2021中考数学分类练习：全等中的动点

全等三角形之动点题目

典型例题：

似图1,点P、Q分不为等边4ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从极点A、

点Q从极点B同时出发，且它们的运动速率同样，毗连AQ、CP交于点M.

（1）求证：丝Z\CAP；

（2）当点P、Q分不在AB、BC边上运动时，NQMC变化吗？如果变化，请讲明出处；如

果不变，求出它的度数.

（3）似图2,如果点P、Q在运动到终点后接着在射线AB、BC±运动，直线AQ、CP交

点为M,那么NQMC变化吗？如果变化，请讲明出处；如果不变，那么求出它的度数.

1,（2021•山东省济宁市・3分）似图，ZkABC中,

AD1BC,CE1.AB,垂足分不为D、E,

AD,CE交于点”，请你减少一个得当

的前提：，使ZkAEH之△CEB.

2,似图，已知aABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点.

（1）介入点P在线段BC上以3厘米/秒得速率由B点向C点运动，同时点Q在线段CA

上由C点向A点运动.

①如果点Q的运动速率与点P的运动速率相等，1秒钟时，ABPD与4CQP是否全等，请

讲明出处；

②如果点Q的运动速率与点P的运动速率不相等，当点Q的运动速率为儿时，可以使

△BPD^ACQP?

（2）如果点Q以（1）②中的运动速率从点C出发，点P以原来的运动速率从点B同时出发,

都逆时针沿AABC三边运动，求经过多长时候点P与点Q第一次在aABC的哪条边上相

遇？

3,似图，边长为6的等

边三角形ABC中，D是AB边上的一动点，由A向B运动（A、B不重合），F是BC耽搁

线上的一动点，与D同时以同样的速率由C向BC耽搁线方向运动（与C不重合），过

点D作DE_LAC,毗连DF交AC于G.

（1）当点D运动到AB的中点时，开门见山写出AE的长:

（2）当DF_LAB时，求AD的长;

（3）在运动环节中线段GE的长是否产生变化？介入不变，求出线段GE的长；介入产

生扭转请讲明出处.

G

BF

课后作业:

1,似图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,AB=4,AC=10,PQ=BC,P、Q分不在AC和

AB的反向耽搁线上移动，当PC等于几时，Z\ABC丝4ADQ。

2.似图，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,过点C作CF

_LBC,点D、E分不在BC、CF±移动，且一向连结DE=AC,当CD等于几时，AABC

与4DCE全等。

3,似图，AB=2,BC=5,ABLBC于点B,QCLBC于点C,点P从点

B最早沿射线BC移动，过点P作PQ±PA,交直线L于点Q。⑴求证：ZA=ZQPC⑵当

点P运动到那边时，PA=PQ,同时讲明出处。

I4,（2021秋•龙海市期末）似图，在^ABC中，AB=AC=2,NB=40。，点

D在线段BC上运动（不与B、C重合），毗连AD,作/ADE=40。，DE交线段AC于点E.

（1）当NADB=115°时，ZBAD=°,ZDEC=°；

（2）线段DC的值为几时，4ABD与4DCE全等？请讲明出处；

（3）在点D的运动环节中，4ADE的外形可所以等腰三角形吗？如果可以，请开门见

山写出NADB的度数；如果不可以，请讲明出处.

参考答案:

例题：【考点解析】等边三角形的性质；全等三角形的判断与性质.

【考点解析】(1)依照等边三角形的性质，操纵SAS证明△ABQgaCAP；

(2)由△ABQ空Z\CAP依照全等三角形的性质可得ZBAQ=ZACP,从而得至U/QMC=60。；

(3)由△ABQg/XCAP依照全等三角形的性质可得/BAQ=NACP,从而得到/

QMC=120°.

【解答】(1)证明：'.,△ABC是等边三角形，...NABQu/CAP,AB=CA,

又•点P、Q运动速率同样，；.AP=BQ,在Z\ABQ与4CAP中，

'ABXA

v<ZABQ=ZCAP>.'.△ABQ^ACAP(SAS)；

AP=BQ

(2)解：点P、Q在运动的环节中，NQMC不变.

出处：•.,△ABQ公ZkCAP,.".ZBAQ=ZACP,

VZQMC=ZACP+ZMAC,AZQMC=ZBAQ+ZMAC=ZBAC=60°...（6分）

（3）解：点P、Q在运动到终点后接着在射线AB、BC±运动时，NQMC不变.（7分）

出处：VAABQ^ACAP,NBAQ=NACP,

•/ZQMC=ZBAQ+ZAPM,/.ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°.

【本题点评】关键考查等边三角形的性质、全等三角形的判断与性质等学问.

当堂巩固：

1,AH=CB或EH=EB或AE=CE.（只要吻合要求即可）

2,【考点解析】全等三角形的判断.

【专题】动点型.

【考点解析】（1）①先求得BP=CQ=3,PC=BD=6,接着依照等边公平角求得ZB=ZC,末了

依照SAS即可证明；②因为VPWVQ,所以BPWCQ,又/B=/C,要使^BPD与△CQP全等,

只能BP=CP=4,5,依照全等得出CQ=BD=6,接着依照运动速率求得运动时候，依照时候

和CQ的长即可求得Q的运动速率；

（2）因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出

方程，解那个方程即可求得.

