2021年山东省日照市高考数学适应性试卷（学生版+解析版）（二模）

2021年山东省日照市高考数学适应性试卷（二模）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|-5<x<l},B={x\x2,,4},则A0|B=（）

A.（2,3）B.[2,3）C.[-2,1）D.（-2,1）

2.（5分）已知i为虚数单位，复数ZMsin^-icos?,则z在复平面内对应的点位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）已知|©=&,|6|=4,当6,（44—5）时，向量1与5的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6434

4.（5分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四

角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分

的轮廓可近似看作-个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2，，则侧棱与底

面内切圆半径的比为（）

3sin63cos夕2sin。2cos。

5.（5分）已知数列伍“}是等比数列，7；是其前〃项之积，若%•4=%，则T,的值是（

）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）若实数x、y满足条件f+y2=l,则上心的范围是（）

A.[0,72]B.[-3,5]C.（-co,-1]D.（-8,--J

4

7.（5分）地铁某换乘站设有编号为町，机2，机3，的四个安全出口，若同时开放其中的

两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表:

安全出口编号

机］,m27n2，机3m3，m4，m3

疏散乘客时间⑸120140190160

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）

A.呵B.m2C.m3D.

8.（5分）已知函数是定义域为R的偶函数，且，。-1）是奇函数，当Oi!k1时，有

/（x）=Vl-x2,若函数y=/（x）-攵5-2021）的零点个数为5,则实数左取值范围是（）

A.1<^<1B.-<A;<-

5263

（红或k=-圆D.显或瓜<k<2

C.

12412312123

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

r22

9.（5分）已知曲线C的方程为±+二v^=1（加€氏），则（）

m+\3-in

A.当加=1时，曲线C为圆

B.当帆=5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为'=±年》

C.当机＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆

D.存在实数〃?使得曲线C为双曲线，其离心率为四

10.（5分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理

财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保

险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例:

专保人数比例小网年然段人均参保费用春保险肿比例

用该样本估计总体,以下四个选项正确的是（）

A.54周岁以上参保人数最少

B.18~29周岁人群参保总费用最少

C.丁险种更受参保人青睐

D.30周岁以上的人群约占参保人群20%

11.（5分）已知棱长为1的正方体A8CO-ASCQ，过对角线8R作平面a交棱相，于点£，

交棱CG于点尸，以下结论正确的是（）

A.四边形8尸〃E不一定是平行四边形

B.平面a分正方体所得两部分的体积相等

C.平面a与平面可以垂直

D.四边形8F4E面积的最大值为夜

12.（5分）若实数A.2,则下列不等式中一定成立的是（）

A.Q+3）/〃（r+2）>（r+2）/〃Q+3）

B.（r+l）,t2>（r+2）,+l

C.1+->log,（r+1）

D-log«+i）（/+2）>log（f+2）（'+3）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机

器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有一种.

14.（5分）若不等式（x-a）2<l成立的充分不必要条件是l<x<2,则实数“的取值范围

是—.

15.（5分）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛

的应用.如图，A,B,C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大

圆的劣弧分别为AB,BC,CA,由这三条劣弧组成的图形称为球面A45C.己知地球半径

为R,北极为点N,P,Q是地球表面上的两点.若P,。在赤道上，且经度分别为东经20。

和东经60。，则球面&VPQ的面积为.

16.（5分）如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为。，在平行光线的照射下,

其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图，椭圆中心为O,球与地面的接触点为E,OE=4.若

光线与地面所成角为6,椭圆的离心率e=.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）在人48。中，°",＜：分别为内角4,B,C的对边，且2c8sC=acos3+6cosA.

（1）求C的大小；

（2）若〃=3a,c=S,求AA8C的面积.

18.（12分）已知正项数列｛%｝,其前〃项和为5,,,%=l-2S“（〃eN*）.

（1）求数列伍“｝的通项公式：

（2）设2=（-1）"（'+2〃），求数列｛"｝的前〃项和

4,

19.（12分）如图，在三棱锥A—38中，ZBCD=90°,BC=CD=\,ZACB=ZACD=0.

