第5章《一元一次方程》知识讲练（教师版）【导图+知识点+新题拔高卷】2023-2024学年七年级数学上册章节复习讲义（浙教版）

第第页2023-2024学年浙教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．易错点拨：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．知识点02：等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识点31：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．知识点04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•苍南县期末）已知3a＝2b，则下列选项中的等式成立的是（）A．9a＝4b B． C．3a﹣2＝2b﹣2 D．3（a+1）＝2（b+1）解：A、由3a＝2b得9a＝6b，原变形错误，故本选项不符合题意；B、由3a＝2b得，原变形错误，故本选项不符合题意；C、由3a＝2b得3a﹣2＝2b﹣2，原变形正确，故本选项符合题意；D、由3a＝2b得不到3（a+1）＝2（b+1），原变形错误，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2分）（2022秋•温州期末）将方程＝1，去分母，得（）A．2x﹣（3﹣x）＝1 B．2x﹣3﹣x＝1 C．2x﹣（3﹣x）＝6 D．2x﹣3﹣x＝6解：＝1，去分母，方程两边同时乘6得：2x﹣（3﹣x）＝6，故选：C．3．（2分）（2022秋•温州期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和60元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和25元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为x元，则下列方程正确的是（）A．（25+x）＝60+x B．60+x＝25+x C．60﹣x＝25+x D．（60+x）＝25+x解：由题意可得，（60+x）＝25+x，故选：D．4．（2分）（2022秋•长兴县期末）解方程，去分母后正确的结果是（）A．4x﹣2﹣3+9x＝1 B．4x﹣2﹣3﹣9x＝1 C．4x﹣2﹣3+9x＝6 D．4x﹣2﹣3﹣9x＝6解：，去分母，方程两边同时乘6得：2（2x﹣1）﹣3（1+3x）＝6，去括号得：4x﹣2﹣3﹣9x＝6，故选：D．5．（2分）（2022秋•苍南县期末）学校体育组有学生43人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（）A．1.5x+x＝43 B．1.5x+x+8＝43 C．1.5（x﹣8）+x+8＝43 D．1.5（x﹣8）+x＝43解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有（x﹣8）人，只参加篮球队的人数有1.5（x﹣8）人根据体育组有学生43人参加了篮球队可得：1.5（x﹣8）+x＝43．故选：D．6．（2分）（2022秋•临海市期末）七年级某班学生在甲、乙两处参加劳动实践活动，在甲处有13人，在乙处有32人．现根据需要从乙处抽调部分同学到甲处，使甲处的人数是乙处人数的2倍，应从乙处抽调多少人到甲处？设应从乙处抽调x人到甲处，则下面所列方程正确的是（）A．13+x＝2（32﹣x） B．13﹣x＝2（32+x） C．2（13+x）＝32﹣x D．2（13+x）＝32+x解：依题意，得：13+x＝2（32﹣x）．故选：A．7．（2分）（2022秋•兰溪市期末）我们可以用列方程的方法解决某些数学谜题．如图，小慧同学要猜出“口”中数字，列出可以求解的方程是（）A．12（460+x）＝21（100x+64） B．12（46+10x）＝21（100x+64） C．12（46+10x）＝21（10x+64） D．12（460+x）＝21（10x+64）解：由题意可得12（460+x）＝21（100x+64）．故选：A．8．（2分）（2022秋•临海市期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（）A．m B． C． D．解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，由图（1）得4x＝n，由图（2）得2x+y＝m，y＝3x，∴5x＝m，∴，图（1）中阴影部分的周长为：，图（2）中阴影部分的周长为：，∴阴影部分的周长之差为：．故选：C．9．（2分）（2022秋•金东区校级月考）如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有2﹣10之间不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．