立体几何复习课

立体几何复习课同学们，欢迎来到新东方数学课堂。今天我们上一节立体几何复习课。首先来回顾一下高考常考的一些知识点和公式。回顾历年立体几何的题目，求三视图、体积、表面积和求点线面的关系是考查的重点。1.三视图三视图分为正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。下面我们来看11年相关的高考真题，从真题中了解对三视图这个知识点考察的重点例一.（浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是园如四向gp（A） （B） <C） 3） 怂森）这是一道三视图的题目，拿到题目应用排除法，由正视图可以发现A、B都不对，根据俯视图C也不正确，因此这道题选D。根据D,自己画出三视图验证一下，发现正确，因此这道题选D。更（金，・!■例二（山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:更（金，・!■存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图：③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是A・3 B.2C.1 D.0这道题有一定的难度，很多同学看到这题都不知道该如何入手，其实这样问真命题的题目,就一条条的看就可以了，看看能不能举出正确的例子，就可以证明存在命题的正确性。存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图。很多同学一想三棱柱就很自然的往正三棱柱的方向去想，一想，不可能啊，这是错的，其实不然，三棱柱分很多种可以是直角三棱柱，老师黑板上画的这个图就是符合题目条件/ 7的。因此，第一个命题是真命题。再看第二个命题存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图。这个很显然普通的四棱柱平放在水平面上都符合这个条件。最后看第三个命题存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图，这个

也比较好想，只要圆柱向黑板上这样的形式躺着就符合要求了因此这道题三个命题都是真命题，选A例三.(全国新课标理6)。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为上底缩小上底缩小OKo我们来看一下这道题。从已经给的正视图和俯视图可以发现后半部分不可能是半圆柱只可能是半圆锥而它和三棱柱的交线又是在外侧，因此用实线表示，因此这道题选D综合起来看这几道高考题，我们可以发现在高考中对三视图的考察总体难度都不大，更多的都是基本概念的考察，同学们只要细心的选择答案，并将答案带回题目中验证就可以很好的把三视图的问题解决了。2.立体体积、表面积说完了三视图，我们来说说与三视图密切联系的立体体积和表面积的问题，首先复习一下,相关公式。特珠几何体表面积公式(C为底面周长，h为高，h为斜高，1为母线)S直棱柱侧面积=chS圆柱侧=2^rhS正枝锥侧面积=/】'§宛推伸jm枳=小S正梭台侧而枳=—(ci+c2)^'耳】1台侧血枳=(「+跖柱表=2m(r+1)%推表=m(r+1)目鲫；■表=7r(r2+rl+Rl+R2)柱体、锥体、台体的体积公式%=Sh%柱=西=khv推=；Sh%推=项0 0\L=-(S，+x/s7S+S)hMu台=-(S+>/sS+S)h=i万(r2+rR+R2)h上底扩大3 3 ' 3. ,

上底扩大（3）球体的表面积和体积公式：V球=1^；S球面=4iR2总结完了这些公式，我们乘热打铁来几道高考题目，看看在高考中这些公式都是怎么应用的。俯视图仞I一：（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体枳是俯视图这道题是典型的将三视图和体积公式结合起来的一道小题，在江苏卷中己经没有选择题了，所以不要再幻想着25%的概率蒙对了，要老老实实的把每道题弄懂才有可•能在空格上填入正确答案。这道题从三视图上不难看出是一个2*2*2的立方体中间挖掉了一块d=2,h=2的圆锥体。因此，这道题很显然8-；*兀*12*2=8-当例二.（安徽理6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面枳为(A)48(C)48+8(D)80这道题是典型的将三视图和体积公式结合起来的题目，由三视图可以 、『发现这里的物体是一个棱台，侧视图可以看出是侧面是一个梯形，那要求表面积我们就把6各面的面积分别算出来。两个侧面的面积分别是（2+4）*4/2=12。上表面的面枳是2*4=8。下表面的面枳是4*4=16.剩下的关键就是求梯形两条腰所在的平面面枳，这里切忌腰的长度不是4,而是=V17o这样S=12*2+8+16+2*4*Vl7=48+8面.因此这道题应该选Co我们不难发现，这道题的陷阱就是腰的长度不是4,了解到这一小点，这道问题就迎刃而解了。例三（广东理7）如图1—3,某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体枳为囹I图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体枳为囹IA.6右b.9右c.12右d.1邙来看这道题，由三视图可以看出来这个立体图是四棱柱，则应用四棱柱体枳公式，底面积*高，底是平行四边形，他的面积是3*h,由俯视图可以看出这里h= =归。V=V3*3*3=9V3o因此答案选B。21.（天津理10）一个几何体的三视图如右图所示（单位：111）,则该几何体的体积为m3•俯视图•俯视图同样的己知三视图求体积，从三视图得到这里有一个3*2*1的长方体和一个F,*3的圆锥体组成。V=3*2*l+gi3=6+n总的来看，高考里对立体的体积和表面积的考察都是以三视图的形式给出，结合三视图的识别和立体图形的公式相结合的考察，不过总体难度都不是很大，同学们在做题的时候一定要仔细审题，保证能够拿到全分。3•点线面的关系同样的首先复习一下相关背景知识（1） 平面平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的：平面的表示：通常用希腊字母a、&、y表示，如平面a（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。点与平面的关系：点A在平面。内，记作Awa:点A不在平面a内，记作A^a点与直线的关系：点A的直线/上，记作：A^l-,点A在直线/外，记作人任/：直线与平面的关系：直线/在平面a内，记作/ua：直线/不在平面a内，记作/《a。（2） 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：Ael,Bel,Aea,Bea=>l<za（3） 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有旦只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面：两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据（4） 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有旦只有一条过该点的公共直线符号：平面a和。相交，交线是a,记作anp=a。符号语言：PeAnB=>AnB=l,Pel公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5） 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6） 空间直线与直线之间的位置关系异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线性质：既不平行，又不相交。异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线异面直线所成角：直线"b是异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线a'〃a,〃b,则把直线。'和$所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范闱是（0",90。］,若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点0是任取的，而和点0的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7） 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8） 空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内一一有无数个公共点.直线不在平面内J相交一一只有一个公共点.（或直线在平面外）［平行一一没有公共点.三种位置关系的符号表示：auaaAa=Aa〃a（9）平面与平面之间的位置关系：平行一一没有公共点；a〃B相交一一有一条公共直线。anp=b5、空间中的平行问题（1） 直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。线线平行二＞线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。线面平行n线线平行（2） 平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1） 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行一面面平行），（2） 如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行一面面平行），（3） 垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1） 如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行f线面平行）（2） 如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。（面而平行一线线平行）7、空间中的垂直问题（1） 线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平而角是直角），就说这两个平面垂直。（2） 垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平而经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1） 直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0L两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点0,分别作与两条异面直线a,b平行的直线。'，。'，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2） 直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0L②平面的垂线与平面所成的角：规定为90°o平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的幽L，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作，二证，三计算气在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息:（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与己知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。

