第三章现代非线性电路研究方法

第三章现代非线性电路研究方法

传统“非线性电路”研究的范畴局限于电子学学科，是从本学科自身发展中产生的。最早从放大器电路的限幅特性产生的电路如振荡器，还有模拟相乘器，频谱搬移、锁相环电路等发展起来，是电子学电路内部的非线性概念，与数学、物理等学科的非线性概念很不一致。在数学、物理等其它学科，“非线性”的概念比较一致，是指分形与混沌、孤立波等范畴的概念，本书所指的非线性概念与数学、物理等学科的非线性概念是一致的，使用“现代非线性电路”这一名词。现代非线性电路与经典电子电路的研究方法有很大的差别，经典电子电路的研究方法的思想基础是经典牛顿力学体系及其哲学与自然观，而现代电子电路则是正在发展着的后牛顿力学哲学与自然观。§1现代非线性电路研究方法引例

一、引例电路方程的建立电子线路是由电子线路元件连接起来的电子网络结构，电路节点电压与电路支路电流的变化规律是电子线路的研究目标。以下面的引例电路3-1(a)为例，其中vC1、vC2、iL是随时间变化的物理量，是电路的状态变量；R、C1、C2、L是电路元件的值，可以控制，是电路参数变量，GNL是非线性子电路。实例电路分析的任务是，找出各个状态变量的变化规律以及它们之间的相互关系。

(a)电路图(b)子电路GNL伏安特性曲线图3-1引例电路的设计思想研究非线性电路的主要方法有：（1）数学分析方法；（2）图解法；（3）利用电路仿真软件仿真；（4）物理电路实验。本节拟对引例先进行简单的数学分析，之后仿真。将引例物理变量写成数学微分方程的形式，称为电路状态方程。图3-1引例电路的状态方程是3-1方程中，GNL表示图3-1(a)中的子电路，它的伏安特性函数关系曲线由图3-1（b）表示，斜率的量纲是电导，是电压控制型的电流源，在线性电路中是一次方形式且为正数，称为线性电导，对应一个电阻元件，现在的非线性是将一次项取负数且加一正的三次项，即3-2这就是非线性电导，既然是电导，所以用GNL表示，还有一种电导量纲的公式用hNL表示。易见：当VC1较小时，GNL为负值从而呈现负电阻的特性，当VC1较大时才呈现正电阻的特性，它的具体电路在下节详细讨论。式3-1成为3-3是非线性微分方程，因为方程中出现了变量VC1的非线性的三次项，对应的电路图3-1即为非线性电路。为了本节后面的叙述方便，做变量代换，将3-3改写成进而3-4当K1=0.25、K2=0.1、α=5.5、β=7.4时，引例电路是混沌电路。引例电路中，有了非线性元件，电路状态方程称为非线性方程。现代非线性电路的理论与实验发现，即使少数的甚至于电路的一个元件是非线性元件，就足以产生丰富多彩的电路运动形态，形成五彩缤纷的电路动态图象，因此，我们很容易找到非线性电路的切入点，而且它的数学基础也不难，本节引例就是这样的电路。二、引例电路方框图及其仿真对于式3-4所描述的电路，当其中的4个控制参数选取上述数值后，电路动态特性是不是混沌的，要进行系统仿真予以鉴定，MATLAB是首选软件。根据式3-4容易设计出如下的系统仿真电路，如图3-2所示。右上角的“scope”是示波器，用于观察时域波形；右下角的“XYGraph”是点阵仪，用于观察李萨如图形，李萨如图形即“相图”。图3-2根据式3-4设计的引例电路仿真图仿真结果很有意思，波形图是一种奇怪的振荡，没有周期性。相图呈双螺圈状，是永无休止的运动。上图，x波形图，下图，y波形图(b)x,y相图图3-3引例电路仿真结果仿真图3-2尽管不是具体电路图，但是它的使用仍然很有必要，第一，它能很容易、很快地得到原始电路方框图的运行结果，并且能够及时地调整原始设计思想，而不必通过工作量较大的具体电路设计，第二，如果原始设计思想正确，它的仿真工作量也不是浪费，因为这种仿真图很容易直接转换成具体电路图，由下面的论述所证。三、引例电路物理设计及其仿真

