辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题（含解析）

第第页辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上学期期中（Ⅰ）考试数学试题（含解析）绝密★启用前

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中1考试

数学

命题人：大连市第二十三中学马晓晶校对人：大连市第二十三中学刘金秋

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设命题，则为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据存在性命题的否定为全称命题即可得解.

【详解】因为命题，

所以为，

故选：A

2.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由图像可知阴影部分面积对应的集合为，再由集合的运算，即可得到结果.

【详解】因为，，则，

由图像可知阴影部分面积对应的集合为.

故选：C

3.若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法及共轭复数判断即可得解.

【详解】，

，

，

故对应点在第三象限，

故选：C

4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）

A.3B.C.1D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.

【详解】由函数为幂函数知，

，解得或.

∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，

当时，，符合题意，

∴，，

∴.

故选：C.

5.函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（）

A.9B.8C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.

【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，

,

,当且仅当，即等号成立

故选：B.

6.已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量基本定理得到，利用向量数量积公式得到，，从而利用夹角余弦公式求出答案.

【详解】由题意知：,,

,

,

,.

故选：D

7.已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图象，将有四个零点转化为的图象与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.

【详解】时，，，

在上单调递减，在上单调递增，，

时，，

在上单调递减，在上单调递增，，

画出的图象如下图，有四个零点即的图象与有四个不同交点，

由图可得，是方程的两根，即的两根，

是方程的两根，即的两根，

，，则，

设，，则，在上单调递增，

当时，，即.

故选：A.

8.设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；且，则关于x的不等式的最小正整数解为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到或，由得到最小正整数为3，由得到最小正整数为2，综上求出答案.

【详解】由①得：，则，（1）

由②得：，则，（2）

且，即，

联立（1）（2）得：，

因为，所以，

解得：，，

所以，

所以，

将代入得：，

因为，所以，

所以，

，

，

则或，

当，解得：，，

，，

当时，，故最小正整数为3，

当，解得：，，

，，

当时，，故最小正整数为2，

比较得到答案为2

故选：B.

【点睛】方法点睛：三角函数相关的参数取值或取值范围问题，要能够结合题目信息，从奇偶性，周期性，对称性入手，得到等量关系或不等式，进而求出参数的值或取值范围.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列结论正确的是（）

A.若a，b为正实数，，则

B.若a，b，m为正实数，，则

C.若，则“”是“”的充分不必要条件

D.不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用作差法即可求解AB,结合充分不必要条件，即可根据不等式的性质求解CD.

【详解】对于A，因为，为正实数，，

所以，所以，故A正确；

对于B，因为，，为正实数，，所以，所以，故B错误；

对于C，由，可得或，故由可得，

但是不一定得到，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；

对于D，由可得，由于成立的充分不必要条件是，

所以或，解得，故D正确．

故选：ACD

10.已知向量满足，且，则（）

A.B.

C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量数量积的运算化简求模、数量积判断AD，利用夹角公式可得，从而判断BC.

【详解】由，得，整理得①．

由，得，整理得②．

由①②及得，所以，

所以，所以，

所以反向共线，所以，

故选：AC．

11.已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（）

A.为奇函数

B.若的一个零点为，且，则

C.在区间的零点个数为个

D.若大于的零点从小到大依次为，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用奇函数的定义可判断A，利用奇函数的性质可判断B，数形结合作出函数的图象，通过交点个数可判断C，根据的图象确定大于的零点的取值范围即可判断D.

【详解】因为，

所以为奇函数，A正确；

假设，则，

此时，

所以当时，，

当时，，

当时，，则，

由于的零点为，所以，

所以，B正确；

当时，令，

大于零零点为的交点，由图可知，

函数在有2个零点，

由于为奇函数，所以在有1个零点，

且，

所以在区间的零点个数为个，C错误；

由图可知，大于1的零点，，

所以，而，所以，D正确.

故选:ABD.

12.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（）

A.的图象关于对称

B.

C.在上的最大值是10

D.不等式的解集为

【答案】ACD

【解析】

【分析】依题意令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；

令，则，

令代x，则，即，即，故B错误；

设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；

由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；

故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】设，求出，代入已知式可得．

【详解】设，则，因为，所以，即

故答案为：．

14.已知，，，若，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据得，再由平方关系可得、的值，代入两角差的正弦展开式计算可得答案.

详解】由，得，又，

所以，又，所以，，

所以

．

故答案为：．

15.函数，若函数恰有两个零点，则a取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】利用分离常数法，构造函数法，结合导数求得的取值范围，进而求得正确答案.

详解】由得，

设，

令，解得，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

又，

当时，；当时，，

又当，，由此画出的大致图象如图所示，

由于函数恰有两个零点，

所以的取值范围是.

故答案为：.