基本概念复习完之后我们来看相关例题例一.（江苏16）如图，在四棱锥ABCD,AB=AD,ZBAD=60°,求证：（1）直线EF〃平面PCD；（2）平面BEF±平面PAD这道题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，第一问要证明线面垂直则要先证明线线垂直，这样第一问就是在平面PCD里找一条与EF平行的线PD即可，再来看第二问证明面面垂直就是要证明其中一个平面里的一条线垂直于另一平面内的两条相交线。好的分析之后我们开看一下这道题的解答。证明：（1）在ZkPAD中，因为E、F分别为AP,AD的中点，所以EF//PD.又因为EFS平面PCD,PDU平面PCD,所以直线EF〃平面PCD.（2）连结DB,因为AB=AD,ZBAD=60°,所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以B—AD.因为平面PAD±平面ABCD,BFU平面ABCD,平面PAD”平面ABCD=AD,所以BF_L平面PAD。又因为BFU平面BEF,所以平面BEF±平面PAD.例二.（安徽理17）如图，福CDEFG为多而体，平面ABED与平面AGFD垂直，点。在线段Q上，线段Q上，°A=1，°D=2,^oab,‘△°AC,aODE,aodf都是正三角形。,空间直线平行的证明，多而体体枳的计算等基本知识这道题将比与江苏的题目难度有明显的增大，因为大多数同学都很难想到怎么证明线线平行,平时做的题目都是线面平行或者面面平行。这里遇到线线平行看到图形就要想到用作辅助线的方法构造出三角形，使得两条直线在同一个三角形内。第二问是求体积的问题，求体积就是找好底面积找好高，然后应用体积公式即可求解。卜.面来看一卜这道题的详细解题步骤。第(17)廉综舍法解答用图(I)(综合法)证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于AOAB与AODE都是正三角形，所以=-DEOB〃2 ,OG=OD=2,同理，设G'是线段DA与线段FC延长线的交点，有。G'=OD=2.又由于G和G'都在线段DA的延长线上，所以G与G'重合.= -=DE —=DF在Z\GED和ZiGFD中，由OB//2和0C//2，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是ZkGEF的中位线，故BC//EF.ZEOB=60°,知Seob=—(II)解：由0B=l,0E=2, 2，而AOED是边长为2的正三角形,ScED=后・TOC\o"1-5"\h\z_ _3后Sobed=Seob+S°ed=一.所以 2过点F作FQ_LAD,交AD于点Q,由平面ABED±平面ACFD知,FQ就是四棱锥F-OBED_1 _3R^f-obed=；FQ-S°bed=的高，且FQ=J3,所以 3 2

例三.（北京理16）如图，在四棱锥P-厢CD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,/BAD=60°.（I） 求证：BD_L平面PAC;（II） 若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（III） 当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.这道题应用了向量法解决问题，在江苏省这些年的考题当中都没有出现要用向量法的问题,因此这道题留给学有余力的同学，如果想在有所提高，或者用常规方法解决了之后打算用向量法在检验一下的时候使用。在向量法中，最关键的两点就是找寻合适的原点建立坐标系,同时求出最简单的法向量可以使问题的解决方便很多。好的，我们来看一下如何求解证明：（【）因为四边形ABCD是菱形，所以AC±BD.又因为PAJ_平面ABCD.所以PA_LBD・所以BD1.平面PAC.（II）设ACABD=O.因为ZBAD=60°,PA=PB=2,所以BO=1,AO=CO=占.如图