2 B．4 C．5 D．7解：设下面中间的数为x，则三个数字之和为8+x，8﹣3＝5，8+x﹣3﹣6＝x﹣1，8+x﹣2﹣（x﹣1）＝7，5+6+7﹣7﹣3＝8，如图所示：P+6+8＝7+6+5，解得P＝4．故选：B．10．（2分）（2021秋•嘉兴期末）某店将一新款羽绒服先按进价提高60%进行标价，再打八折出售，结果每件仍可获利56元．设这款羽绒服每件进价为x元，则根据题意可列出方程为（）A．（1+60%）x×80%﹣x＝56 B．60%x×80%＝56 C．（1+60%）x×（1﹣80%）﹣x＝56 D．60%x×（1﹣80%）＝56解：设这款羽绒服每件进价为x元，则标价为（1+60%）x元，依题意得：（1+60%）x×80%﹣x＝56．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•新昌县期末）如图，在一条笔直的公路上依次有A，B，C，D，E五个站点．已知：AB＝2千米，AD＝13千米．站点维修工甲从B站匀速到E站进行维修，由于缺少零件，零件配送工乙带着零件从A站出发匀速追赶甲，他们同时出发，且在C站，乙追上了甲，将零件交给甲后，乙立即以原来的速度返回到A站．当乙到A站时，甲与D站的距离为3千米．则乙来回一共行驶了12或18千米．解：设BC＝x千米，则CD＝（x+3）千米或（x﹣3）千米，根据题意得：2+x+x+3＝13或2+x+x﹣3＝13，解得：x＝4或x＝7，当x＝4时，2（2+x）＝2×（2+4）＝12；当x＝7时，2（2+x）＝2×（2+7）＝18．∴乙来回一共行驶了12或18千米．故答案为：12或18．12．（2分）（2022秋•慈溪市期末）《莱因德纸草书》是古埃及培训年轻抄写员时可能使用的问题合集，其中记载了下列一个简单的问题：一个量与它的一半及它的三分之一加在一起变成10．若设这个量为x，则根据题意可列出方程．解：设这个量为x，根据题意可列出方程：，故答案为：．13．（2分）（2022秋•兰溪市期末）如图是小强与他妈妈的对话，小强说：买笔记本花了1.2元……，则小强记不清怎么使用的零花钱有9.3元．解：设小强记不清怎么使用的零花钱有x元，依题意有：1.2+7.5×2+4.5+x＝30，解得x＝9.3．故小强记不清怎么使用的零花钱有9.3元．故答案为：9.3．14．（2分）（2022秋•婺城区期末）如图1，小盛买了一支铅笔和一个铅笔套．末开始使用时，铅笔长度是铅笔套长度的3倍多1cm，且铅笔长度比铅笔套长度多12cm．如图2，削好铅笔时，笔尖与分界处的水平距离为1.5cm，将铅笔套套住笔尖可以保护铅笔，套口与分界处的距离为1cm．（1）铅笔套的长度为5.5cm；（2）铅笔套既能保护铅笔，也能套在铅笔顶部作延长器使用，且用于保护时套口到分界处的距离与用于延长器时套口到顶部的距离相等．正常情况下，1cm铅笔平均可以写1000字．写完字后，小盛重新削好铅笔，然后套上铅笔套保护铅笔．此时，小盛发现套口刚好是套上铅笔套的整支笔的三等分点，则小盛写了约5500或13750字．解：（1）设铅笔套的长度为xcm，由题意得：3x+1﹣x＝12，解得x＝5.5，∴铅笔套的长度为5.5cm．故答案为：5.5；（2）铅笔长为3×5.5+1＝17.5cm，∴套上铅笔套后的铅笔长度为17.5+5.5﹣1＝22cm，设用去了ycm，当铅笔套刚好是套上铅笔套的整支笔的时，，解得y＝5.5，此时，小盛写了约5.5×1000＝5500（字）；当铅笔套刚好是套上铅笔套的整支笔的时，，解得y＝13.75，此时，小盛写了约13.75×1000＝13750（字）；故答案为：5500或13750．15．（2分）（2022秋•南浔区期末）某种商品标价为130元．若以标价的8折出售，仍可获利14元，则该商品的进价为90元．解：设该商品的进价为x元，由题意可得：130×0.8﹣x＝14，解得：x＝90，∴该商品的进价为90元，故答案为：90元．16．（2分）（2022秋•慈溪市期末）某外贸企业抓住优化疫情防控后的商机，投入资金生产某外贸产品，按疫情防控优化前的销售价格可获利20%，而优化疫情防控后产品价格增长了30%，生产成本仅增长了2%，最后该企业可比疫情优化前多盈利85万元，问该企业投入生产成本255万元．解：设疫情防控优化前该企业投入生产成本x万元，则按疫情防控优化前的销售价格可获利为：20%x万元，优化疫情防控后可获利为：（1+20%）（1+30%）x﹣（1+2%）x＝0.54x（万元），∴0.54x﹣20%x＝85，解得：x＝250，∴疫情防控优化前该企业投入生产成本为250万元．∴优化疫情防控后该企业投入生产成本为250（1+2%）＝255（元）．故答案为：255．17．（2分）（2022秋•龙港市期中）如表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算）打车方式出租车3千米以内8元；超过3千米的部分2.4元/千米滴滴快车路程：1.4元/千米；时间：0.6元/分钟说明打车的平均车速40千米/时假设乘坐8千米，耗时：8÷40×60＝12分钟；出租车收费：8+（8﹣3）×2.4＝20元；滴滴快车收费：8×1.4+12×0.6＝18.4元．