16.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，则的次近似值为______：设，数列的前项积为．若任意的，恒成立，则整数的最小值为______．

【答案】①.②.

【解析】

【分析】利用导数求出直线的方程，可得出，结合可求出的值，推导出，可求得，由已知条件可得出，由此可求得整数的最小值.

【详解】，则，，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知点在直线上，

所以，，，则，，

，，

因为函数的零点近似值为，且函数在上为增函数，

因为，，由零点存在定理可知，

由题意可知，，故整数的最小值为.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列的递推公式，利用数列的递推公式求解.

四、解答题：本大题共6小题，共10分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17.设是公差不为0的等差数列的前项和，已知与的等比中项为，且与的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列前项和．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由等差数列的求和公式以及等差数列、等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求；

（2）求得，由裂项相消法求和即可求解．

【小问1详解】

设数列的公差为．

由题意，得，

即，解得，

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

，

所以.

18.在中，角、、的对边分别为、、．已知．

（1）求角的大小；

（2）给出以下三个条件：①，；②；③．

若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）的角平分线交于点，求的长．

【答案】（1）

（2）（i）；（ii）.

【解析】

【分析】（1）由已知条件可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.

（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.

【小问1详解】

解：因为，若，则，不满足，

所以，，，.

【小问2详解】

解：由及①，由余弦定理可得，即，

，解得；

由及②，由余弦定理可得，

由可得，可得；

由及③，由三角形的面积公式可得，可得.

经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故，.

（i）将，代入②可得可得.

在中，由正弦定理，故.

（ii）因为，即，

所以，.

19.已知数列中，，设为前项和，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，化简得到，得出当时，可得，结合叠乘法，求得，验证，即可求解.

（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.

【小问1详解】

解：由数列中，，且

当时，，解得，

当时，可得，

所以，即，

则当时，可得，所以，

当或时，，适合上式，

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

解：由（1）知，可得，

所以，

可得，

两式相减，得，

所以.

20.已知函数（且）的两个相邻的对称中心的距离为．

（1）求在R上的单调递增区间；

（2）将图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，若，，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先化简函数得，再根据单调性求解即可；

（2）先由平移伸缩得出，再结合二倍角余弦公式计算即得.

【小问1详解】

，

由题意知，的最小正周期为，所以，解得，

∴，

令，，解得，

所以在R上的单调递增区间为

【小问2详解】

，，得，

∵，∴，

∴，

∴

21.已知函数，．

（1）判断函数的单调性；

（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数导数，对a分类讨论，解不等式即可得到函数的单调性；

（2）关于的不等式恒成立等价于在恒成立，构建函数，研究其单调性与最值即可.

【小问1详解】

的定义域为，求导得：，

若时，则，此时在单调递增；

若时，则当时，在单调递减，

当时，，f(x)在单调递增.

【小问2详解】

当时，，

由题意在上恒成立，

令，则，

令，则，所以在上递增，

又，所以在上有唯一零点，

由得，

当时，即，单调递减；时，即，单调递增，所以为在定义域内的最小值.

即

令，则方程等价于，

又易知单调递增，所以，即

所以，的最小值

所以，即实数的取值范围是

【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

22.已知函数．

（1）若直线与的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；

（2）若函数在上存在两个极值点，且，证明：．

【答案】（1），

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.

（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用换元法，得到只需证即可.

【小问1详解】

由题意，切点坐标为，

所以切线斜率为，所以，

切线为，整理得，所以．

【小问2详解】

由（1）知．

由函数在上存在两个极值点，且，知，

则且，

联立得，

即，

设，则，

要证，，只需证，只需证，

只需证．

构造函数，则．

故，在上递增，，即，绝密★启用前

滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中1考试

数学

命题人：大连市第二十三中学马晓晶校对人：大连市第二十三中学刘金秋

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设命题，则为（）

A.B.

C.D.

2.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.B.C.D.

3.若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）

A.3B.C.1D.

5.函数（且）图象恒过定点，若且，，则的最小值为（）

A.9B.8C.D.

6.已知中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（）

A.B.C.D.

7.已知函数，函数有四个不同零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

8.设函数（且）满足以下条件：①，满足；②，使得；且，则关于x的不等式的最小正整数解为（）

A.1B.2C.3D.4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列结论正确的是（）

A.若a，b为正实数，，则

B.若a，b，m为正实数，，则

C.若，则“”是“”的充分不必要条件

D.不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是

10.已知向量满足，且，则（）

A.B.

C.D.

11.已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（）

A.为奇函数

B.若的一个零点为，且，则

C.在区间的零点个数为个

D.若大于的零点从小到大依次为，则

12.已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确是（）

A.的图象关于对称

B.

C.在上的最大值是10

D.不等式的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知，