（I）证明：ACA.BD；

（II）有三个条件：

①，=60。；

②直线AC与平面3CD所成的角为45。；

③二面角A-CD-8的余弦值为且.

3

请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值.

A

20.（12分）近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波

动.为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研

究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元/斤）走势如图所示:

（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y（元/斤）与月份x之间具有较强的线

性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,若不调控，依据相关关系预

测12月份玉米的销售均价；

（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三

个月份的所属季度，记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.

777

参考数据：苫七=25,Z%=5.36,-/（%-》）=0.64.

i=3i=3/=3

回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

工七为-rixy一£）（%一切

b=得---------=------------,a=y-bx.

*=11=1

21.（12分）已知抛物线by?=2px,过抛物线£上一点C（l,3）作直线C4,CS交抛物线

于A,8两点，交x轴于。，f两点，且CD=CF.

（1）求E的方程：

（2）求AA8c的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由.

22.（12分）已知/'（x）=acosx-巴竺，其中〃>0且axl.

a

(1)若a=2,(p(x)=f'(x),曲线y=e(x)在点Q,以。)处的切线为/,求直线/斜率的取

值范围：

(2)若尸(x)在区间(0,2%)有唯一极值点飞,

①求a的取值范围；

②用加,b,c｝表示a,b,c的最小值.证明：/'(入。)＜加"｛2初，(1-。)乃｝.

2021年山东省日照市高考数学适应性试卷（二模）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合4={x[—5<x<l},B={x|x2,,4},则）

A.（2,3）B.[2,3）C.[-2,1）D.（-2,1）

【解答】解：•.・A={x|—5<x<l},8={x]—2数*2},

故选：C.

2.（5分）已知i为虚数单位，复数z=sin£-iS则z在复平面内对应的点位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：z=sin--icos—=-sin—+/cos—=--+—z,

666622

•・二在复平面内对应的点的坐标为J?弓），位于第二象限.

故选：B.

3.（5分）已知修|=0,|5|=4,当杨时，向量日与5的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6434

【解答】解：根据题意，设向量。与5的夹角为夕，

若5_L（4d-b）,则尻（44-5）=4万啰一目。=16&cos，-16=0,

变形可得：cos0=—,

2

又由噫旧万，则8=工，

4

故选：B.

4.（5分）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四

角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分

的轮廓可近似看作-个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2。，则侧棱与底

面内切圆半径的比为（）

,UKL.

A.—B.C.D.—?—

3sin63cos。2sin62cos0

【解答】解：设O为正六棱锥S-MC。跖底面内切圆的圆心，

连接。4,OB,如图所示：

JTJT

由题意可知4403=—，ZSAB=一一6,

32

711

/.OA=AB,SA-cos(8)=S4•sin。=—AB,

22

SA="-,设内切圆半径为r,贝那11乙=丁」=6,r^AB,

2sin193^AB2

2

AB

・••侧棱与底面内切圆的半径的比为2=笔边=/一.

r733sin。

—AB

2

故选：A.

5.(5分)已知数列｛〃〃｝是等比数列，7；是其前〃项之积，若4•4=出，则(的值是(

)

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：・.•数列｛q｝是等比数列，7；是其前〃项之积，4•&=%，

=a",解得%q3=1,

7；=q•a2a3•4•%•4•%=a；q”=(^,^3)7=1.

故选：A.

6.（5分）若实数x、y满足条件V+y2=i,则上心的范围是（）

X+1

A.[0,V2]B.[-3,5]C.(-co,-1]D.(-oo,

【解答】解：令1=cosa,y=sina,则2~2_sinj7―2

x+1cosa+1

令s'""一-=t,得，cosc-sina=-2-r,有\/t2+1sin(^-a)=-2-t,(tan(p-J-——).

cosa+l

则sin(0-a)=―'=,由।二31"],解得一3,

所以看的范围是（-8,

故选：D.