【解答】解：（1）®Vt=l（秒），；.BP=CQ=3（厘米）

VAB=12,D为AB中点,；.BD=6（厘米）

又；PC=BC-BP=9-3=6（厘米）/.PC=BDoVAB=AC,AZB=ZC,

'BP=CQ

在Z\BPD与△CQP中，.NB=/C，/.△BPD^ACQP（SAS）,

BD=PC

②：VPWVQ,;.BPWCQ,又：NB=/C,要使△BPDgZXCPQ,只能BP=CP=4,5,

,.,△BPD^ACPQ,；.CQ=BD=6..,.点P的运动时候t=g^=刍至=1,5（秒），

33

此亥ljVQ=国=」_=：4（厘米/秒）.

t1.5

（2）因为VQ>VP,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程

设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2X12,解得x=24（秒）

此刻P运动了24X3=72（厘米）又：△ABC的周长为33厘米，72=33X2+6,

.•.点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇.

【本题点评】本题考查了三角形全等的判断和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合理

念的使用，解题的依照是谙练把握三角形全等的判断和性质.

3,【考点解析】全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质.

【考点解析】(1)由点D运动到AB的中点时，于是得到AD=LAB=3,依照等边三角形的

2

性质得到NA=60。，求得ZADE=30°,依照直角三角形的性质即可得到结论；

(2)由点D、F同时运动且速率同样，得到AD=CF,求出NAGD=/CGF=30。，ZF=30",于

是得到CF=CG=AD,设AD=CG=CF=x,那么AG=2x,列方程即可得到结论；

(3)当点D、F同时运动且速率同样时，线段GE的长度不大概扭转.出处似下：作FQJ_

AC,交直线AC的耽搁线于点Q,毗连FE,DQ,由点D、F速率同样，得到AD=CF,依照

等边三角形的性质得至Ij/A=NABC=/QCF=6O°,推出△ADEW/^CFQ(AAS),依照全等三

角形的性质得到AE=CQ,DE=QF且DE〃QF,证得四边形DEFQ是平行四边形，依照平

行四边形的性质得到GE=1EQ,推出GE=LC,即可得到结论.

22

【解答】解：(1)点D运动到AB的中点时，

：AD」AB=3,ZA=60°,VDEXAC,；.NADE=30。，，AE=LD=3；

222

(2)•点D、F同时运动且速率同样，；.AD=CF,

VDFXAB,ZA=60°,AZAGD=ZCGF=30°,

VZB=60°,，NF=30°,/.ZCGF=ZF,；.CF=CG=AD,

设AD=CG=CF=x,那么AG=2x,AG+CG=2x+x=3x=6,，x=2,，AD=2；

（3）当点D、F同时运动且速率同样时，线段GE的长度不大概扭转.出处似下:

作FQ1AC,交直线AC的耽搁线于点Q,毗连FE,DQ,

又：DEJ_AB于E,二NGQF=NAED=90°,

;点D、F速率同样，；.AD=CF,

「△ABC是等边三角形，.,.NA=NABC=NQCF=60。,

在Z\ADE和△CFQ中，：/AED=NCQF=90°,NAED=NCQF,

，ZAED=ZCQF

在4ADE和△CQF中，＜ZA=ZQCF，•・•△ADE丝△CFQ(AAS),

AD=CF

；.AE=CQ,DE=QF且DE〃QF,四边形DEFQ是平行四边形，；.GE=LEQ,

2

：EC+AE=CE+CQ=AC,；.GE=LAC,又二,等边^ABC的边长为6,；.GE=3,

2

.•.点D、F同时运动且速率同样时，线段GE的长度不大概扭转.

D

BC'J,F

O【本题点评】本题考查了等边三角形的性质和判断，全等三

角形的性质和判断，平行线的性质，直角三角形的性质的使用，能推出两三角形全等是

解此题的关键.

课后作业参考答案：

1...•三角形ABC与三角形APQ全等，，(1)AABC^AAPQ时，AP=AB=4,那么

CP=AC+AP=14o

(2)△ABCZ/kAQP时,AP=AC=10,那么CP=AC+AP=20。

2,解：:△ABC与4DCF全等，DE=AC,.•.分两种状况：

①AB与CD是对应边时，CD=AB=6；

②AM与AC是对应边时，CD=BC=8；

综上所述：当CD=6或8时，Z\ABC与4DCF全等；故答案为：6或8.

【本题点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，关键操纵了全等三角形对应边相

等的性质，难点在于要分状况会商.

3,解：(1)证明：VPQ1AP,；.NABP=90°,，NAPB+NQPC=90",

•；AB_LBC于点B,AZA+ZAPB=90°,AZA=ZQPC；

（2）当P运动到离C处间隔为2时，PA=PQ,

fZABC=ZPCQ

证明：当PC=2时，PC=AB,在4ABP与△PCQ中，PC=AB

ZA=ZQPC

.♦.△ABP丝△PCQ(ASA),；.PA=PQ；

同理，BP=7时，PC=2也吻合，所以，点P运动到与点C间隔为2时，PA=PQ.

【本题点评】本题考查了全等三角形的判断与性质以及余角的性质：同角的余角相等,

精确证明NA=/QPC是关键.

4,【考点解析】全等三角形的判断与性质；等腰三角形的判断.

【考点解析】（1）操纵邻补角的性质和三角形内角和定明白得题;

(2)当DC=2时，操纵NDEC+NEDC=140°,ZADB+ZEDC=140°,求出NADB=/DEC,再操

纵AB=DC=2,即可得出△ABDgZ\DCE.

(3)当NBDA的度数为110。或80。时，Z\ADE的外形是等腰三角形.

【解答】解：(1