2x（x﹣1）=3x+1． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程． 【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0， （x﹣5）（x﹣5﹣2）=0， x﹣5=0或x﹣5﹣2=0， 所以x1=5，x2=7； （2）2x2﹣5x﹣1=0， △=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33， x=， 所以x1=，x2=． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程． 20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴． 【解答】解：把点（0，2）和（1，﹣1）代入y=x2+bx+c得， 解这个方程组得， 所以所求二次函数的解析式是y=x2﹣4x+2； 因为y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2， 所以顶点坐标是（2，﹣2），对称轴是直线x=2． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 21．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=4，求⊙O的半径． 【考点】垂径定理的应用；勾股定理． 【分析】首先过点O作OC⊥AB于点D，交于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，由垂径定理得BD=AB，再利用勾股定理可得结果． 【解答】解：过点O作OC⊥AB于点D，交于点C，连接OB， 设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2， ∵OC⊥AB， ∴BD=AB=×4=2， 在Rt△BOD中， ∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2， 解得r=4． 【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出恰当的辅助线，利用定理是解答此题的关键． 22．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； （2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可． （2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案． 【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x， 根据题意列方程：150（1+x）2=216， 解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%． 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%． （2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）． 所以该经销商1至3月共盈利：（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）． 【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 23．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出图中点A和点C的坐标； （2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′； （3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）． 【考点】作图-旋转变换；弧长的计算． 【分析】（1）结合直角坐标系可直接写出点A和点C的坐标． （2）根据旋转中心为点A、旋转方向是逆时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点，顺次连接即可． （3）所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的圆． 【解答】解：（1）点A坐标为（1，3）；点C坐标为（5，1）； （2） （3）所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的圆， ∴经过的路线长为：π×2×=π． 【点评】此题考查了旋转作图的知识，解答本题的关键是仔细审题得到旋转的三要素，得到各点的对应点，另外要熟练掌握弧长的计算公式． 24．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接OD，OE，由AB为圆的直径得到三角形BCD为直角三角形，再由E为斜边BC的中点，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE为公共边，利用SSS得到三角形OBE与三角形ODE全等，由全等三角形的对应角相等得到DE与OD垂直，即可得证； （2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC的长，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC﹣CD即可求出AD的长． 【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=∠BDC=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE=BE， 在△OBE和△ODE中， ， ∴△OBE≌△ODE（SSS）， ∴∠ODE=∠ABC=90°， 则DE为圆O的切线； （2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴BC=AC， ∵BC=2DE=4， ∴AC=8， 又∵∠C=60°，DE=CE， ∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2， 则AD=AC﹣DC=6． 【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 25．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？ （2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据利润=销售价﹣进价列关系式； （2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍； （3）利用函数的性质求最值． 【解答】解：由题意得： （1）50+x﹣40=x+10（元） （2）设每个定价增加x元． 列出方程为：（x+10）（400﹣10x）=6000 解得：