为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过10千米立减4.8元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费22.4元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付20.7或25.3元．解：设甲地到达乙地的路程为x千米，①不超过10千米，依题意有：8+（x﹣3）×2.4＝22.4，解得x＝9，9÷40×60＝13.5（分钟），若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付9×1.4+13.5×0.6＝20.7（元）；②超过10千米，依题意有：8+（x﹣3）×2.4﹣4.8＝22.4，解得x＝11，11÷40×60＝16.5（分钟），若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付11×1.4+16.5×0.6＝25.3（元）．答：需支付20.7或25.3元．故答案为：20.7或25.3．18．（2分）（2021秋•镇海区期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣1和2，M从A出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N从B出发以每秒6个单位长度的速度向左运动．假设点M，N同时出发，经过秒或秒后，M，N之间的距离为2个单位．解：设经过t秒后M，N之间的距离为2个单位，依题意得：|﹣1﹣2t﹣（2﹣6t）|＝2，解得：t＝或t＝．故答案为：秒或．19．（2分）（2021秋•台州期末）某企业举办“**产品创新设计大赛”，设奖规定如下：①参赛的员工均有奖，设一、二、三等奖．其中，一等奖的人数小于二等奖的人数，二等奖的人数小于三等奖的人数．②奖金总额48000元，每个一等奖的奖金额是二等奖的3倍，是三等奖的6倍．若比赛共有8人参加，根据设奖规定，则每个三等奖的奖金额应是3000或3200元．解：设评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，则a+b+c＝8，0＜a＜b＜c，且a，b，c均为整数，∴或．设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为6x元，依题意得：6x+2×3x+4x＝48000或6x+2×2x+5x＝48000，解得x＝3000或3200，故三等奖的奖金金额是3000元或3200元．故答案为：3000或3200．20．（2分）（2022秋•宁波期中）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积S2＝5时，则（1）图中长方形的面积S1为．解：设（1）中长方形的长为a，宽为b，（2）中长方形的长为y，宽为x．则AD＝3b+2y＝a+x．第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2DC．第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y．∵两种方式周长相同．∴2a+2DC＝2DC+4y．∴a＝2y．∵3b+2y＝a+x．∴x＝3b．∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•兰溪市期末）解方程：（1）2（4﹣x）＝2x．（2）．解：（1）去括号得：8﹣2x＝2x，移项、合并同类项得：4x＝8，系数化为1，可得：x＝2．（2）去分母得：（20+20x）﹣（4x﹣5）＝1去括号得：20+20x﹣4x+5＝1，移项得：20x﹣4x＝1﹣20﹣5，合并同类项得：16x＝﹣24，系数化为1得：x＝﹣．22．（6分）（2023•浙江模拟）以下是欣欣解方程：的解答过程：解：去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1；……①去括号：2x+2﹣6x+3＝1；…………………②移项，合并同类项得：﹣4x＝﹣4；………………③解得：x＝1．…………④（1）欣欣的解答过程在第几步开始出错？（请写序号即可）（2）请你完成正确的解答过程．解：（1）步骤①；（2）去分母，得2（x+2）﹣3（2x﹣1）＝6；去括号：2x+4﹣6x+3＝6；移项，合并同类项得：﹣4x＝﹣1；解得：．23．（8分）（2023•金华模拟）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形ABCD，已知EF＝EG＝1，最小正方形的边长为x．（1）用x的代数式表示AB，BC的长；（2）若阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，求x的值．