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抚州市重点中学2023年高三4月教学质量检测试题(佛山二模)数学试题理试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知且,函数,若,则()A.2 B. C. D.2.数列满足:,,,为其前n项和,则()A.0 B.1 C.3 D.43.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.4.命题:的否定为A. B.C. D.5.已知复数满足,则的共轭复数是()A. B. C. D.6.已知集合,,若,则()A. B. C. D.7.已知双曲线的一个焦点为,点是的一条渐近线上关于原点对称的两点,以为直径的圆过且交的左支于两点,若,的面积为8,则的渐近线方程为()A. B.C. D.8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则k的值为()A. B. C.或- D.和-9.已知复数(为虚数单位,),则在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知定点,,是圆上的任意一点,点关于点的对称点为,线段的垂直平分线与直线相交于点,则点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆11.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l相交12.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列是各项均为正数的等比数列,若,则的最小值为________.14.已知双曲线的一条渐近线方程为,则________.15.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.16.由于受到网络电商的冲击,某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响,承受了一定的经济损失,现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示,估算月经济损失的平均数为,中位数为n,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设,,,.(1)若的最小值为4,求的值;(2)若,证明:或.18.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0019.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,圆C的参数方程(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是,射线与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段的长.21.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点,点在第一象限,为左顶点,为下顶点,交轴于点,交轴于点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求点的坐标.22.(10分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,∴,则,则.即.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.2、D【解析】
用去换中的n,得,相加即可找到数列的周期,再利用计算.【详解】由已知,①,所以②,①+②,得,从而,数列是以6为周期的周期数列,且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故选:D.【点睛】本题考查周期数列的应用,在求时,先算出一个周期的和即,再将表示成即可,本题是一道中档题.3、A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.4、C【解析】
命题为全称命题,它的否定为特称命题,将全称量词改为存在量词,并将结论否定,可知命题的否定为,故选C.5、B【解析】
根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由,得,所以.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则,考查了复数的共轭复数的定义,属于基础题.6、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.7、B【解析】
由双曲线的对称性可得即,又,从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为,由双曲线的对称性,四边形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的渐近线方程为.故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与计算能力,属于中档题.8、C【解析】
直线过定点,直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),可以发现∠QOx的大小,求得结果.【详解】如图,直线过定点(0,1),∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°,⇒∠1=120°,∠2=60°,∴由对称性可知k=±.故选C.【点睛】本题考查过定点的直线系问题,以及直线和圆的位置关系,是基础题.9、B【解析】
分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系,可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【详解】因为时,所以,,所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的几何意义,考查学生的计算求解能力,属于基础题.10、B【解析】
根据线段垂直平分线的性质,结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点,如下图所示:所以有,而是中点,连接,故,因此当在如下图所示位置时有,所以有,而是中点,连接,故,因此,综上所述:有,所以点的轨迹是双曲线.故选:B【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力和推理论证能力,考查了分类讨论思想.11、D【解析】
通过条件判断直线l与平面α相交,于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面α,且l⊄α可知直线l与平面α相交,于是ABC错误,故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系,直线与直线的位置关系,难度不大.12、A【解析】
由点到直线距离公式建立的等式,变形后可求得离心率.【详解】由题意,一条渐近线方程为,即,∴,,即,,.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、40【解析】
设等比数列的公比为,根据,可得,因为,根据均值不等式,即可求得答案.【详解】设等比数列的公比为,,,等比数列的各项为正数,,,当且仅当,即时,取得最小值.故答案为:.【点睛】本题主要考查了求数列值的最值问题,解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.14、【解析】
根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程,结合题意可求得正实数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于该双曲线的一条渐近线方程为,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数,考查计算能力,属于基础题.15、【解析】
利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】,所以复数的实部为2.故答案为:2【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.16、360【解析】
先计算第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,,面积和超过0.5,所以中位数在第二块求解,然后再求得平均数作差即可.【详解】第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,故;而,故.故答案为:360.【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征,考查运算求解能力以及数形结合思想,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)2;(2)见解析【解析】
(1)将化简为,再利用基本不等式即可求出最小值为4,便可得出的值;(2)根据,即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范围.【详解】解:(1)由题可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【点睛】本题考查基本不等式的应用,利用基本不等式和放缩法求最值,考查化简计算能力.18、(1),,,;(2)【解析】
(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【详解】(1),,,由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:(2)因为第3、4、5组共有50名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取2人,2人,1人设第3组的3位同学为、,第4组的2位同学为、,第5组的1位同学为,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法,故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率,属于基础题.19、(1)答案见解析(2)【解析】
(1)先对函数进行求导得,对分成和两种情况讨论,从而得到相应的单调区间;(2)对函数求导得,从而有,,,三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数,再构造新函数利用导数研究函数的最小值,从而得到的取值范围.【详解】解:(1)由,,则,当时,则,故在上单调递减;当时,令,所以在上单调递减,在上单调递增.综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.设,则,∴在上单调递减;当时,.∴,即所求的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值,考查分类讨论思想和数形结合思想,求解双元问题的常用思路是:通过换元或消元,将双元问题转化为单元问题,然后利用导数研究单变量函数的性质.20、(1);(2)2【解析】
(1)首先利用对圆C的参数方程(φ为参数)进行消参数运算,化为普通方程,再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程.(2)设,联立直线与圆的极坐标方程,解得;设,联立直线与直线的极坐标方程,解得,可得.【详解】(1)圆C的普通方程为,又,所以圆C的极坐标方程为.(2)设,则由解得,,得;设,则由解得,,得;所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化,考查圆的极坐标方程,考查极坐标方程的求解运算,考查了学生的计算能力以及转化能力,属于基础题.21、(1);(2)【解析】
(1)由题意得,求出,进而可得到椭圆的方程;(2)由(1)知点,坐标,设直线的方程为,易知,可得点的坐标为,联立方程,得到关于的一元二次方程,结合根与系数关系,可用表示的坐标,进而由三点共线,即,可用表示的坐标,再结合,可建立方程,从而求出的值,即可求得点的坐标.【详解】(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知点,,由题意可设直线的斜率为,则,所以直线的方程为,则点的坐标为,联立方程,消去得:.设,则,所以,所以,所以.设点的坐标为,因为点三点共线,所以,即,所以,所以.因为,所以,即,所以,解得,又,所以符合题意,计算可得,,故点的坐标为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查平行线的性质,考查学生的计算求解
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