7.（5分）地铁某换乘站设有编号为网，牡，叫，叫的四个安全出口，若同时开放其中的

两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表:

安全出口编号

加1,m2tn2，m3m3，m4

疏散乘客时间⑸120140190160

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）

A.机।B.m2C.叫D.m4

【解答】解：由同时开放牡，外疏散1000名乘客所需的时间为140s,同时开放机3,，叫疏

散1000名乘客所需的时间为190s,所以，叫比叫疏散乘客快，

由同时开放吗，砥疏散100。名乘客所需的时间为190s,同时开放叫，叫疏散1000名乘

客所需的时间为1605,所以叫比叫疏散乘客快，

由同时开放m2,m3疏散1000名乘客所需的时间为140s,同时开放mx,nt,疏散1000名乘

客所需的时间为160’,所以叫比叫疏散乘客快，

由同时开放叫，，丐疏散1000名乘客所需的时间为120s,同时开放m2,my疏散1000名乘

客所需的时间为140s,所以叫比外疏散乘客快，

综上所述：，巧>班，，%>，4,>m4,m2>m3,

所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是根,，

故选：B.

8.(5分)已知函数/(x)是定义域为R的偶函数，且/*-1)是奇函数，当崂!k1时，有

/(x)=Vl-x2,若函数y=/(x)—A(x—2021)的零点个数为5,则实数％取值范围是()

A.-<k<-B.

5263

C.—<k<—或攵=----D.----<k<----或一<k<—

12412312123

【解答】解：•••/(X-1)是奇函数，

/(x)的图象关于(-1,0)对称,

又/(幻为偶函数，

.•./。)的周期为4><|一1一0|=4,

又喷上1时，有=故可作出函数/(x)的图象如下图所示，

令f=x-2020,则y=/«+2020)-k(t-1)=f(t)-k(t-1),

依题意，函数y=f(r)的图象与直线y=Z(f-l)有5个交点，显然

当%>0时，由图可知，直线y=AQ-1)应介于蓝色线与绿色线之间，

设蓝色线直线方程为y=K(f-l),则(8,0)到直线产左("1)的距离为1,即=解

得人=正，

设绿色直线方程为y=1),则(40)到直线y=匕。—1)的距离为1,即兽L=l,解

得匕=旦,

4

故此时k的取值范围为(赵，①)；

124

当左＜0时，由图可知，直线y=&Q-l）应恰为红色直线，则（6,0）到直线y=&（f—l）的距离

为1,即普L=i,解得％=_巫；

ViTF12

综上，实数k的取值范围为（奈¥）|』用｝・

故选：C.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

22

9.（5分）已知曲线C的方程为‘一+-^—=l（〃?eR）,则（）

m+l3—m

A.当帆=1时，曲线C为圆

B.当〃?=5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±日x

C.当〃?＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆

D.存在实数，”使得曲线C为双曲线，其离心率为近

22

【解答】解：曲线C的方程为二二+上一=1（%CR）,

m+l3-m

当机=1时，曲线C为幺+,2=2,是圆，所以A正确；

当机=5时，曲线C为三-$=1是双曲线，其渐近线方程为？=土且x,所以3正确；

623

当机＞1时，曲线C为焦点在无轴上的椭圆，结合选项8可知，C不正确；

存在实数〃?使得曲线C为双曲线，其离心率为3,则必须6+1=3,

因为此方程无解，所以。不正确.

故选：AB.

10.（5分）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理

财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保

险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：

牟保人数比例小网年黯段人均参保费M・保险抑比例

用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（）

A.54周岁以上参保人数最少

B.18~29周岁人群参保总费用最少

C.丁险种更受参保人青睐

D.30周岁以上的人群约占参保人群20%

【解答】由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的

39%+33%+8=80%,故A对。错；

由折线图可知，18~29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总

费用不是最少，故3错误；

由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故C正确；

故选：AC.

