集合的基本关系和运算

./集合的基本关系及运算[学习目标]1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集．在具体情境中,了解空集和全集的含义．2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集．[要点梳理]要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的"包含"关系集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集<subset>.记作：,当集合A不包含于集合B时,记作AB,用Venn图表示两个集合间的"包含"关系：要点诠释：〔1"是的子集"的含义是：的任何一个元素都是的元素,即由任意的,能推出．〔2当不是的子集时,我们记作"<或>",读作："不包含于"〔或"不包含"．真子集：若集合,存在元素xB且,则称集合A是集合B的真子集<propersubset>.记作：AB<或BA>规定：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的"相等"关系,则A与B中的元素是一样的,因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集,记作．要点二、集合的运算1.并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作：A∪B读作："A并B",即：A∪B={x|xA,或xB}Venn图表示：要点诠释：〔1"xA,或xB"包含三种情况：""；""；""．〔2两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合<重复元素只出现一次>.2.交集一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集；记作：A∩B,读作："A交B",即A∩B={x|xA,且xB}；交集的Venn图表示：要点诠释：〔1并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是．〔2概念中的"所有"两字的含义是,不仅"A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素",同时"A与B的公共元素都属于A∩B"．〔3两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集<complementaryset>,简称为集合A的补集,记作：补集的Venn图表示：要点诠释：〔1理解补集概念时,应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念,一个确定的集合,对于不同的集合U,补集不同．〔2全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则为全集；而当问题扩展到实数集时,则为全集,这时就不是全集．〔3表示U为全集时的补集,如果全集换成其他集合〔如时,则记号中"U"也必须换成相应的集合〔即．4.集合基本运算的一些结论若A∩B=A,则,反之也成立若A∪B=B,则,反之也成立若x<A∩B>,则xA且xB若x<A∪B>,则xA,或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是"且"与"或",在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.[典型例题]类型一、集合间的关系例1.集合,集合,那么间的关系是〔.A.B.C.=D.以上都不对举一反三：[变式1]若集合,则〔.A.B.C.=D.例2.写出集合{a,b,c}的所有不同的子集.举一反三：[变式1]已知,则这样的集合有个.[变式2]同时满足：①；②,则的非空集合有〔A.16个B.15个C.7个D.6个例3．集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={<x,y>|y=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合？举一反三：[变式1]设集合,,则〔A.B.C.D.[变式2]设集合,,则与的关系是〔A.B.C.D.[变式3]设M={x|x=a2+1,aN+},N={x|x=b2-4b+5,bN+},则M与N满足<>A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=例4．已知若M=N,则=．A．－200B．200C．－100D．0举一反三：[变式1]设a,bR,集合,则b-a=<>类型二、集合的运算例5.设集合,,,求.举一反三：[变式1]已知集合M={y|y=x2-4x+3,xR},N={y|y=-x2-2x+8,xR},则M∩N等于<>A.B.RC.{-1,9}D.[-1,9]例6.设集合M={3,a},N={x|x2-2x<0,xZ},M∩N={1},则M∪N为<>A.{1,3,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1,3}举一反三：[变式1]〔1已知：M={x|x≥2},P={x|x2-x-2=0},求M∪P和M∩P；〔2已知：A={y|y=3x2},B={y|y=-x2+4},求：A∩B,A∪B；〔3已知集合A={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+1,2a-1},其中aR,若A∩B={-3},求A∪B.[变式2]设集合A={2,a2-2a,6},B={2,2a2,3a-6},若A∩B={2,3},求A∪B.例7.已知全集,求CuA.举一反三：[变式1]设全集U={xN+|x≤8},若A∩<CuB>={1,8},<CuA>∩B={2,6},<CuA>∩<CuB>={4,7},求集合A,B.类型三、集合运算综合应用例8．已知全集A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a}.〔1若A∩B≠,求实数a的取值范围；〔2若A∩B≠A,求实数a的取值范围；〔3若A∩B≠且A∩B≠A,求实数a的取值范围．举一反三：[变式1]已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是〔 A．<-∞,-1] B．[1,+∞ C．[-1,1] D．〔-∞,-1]∪[1,+∞例9.设集合.〔1若,求的值；〔2若,求的值.举一反三：[变式1]已知集合,若,求实数的取值范围.[变式2]设全集,集合,若CuA,求实数的取值范围.[巩固练习]1．设,,,则〔A．B．C．D．2．已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩〔Venn图是〔3．若集合,,且,则的值为<>A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或04．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是〔A．ABB．BAC．D．5．若全集,则集合的真子集共有<>A．3个B．5个C．7个D．8个6．设集合,,则<>A．B．C．D．7．用适当的符号填空：〔1；〔2；〔3.8.若集合,,,则的非空子集的个数为.9．若集合,,则_____________．10．设集合,,且,则实数的取值范围是.11．已知,则_________.12．已知集合,若,请写出满足上述条件得集合.13．已知,,,求的取值范围.14．已知集合,且,求实数的值．15．设全集,,.[巩固练习]1．1.设A={<x,y>||x+1|+<y-2>2=0},B={-1,2},则必有〔A、B、C、A=BD、A∩B=2.集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y=},则M∩N等于〔A、{<-,1>,<,1>}B、C、D、3．已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩〔Venn图是〔4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是〔A．ABB．BAC．D．5．若集合,,且,则的值为<>A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或06．设集合,,则<>A．B．C．D．7．设,则.8．某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则