图3-2是电路方框图而不是具体物理电路图，物理电路设计基本思路是直接利用运算放大器实现电路方程的倍乘及加减法运算功能，利用模拟乘法器实现电路方程的乘法运算功能，利用积分器实现微分功能（不能使用微分器，因为它的抗干扰性能差，噪音大）。根据系统仿真图设计的具体电路图为图3-4，电路运行结果见图3-5。图中的模拟乘法器仍然没有画出具体电路，这个工作难度不大，是由集成电路实现的，只是元件价格略微偏高。图3-4根据系统仿真图设计的具体物理电路图图3-5电路运行结果四、引例电路的初步分析非线性电路方程列写容易分析难，一般没有解析解，本引例即为无解析解的电路方程。为了分析无解析解的规律，一个有用的方法是使用差分方程分析方法：选择一组初始X0、Y0、Z0,再选择一个时间步长h，式3-4被一差分方程所代替，为3-5一步一步地计算下去，找出一组关于x、y、z的数据，从而找出电路动态变化的规律。这儿，初值的选择是一个问题，它的选择值可能影响所得结果渐近行为的正确性。在一定的条件下，如本书中所使用电路例子的渐进行为都是正确的，本引例就是这种情况。对于任意选择的初值问题的差分方程，将开始的许多点舍弃后，后面的点就是差分方程所求的结果。将以上结果画出以时间为横坐标的x、y、z的曲线是电路波形图，以x、y、z中任一变量为横坐标的曲线都是相图，相图很重要，图3-3(b)图与图3-5所示的图形都是相图。上面计算是根据电路元件R、C1、C2、L等的某一具体参数值进行的，这些参数值的选择对电路相图的拓扑结构有很大影响，例如某一个或者几个电路元件参数改变时，引例的相图在不动点、稳定焦点、极限环甚至奇怪吸引子之间转换，这是现代非线性科学技术中的重要发现。使用上面的MATLAB系统仿真方法与EWB具体电路仿真方法都能进行研究，还能使用通用高级语言进行研究，如VB。使用高级语言软件编程具有使用电路专用电路软件编程所不能实现的许多功能，这是研究现代非线性电路的需要，应当引起注意。使用VB编写引例电路动态特性的演变过程的结果见图3-6。电路参数为：K1=0.25、K2=0.1、β=7.4时，α取不同的值电路动态特性的演变，α值标记在图中。图中还画出电路在变化过程中非线性负电阻的对应工作范围。（a）α=4.00(b)α=5.00(c)α=5.10(d)α=5.159（e）α=5.20(f)α=5.55(g)α=6.39(h)α=7.00图3-6引例电路动态特性的演变过程引例就讲到这里。现在看一看非线性电路的特点。主要特点有：（1）叠加原理不适用；（2）拉普拉斯变换与Z变换不适用；（3）线性电路对于初始条件不敏感而非线性电路对于初始条件很敏感；（4）可能产生极限环，甚至产生混沌；（5）线性电路对于外界信号的频率谐振响应均匀变化，而非线性电路对于外界信号的频率谐振响应呈现复杂的阶跃形状。五、现代非线性线路与其它学科的关系与非线性电路科学技术密切相关的其它科学技术之间的关系如图3-7所示。图中间为非线性电路科学与技术体系，周围指向它的箭头表示非线性电路科学与技术工作者可以得到的知识信息输入，它指向周围的箭头表示非线性电路科学与技术研究的目标。由图可知，非线性电路科学与技术出于自身发展的需要，要设计新的非线性电路；要对新的非线性电路与原先已经出现的电路但尚有未被认识的非线性现象分析，找出新规律，如传统电子学领域的通信、仪器仪表、电子测量、家用电器、军事科学等；要将其它自然科学学科如数学、物理学、气象学等学科的以及人文科学学科如哲学、社会学、经济学等学科还有生产实际中的非线性问题引入到非线性电路中予以研究并加以利用；将非线性电路的研究成果应用到其它科学学科中。图3-7现代非线性电子线路的各种关系示意图就目前情况来看，非线性电路理论已经有了很大的发展并且初步形成了体系，但是远远没有成熟，未解决的问题很多，正处于迅速发展的“知识爆炸”式的指数规律发展时期，各种文献浩如烟海。非线性电路技术一般是在非线性电路理论指导下向前发展，发展中的二者结合较好，理论发现的任何一种有应用价值的电路几乎都同时被技术研究者投入到应用研究中。从应用需求以及从整个非线性电路科学技术自身来看，非线性电路技术发展几乎处于零起步状态。根据现有的非线性电路科学技术仅有20余年的历史，我们预言，要使非线性电路科学技术达到现代线性电子科学技术的相应水平，也许需要半个世纪，甚至一个世纪。因此，现代非线性电子科学技术对于我们的国家和民族的发展至关重要，这是一个挑战也是一个机遇。§2非线性负电阻电路

一、单运算放大器分段线性负电阻电路现代非线性电路中经常使用一种电路叫做非线性负电阻电路，“蔡氏二极管”就是一种非线性负电阻，由两个分段线性负电阻电路并联而成，或由一个分段线性负电阻电路及两个嵌位二极管电路组成，还有一种方法是先设计正电阻网络，之后改变成负电阻。分段线性负电阻电路如图3-8所示，由一个运算放大器及外围电路组成，利用运算放大器的限幅特性构成分段线性特性，其伏安特性曲线如图3-9所示。图3-8分段线性负电阻的电路构成图3-9分段线性负电阻电路的伏安特性曲线由图3-9，伏安特性曲线分成三段，每段都是线性的。中间一段呈线性负电阻，它对应于运算放大器的线性放大区，另外两段也是线性的，直流特性呈现为负电阻，交流特性呈现为正电阻。伏安特性表达式推导如下：在运算放大器的线性放大区，在满足R1=R2、Vcc=|Vee|、运放是理想的条件下，有3-6对应的斜率为电导G，3-7现在求输入电压VA的线性工作区的电压范围E1。因为当输入信号较小时，运算放大器工作在线性工作区，Vee＜Vc＜Vcc，随着输入信号增加到某一个临界值时，Vc值将达到供电直流稳压电源的电压Vcc，输入信号继续增加，Vc将保持不变，这个输入电压在图3-9中即为E1。由转折电压E1得，注意R1=R2，从而得到3-8即3-9求得两个折线拐点的横坐标。第二﹑四象限内的拐点坐标分别为3-10在线性工作区外：3-11对应的电导G，注意这时已有G>0，为正数，对应图3-9中曲线的两段正斜率范围，

3-12将3-10式中的两个拐点坐标分别代入点斜式方程，求出图中拐点之外折线的方程，如第四象限内3-13即得3-15将3-9代入，并将IA、VA的下标去掉，上式可以表示为3-14进而求得图3-9曲线方程表达式为：3-15式也可以表示为3-16由两个上述的分段线性负电阻电路并联构成的双运放非线性负阻电路如图3-10所示，图中两个负电阻电路的转折电压是不同的。由于两个线性负电阻是并联的，根据叠加原理，总电流为两个电流的代数和，如图3-11所示，擦去原来的两条曲线，如图3-12所示。伏安特性曲线分五段ABCDEF，中间三段BCDE呈非线性﹑负阻的特性，这就是我们所说的非线性负电阻，后