11.（5分）已知棱长为1的正方体,过对角线作平面a交棱A4，于点E,

交棱CG于点尸，以下结论正确的是（）

A.四边形BFRE不一定是平行四边形

B.平面，分正方体所得两部分的体积相等

C.平面c与平面£>8片可以垂直

D.四边形BFRE面积的最大值为近

【解答】解：如图所示：

对于A,因为平面平面CCQO,平面BFREC平面ABB/=8£，平面

BFREC平面CCRD=D.F,

所以BE//RF,同理可证所以四边形BFRE是平行四边形，故A不正确;

对于B，由正方体的对称性可知，平面a分正方体所得两部分的体积相等，故8正确;

对于C,当E、尸为棱中点时，EF上平面BBQ,又因为£Fu平面5尸&E,

所以平面BFRE_L平面8耳。，故C正确；

对于D,平行四边形BED、F的面积取最大值时，即三角形EBR的面积取得最大值，

因为这个三角形的面积的两倍是该平行四边形的面积.

而8R位置固定，只需点E到8%的距离最大，即可取得面积的最大值，

当点尸与A重合时，点尸与£重合时，四边形8尸RE面积的最大，且最大值为值为

V2xl=V2,故3正确.

故选：BCD.

12.(5分)若实数f..2,则下列不等式中一定成立的是()

A.Q+3)ln(t+2)>(t+2)ln(t+3)

B.(r+l)-2>«+2)川

C.1+->log,(r+1)

D.log”叫(f+2)>log“+2)(f+3)

【解答】解：^/(%)=—,则/8)=上空，

XX

易得，当x>e时，r(x)<0,函数单调递减，当0<x<e时，f'(x)>0,函数单调递增,

因为f..2,t+3>t+3>e,

所以/〃(r+3)</〃C+2),

f+3f+2

所以«+2)加。+3)v«+3)加«+2)

同理/〃(/+1)>/〃(/+2),

/+11+2

所以(f+2)/n(z+!)>(/+r)ln(t+2),

所以0+1)-2>«+2严,8正确；

所以Q+2)ln(t+l)>(r+l)/n(r+2),A正确；

令g0)=四里2,x..3,

Inx

则g，⑶=2(x+,l)/〃(x+l)<0,

In-x

故g(x)在[3,+8)上单调递减，g(f+l)>g(f+2),

所以生空④)/〃(f+3)

//(f+1)ln(t+2)

故1。8,+1。+2)>108,+2。+3)，D正确;

对于C,1+1>log,(f+l)>/“('+D。也>/〃《+1),结合选项A的讨论，r与e的

ttInttt+\

大小不确定，故C错误.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机

器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有_£_种.

【解答】解：根据题意，选出的3人中恰好有一名女生，即2男1女，

2名男生的选法有C；=3种，1名女生的选法有C；=2种，

则有3x2=6种不同的选法，

故答案为：6.

14.(5分)若不等式(x-〃)2<l成立的充分不必要条件是l<x<2,则实数。的取值范围是

口-2]一

【解答】解：由(x-a)2<l得a-l<x<4+l,

•.T<x<2是不等式(x-a)2<1成立的充分不必要条件，

二满足1，且等号不能同时取得，

即

\a..\

解得掇W2,

故答案为：[1,2].

15.（5分）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛

的应用.如图，A,5,C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大

圆的劣弧分别为AB,BC,CA,由这三条劣弧组成的图形称为球面AABC.已知地球半径

为A,北极为点N,P,。是地球表面上的两点.若P,。在赤道上，且经度分别为东经20。

和东经60。，则球面&VPQ的面积为—亥弦

【解答】解：P。在赤道上，且经度分别为20。和60。，

...上半球面面积为=2TTR2,

2

球面APNQ面积为--------x24R-=-----.

360°9

故答案为：—.

9

16.（5分）如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O',在平行光线的照射下,

其投影的边缘轨迹为椭圆C.如图，椭圆中心为O,球与地面的接触点为E,OE=4.若

光线与地面所成角为，，椭圆的离心率e=-.