解：（1）AB＝3x+2（x+1）＝5x+2；BC＝x+1+2x+1＝3x+2；（2）长方形ABCD的周长＝2（5x+2+3x+2）＝16x+8，阴影部分的周长＝10x+6．∵阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，∴9（16x+8）＝14（10x+6），解得x＝3，答：x的值为3．24．（8分）（2022秋•杭州期末）租用新能源汽车，甲公司：收取固定租金105元，另外再按租车时间每小时20元计算．乙公司：无固定租金，直接以租车时间计算，每小时的租金为35元．当租车时间为多少小时的时候，甲、乙两公司租车的总费用相同．解：设租车时间为x小时时，总费用相同．根据题意得：105+20x＝35x，解得x＝7．答：当租车时间为7小时时，总费用相同．25．（8分）（2022秋•南浔区期末）在东西走向的适园路上，有A、B两个共享单车投放点，A在B的西面．（1）某天小明骑共享自行车从A地出发行驶，他行驶里程记向东为正，向西为负，单位：千米如下：+4，+1，﹣3，﹣2，+2．问最后小明停下的C地距离A地多远？（2）现从甲、乙两厂家向A、B两地运送自行车．已知甲有14辆自行车，乙有22辆自行车；A地需20辆自行车，B地需16辆自行车．甲、乙两家向A、B两地的运费如下表．当甲、乙两厂家各运往A、B两地多少辆自行车时，总运费等于703元？运往运费（元/辆）甲厂家乙厂家A地2418B地2516（3）已知A，B两处相距12km，小明在（1）中的C处自行车出现损坏，只能下车以4km/h的速度从C向B推行，此时在A处南南借了一辆自行车以10km/h的速度从A到B骑行，同时在B处的浔浔借了一辆电动车以20km/h的速度从B到A骑行，问：在浔浔到达A处前，其中一人位置是另外两人位置中点时，浔浔行驶了多少时间？解：（1）根据题意得，+4+1﹣3﹣2+2＝2，∴最后小明停下的C地距离A地有2千米．（2）设甲厂家向A地运输x辆自行车，则甲厂向B地运输（14﹣x）辆自行车，乙厂家向A地运输（20﹣x）辆自行车，乙厂向B地运输（2+x）辆自行车，根据题意得，24x+25（14﹣x）+18（20﹣x）+16（2+x）＝703，解得，x＝13，答：甲厂家向A地运输13辆自行车，则甲厂向B地运输1辆自行车，乙厂家向A地运输7辆自行车，乙厂向B地运输13辆自行车．（3）设浔浔行驶时间为t秒，A地表示的数为0，则小明表示的数为2+4t，南南表示的数为10t，浔浔表示的数为12﹣20t，若小明是中点，则10t+12﹣20t＝2×（2+4t），解得：；若南南是中点，则2+4t+12﹣20t＝2×10t，解得：；若浔浔是中点，则10t+2+4t＝2×（12﹣20t），解得：；综上所述：浔浔行驶秒或秒或秒时，其中一个人是另外两个人位置的中点．26．（8分）（2022秋•余姚市期末）如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣26，﹣10，B，C两点对应的数互为相反数．（1）求AB，AC的长．（2）若点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点M到达B点时，点N从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，设M点的移动时间为t（秒）．①问t为何值时，B为MN的中点？②当时，求t的值．解：（1）∵A，两点对应的数分别为﹣26，﹣10，B，C两点对应的数互为相反数，∴C点对应的数为10，∴AB＝﹣10﹣（﹣26）＝16，AC＝10﹣（﹣26）＝36；（2）①由题意可得：点M表示的数为﹣26+t，点N表示的数为﹣26+3（t﹣16）＝3t﹣74，若B为MN的中点，∴，解得：t＝20，∴t为20秒时，B为MN的中点；②∵AC＝36，∴，当0＜t≤16时，AM＝MN＝6，即t＝6；当t＞16时，﹣26+t﹣（3t﹣74）＝6或3t﹣74﹣（﹣26+t）＝6，解得：t＝21或t＝27，∴当时，t的值为6秒或21秒或27秒．27．（8分）（2022秋•苍南县期末）学校七年级举行数学说题比赛，计划购买笔记本作为奖品．根据比赛设奖情况，需购买笔记本共30本．已知A笔记本的单价是12元，B笔记本的单价是8元．（1）若学校购买A，B两种笔记本作为奖品．设购买A种笔记本x本．①根据信息填表（用x的代数式表示）．型号单价（元/本）数量（本）费用（元）A笔记本12x12xB笔记本8（30﹣x））8（30﹣x）②若购买笔记本的总费用为340元，则购买A，B笔记本各多少本？（2）为缩减经费，学校最终花费186元购买A，B，C三种笔记本作为奖品．若C笔记本的单价为5元，则购买A笔记本的数量是3本，B笔记本的数量是5本，C笔记本的数量是22本（请直接写出答案）．解：（1）①由题意，得：型号单价（元/本）数量（本）费用（元）A笔记本12x12xB笔记本8（30﹣x）8（30﹣x）②根据题意得：12x+8（30﹣x）＝3