云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学（理）试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat20页共NUMPAGES\*MergeFormat24页云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学（理）试题及答案一、单选题1．设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得，，所以.故选.【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：因为，复数在复平面内对应的点的坐标为在第四象限，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由向量的几何意义，因为，所以，再运用向量积的运算得到参数的值.【详解】因为，所以，所以，将和代入，得出，所以，故选D.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．4．设，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先利用函数的单调性比较与的大小，再利用中间量比较与、大小．【详解】解：因为对数函数在区间上单调递增，且，所以，又即，所以，故选：A.【点睛】本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量、法，属于基础题．5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤【答案】D【解析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．【点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（参考数据：）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【解析】推导出，从而，由此能求出结果．【详解】解：光线通过一块玻璃，强度要损失．设光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则经过块这样的玻璃后光线强度为：，光线强度能减弱到原来的以下，，．至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下．故选：．【点睛】本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．7．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．4【答案】C【解析】将直线方程代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值．【详解】F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故选C．【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为，，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．10 B．6 C．7 D．16【答案】A【解析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于分的个数数出来，即为输出的结果．【详解】，，成立，不成立，；，，成立，不成立，；，，成立，成立，，；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于分的学生数为，故选A．【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．9．函数的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得解.【详解】解：函数的定义域为，且，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B，当时，，故可排除C；当时，，，显然当时，，函数是单调递减的，可排除D，故选：A.【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法，属于中档题．10．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为等腰直角三角形，所以三棱锥的体积为12.球的直径为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体长宽高的体对角线，即.所以球的体积为.所以点落在四面体内的概率为.故选C.【考点】1.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力.11．已知双曲线的渐近线均和圆相切，且双曲线M的右焦点为圆N的圆心，则双曲线M的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意因为圆把它变成圆的标准方程知其圆心为，利用双曲线的右焦点为圆的圆心及双曲线的标准方程建立，的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆相切，建立另一个，的方程．【详解】解：∵圆N的圆心，半径∴双曲线M的右焦点坐标为，即，则①又∵双曲线M的一条渐近线方程为，∴点N到渐近线的距离等于半径，即，化得②联立①②解得：，，∴该双曲线M的离心率为.故选：A.【点睛】此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题，属于中档题．12．已知函数有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函数的导函数，记，函数有两个不同的极值点，等价于导函数有两个不同的零点，对求导，求出极值，即可求出实数a的取值范围.【详解】，记，则题设条件转化为函数有两个不同零点.当时，在R上单调递增，不符合题意；当时，，令，解得：当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增；且当时，，当时，，又∵有两个不同零点，∴，即，解得，即实数a的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值与函数的零点问题，属于中档题.二、填空题13．等比数列的前项和为，且，，成等差数列,若，则____________.【答案】15．【解析】由题意得14．若关于的二项式的展开式中一次项的系数是，则__________．【答案】【解析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数的值。【详解】展开式的通项公式为，由，得，所以一次项的系数为，得，故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，熟练掌握二项式展开式的通项公式是关键，属于基础题。15．已知函数与的图像有三个不同交点，则实数k的取值区间为________________.【答案】【解析】函数的交点转化为函数的零点问题，根据函数是分段函数，分类讨论可得.【详解】记，则题意为：方程有三个不等实数根，当时，由得，时有两个不等实数根当时，由得，时有一个实数根，综上：时方程有三个不等实数根.故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点问题，分类讨论是解答的关键，属于中档题.16．如图，在四面体中，，用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的最大值为______【答案】【解析】根据线面平行的性质可知,因为，故,所以四边形为矩形，设，建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.【详解】因为直线AB//平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG,所以HG//AB，同理，，所以四边形EFGH为平行四边形又，可证明所以四边形EFGH为矩形.设，，当时，有最大值.故填.【点睛】本题主要考查了四面体ABCD中的对称性来证明四边形是矩形，线面平行的性质，二次函数求最值，属于难题.三、解答题17．某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评.“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出a的值；（2）若已从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，设第2组抽到人，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）由频率分布直方图的性质，能求出的值．（2）根据分层抽样的规则计算出各组人数，则随机变量的所有可能取值为1，2，3，分别计算出概率，列出分布列即可求出期望.【详解】解：（1）由，解得.（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数依次为2人，3人.随机变量的所有可能取值为1，2，3.其中，，，所以随机变量的分布列为：l23P【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查运算求解能力，属于中档题．18．已知函数的最大值为．（1）求的值；（2）已知锐角的内角所对的边分别为，若，三角形的面积为，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幂公式、辅助角公式等对进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到的值.（2）由得到的大小，利用面积公式得到的值，再由余弦定理，配凑出，得到答案.【详解】解：（1）的最大值为，故，可得（2），可得：，，可得，由三角形面积公式得，，可得：，由余弦定理得，，可得：，而【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的大小．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）由菱形的性质可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结果；（2）设，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面的法向量，结合平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）∵菱形，∴，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）设，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，设二面角的大小为，则，∴．∴二面角的大小为．【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知函数，，其中a为常数，e是自然对数的底数，，曲线在其与y轴的交点处的切线记作，曲线在其与x轴的交点处的切线记作，且.（1）求之间的距离；（2）对于函数和的公共定义域中的任意实数，称的值为函数和在处的偏差.求证：函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）求出与轴、轴的交点坐标，求出函数的导数，根据两条切线平行求出参数的值，即可求出切线方程，利用两平行线的距离公式求间的距离.（2）得到函数和的偏差为：，，利用导数分析，证明即可.【详解】（1）函数的图像与y轴的交点为，函数的图像与x轴的交点为，而，，∵，∴，得，又∵，∴.∴，，∴切线过点，斜率为；切线过点，斜率为，，，∴两平行切线间的距离（2）∵函数和的偏差为：，，∴，易得在上是增函数，方程有且只有一个正实根，记为，则.当时，；当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，，∴，故，即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求在一点处的切线方程，两平行线之间的距离公式的应用，利用导数研究函数的最值，属于中档题.21．已知椭圆的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于两点，其中直线l不过原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线的斜率分别为，其中且.记的面积为S.分别以为直径的圆的面积依次为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意知，且，由此能求出椭圆方程．（2）设直线的方程为，，，，，联立，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出的最小值．【详解】解：（1）由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为（2）设直线l的方程为，，，，，由消去y整理得，根据题设有：且，.因为，所以，将，代入，化简得：∵，∴.此时且，解得.故，又，为定值.∴，当且仅当即时等号成立.综上：的最小值为【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于难题．22．在平面直角坐标系中，直线l