一5一

【解答】解：在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即6=4,

由图Z.O'AB+ZO'BA=1（ZA'AB+ZB'BA）=；x180°=90°,

可得N/U7B=90。，由O是中点，故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长,

连接O'E,在构成的直角三角形O'OE中，OO2=OE2+(7E2=32+42=52,

_c3

即Rn。=5,e=—=—

a59

故答案为：

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)在AABC中，a,Z?,c分别为内角A,8,C的对边，且2c8sC=acos3+6cosA.

(1)求C的大小；

(2)若b=3a,c=g,求AABC的面积.

【解答】解：(D由正弦定理知，—=—=

sinAsinBsinC

2ccosC=tzcosB+b8sA,

2sinCeosC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+8)=sinC,

•/sinC^O,

/.cosC=—,

2

VCG(0,^),

.\C=-.

3

(2)由余弦定理知,c2=er+b2-labcosC,

.-.l=a2+9a2-2a-3a--,即/-1=0,

2

解得a=l或—1(舍)，

b=3a=3,

ii/a3/3

/./SABC的面积S=—absinC=—xlx3x^-=-----.

2224

18.(12分)已知正项数列{4},其前〃项和为S“，4,=1-2S〃5£N*).

(1)求数列｛%｝的通项公式:

(2)设2=(-1)"(—+2〃)，求数列｛2｝的前1项和北.

【解答】解：(1)正项数列｛4｝,其前〃项和为S〃,

a”=1—2S〃(〃cN)f可得q=1—2sl=1—24,

解得q=g,

当〃..2时，々I=1—2S〃T，又4=1—25〃，

两式相减可得an-an_y=1-2Sn-1+=-2an，

化为4=?"一i’

则是首项和公比均为g的等比数列，

可得4,=(：)"；

(2)2=(-1)"('+2〃)=(-1)"(3"+2〃)，

4

所以7；=[(-3)+9+(-27)+...+(-3)"]+[-2+4-6+8+(-1)"-2M],

n3(-3)"+"

当〃为偶数时,JU-EM.—=n--------

1-(-3)244

-3[l-(-3y]7(-3)n+l

当“为奇数时,4-(n-1)-2n=-n----------

1-(-3)44

7(一3尸

—n--，-“-为--奇--数-

44

综上可得，Tn

〃二为偶数

44

19.(12分)如图，在三棱锥A-3C£＞中，ZBCD=90。，BC=CD=1,ZACB=NACD=6.

(I)证明：AC±BD-

(n)有三个条件：

①，=60。；

②直线AC与平面3C£＞所成的角为45。；

③二面角人一8-8的余弦值为且.

3

请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面A8所成的角的正弦值.

A

【解答】解：(I)证明：取的中点O,连结AO,CO,

如图所示，则CO_L8£>,又BC=CD=1,ZACB=ZACD=e,

所以A43C三AADC,则AB=4),所以AOJ_3O,

又因为AO「|CO=O,AO,COu平面AOC,

所以8D_L平面AOC,又ACu平面AOC,所以AC_L8£>;

(II)在C4上取点P,使得OPJ_OC,连结PB,PD,由于OC和比)是平面88中的

相交直线，所以OP_L平面88,

故以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

在RtABCD中，BC=CD=1,故80=0,

所以CO=BO=DO=出,

2

则5(0,-,0),C(^,0,0),D(0,,0),

222

所以阮=(*,',0),

22

若选①：因为6=60。，则APCD为等边三角形，搜易PD=C£)=PC=1,

所以OP=正，故P(0,0,也)

22

所以无=g,o,-争丽=(0,孚-争，

设平面PC£>的一个法向量为n=(%,y,z),

变&

-

Xz-o

2-2

n-PC=0

板

则有《即上

O

n-PD=0-zv--Z-

2»2

令x=l,则y=z=l,故"(LU)，

,72^72

----1----1-_旦

所以|cos<BC,ri>|=［吧22

15cli则73x1_3

所以直线3c与平面PCD(即平面ACD)所成的角的正弦值为亚：

3

若选②：由POJL平面可得NPCO即为直线PC(即AC)与平面38所成的角,

所以NPCO=45。，故Rf△为等腰直角三角形，

所以PO=CO=立，故P(O,O,E),

22

所以定=(¥，o,-弓)，而=(0,当,-孝)，

设平面PCD的一个法向量为为=(x,y,z),

2后

一

反_

开=o22z=0

贝Hm

u而

p»l2夜

方=O

2

-2z=0

令X=l,则y=z=l,故方=(1,1,1),

也心

所以|cos<阮，为>1=I","I=22=逅，

13cli则V3xl3

所以直线8C与平面PCD(即平面ACD)所成的角的正弦值为逅:

3

若选③：作PM_L8,垂足为M,连结

由尸OJ■平面BCD,C£>u平面BCD,所以PO_LCE),

又「。门。M=尸，PO,PMu平POM,

又OMu平面POM,所以C£)J_QM,

则NPMO即为二面角P-CE>—8即二面角A-CQ-B的平面角,

因为NPMO的余弦值为走，

3

故它的正弦值为如，所以正切值为夜，

3

V2&

亏x于।J2

所以OM=-^——2_=-,解得0尸=J=OC,

122

故P(0,0,乌，

2

所以定=(,0,-争丽=(0,孚-争，

设平面PCO的一个法向量为为=(x,y,z),

与

应

o

-一z-

则有卜,吧=°,BP-22

旦

拒

一Z-O

2-2

令x=l,则y=z=l,故万=(1,1,1),

|也+也

LV6

所以|cos<BC,n>\=/“=2

18cli”|73x1一3

所以直线8c与平面PQ（即平面口所成的角的正弦值为华

20.（12分）近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波

动.为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研

究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元/斤）走势如图所示:

（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y（元/斤）与月份x之间具有较强的线

性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,若不调控，依据相关关系预

测12月份玉米的销售均价；

（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三

个月份的所属季度，记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.

777

参考数据：2升=25,Z%=5.36,Z（±-元）（％-刃=0.64.

»=3i=3i=3

回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

.丽-耳（必一切

i=l

b=xn,a=y-bx.

-n(x)2£(%-元f

;=i

【解答】解：（1）由题意得:

月份X34567

均值y0.950.981.111.121.20

x=1(3+4+5+6+7)=5,

y=1(0.95+0.98+1.11+1.12+1.20)=1.072,

7

Z(%-T)2=10,

1=3

7

2(%-幻(%一刃

b=-----------=0.064,a=y-bx=0.152,

i=3

.•.从3月至U7月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75.

当x=12时，代入回归方程得y=1.47,即可预测12月份玉米销售均价为1.47元/斤.

（2）X的可能取值为1,2,3,

27

尸(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=—,

.•.X的分布列为:

X123

P12727

555555

E(X)=lx±+2x||+3x|Z=^

21.（12分）已知抛物线E:/=2℃，过抛物线E上一点C（l,3）作直线C4,交抛物线

于A,B两点、,交x轴于。，F两点，且CD=CF.

(1)求£的方程：

(2)求AABC的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由.

【解答】解：(1)将C(l,3)代入抛物线的方程V=2px,

可得2P=9,即有p=g,

可得抛物线的方程为V=9x；

(2)设A(X|,%),B(X2,y2),

由8=C尸，可得直线AC,8c的倾斜角互补，

可得“AC+"8c=。，

即有星二2+&z2=o,

%—1%—]

与坦+与^=0,即为，-+，_=0,

”五_1X+3必+3

99

化为y+为=-6，

则30=牛4=?=[，

再-々芦+%2

99

设直线AB的方程为X=-2y+机，

3

代入抛物线的方程9x,可得丁+6>_9m=0,

则4=36+36m>0,即机>—1,

,+必=-6,y}y2=-9m,

可得IAB|=J1+；J(-6y+4x9"?=2而-，1+川,

C(l,3)到直线AB的距离为d=叫2-"=/=|加-31,

R屈

则AABC的面积为5=,必|A5|=3"i与|加-3|,

2

令/=Jl+zn,z>0,S=3,|产=41=31/一4/1,

由于「一4/在，>0上，当/f+oo时，t3-4/^-Foo,

所以AABC的面积不