【湖南专版】年中考数学一轮复习空间与图形解直角三角形

§6.3解直角三角形中考数学

(湖南专用)A组2014—2018年湖南中考题组五年中考考点一锐角三角函数1.(2018湖南益阳,8,4分)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点,则

小刚上升了

(

)

A.300sinα米

B.300cosα米C.300tanα米

D.

米答案

A根据三角函数的定义得,sinα=

,得BO=ABsinα,又AB=300米,所以BO=300sinα米,故选A.2.(2017湖南怀化,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C作AB⊥x轴于B,如图,

∵点A的坐标为(3,4),∴OB=3,AB=4,∴OA=

=5,在Rt△AOB中,sinα=

=

.故选C.3.(2016湖南永州,11,4分)下列式子错误的是

()A.cos40°=sin50°

B.tan15°·tan75°=1C.sin225°+cos225°=1

D.sin60°=2sin30°答案

D∵sin60°=

,2sin30°=2×

=1,∴选项D错误,故选D.4.(2015湖南邵阳,13,3分)下列计算中正确的序号是

.①2

-

=2;②sin30°=

;③|-2|=2.答案③解析2

-

=

,故①错误;sin30°=

,故②错误;|-2|=2,故③正确.5.(2015湖南长沙,19,6分)计算:

+4cos60°-|-3|+

.解析原式=2+4×

-3+3=2+2=4.思路分析

本题考查了负整数指数幂的性质,特殊三角函数值,绝对值的化简,非负数的算术平

方根.易错警示

本题易错点有两个:①负整数指数幂的性质:

错等于-2;②记混特殊三角函数值,cos60°错记成

.考点二解直角三角形1.(2018湖南常德,6,3分)如图,已知BD是△ABC的角平分线,ED是BC的垂直平分线,∠BAC=90°,

AD=3,则CE的长为

()

A.6

B.5

C.4

D.3

答案

D∵ED是BC的垂直平分线,∴DB=DC,∴∠C=∠DBC,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC,∵∠BAC=90°,∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°,∴BD=2AD=6,∴CE=CD×cosC=3

.故选D.2.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉

线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)

()

A.

B.

C.

D.h·cosα答案

B因为CD⊥AB,AC⊥BC,所以∠CAB+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,所以∠CAB=

∠BCD=α.在Rt△BCD中,cosα=

,故BC=

,故选B.思路分析

利用CD与AB垂直,AC与BC垂直,得到∠BCD=∠CAB=α,再根据余弦的定义即可求

得BC的长度.3.(2016湖南怀化,10,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,AC=6cm,则BC的长度为

()A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm答案

C∵sinA=

=

,∴设BC=4x,AB=5x(x>0),又∵AC2+BC2=AB2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍),则BC=4x=8cm,故选C.思路分析

先由sinA=

=

设未知量,再利用勾股定理列方程求解.解题关键

本题考查了三角函数与勾股定理,正确理解三角函数的定义是解题的关键.4.(2016湖南益阳,8,5分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度,如图,旗杆PA的高

度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB'的位置,测得∠PB'C=α(B'C为水平线),测角仪B'D的

高度为1,则旗杆PA的高度为

()

A.

B.

C.

D.

答案

A由题易得CB=B'D=1,PC=PB-CB=PB-1.设PA=PB=PB'=x,则PC=x-1.在Rt△PCB'中,

sinα=

,即sinα=

,∴x=

.故选A.5.(2016湖南长沙,11,3分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为3

0°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为

()

A.160

mB.120

mC.300m

D.160

m答案

A设AD⊥BC于点D,由题意得AD=120m,在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,∴BD=AD·tan∠BAD=120·tan30°=120×

=40

(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,∴CD=AD·tan∠CAD=120·tan60°=120×

=120

(m).∴BC=BD+CD=40

+120

=160

(m),故选A.评析本题考查了解直角三角形,解答本题的关键是构造直角三角形,利用锐角三角函数求解.6.(2015湖南长沙,11,3分)如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的

B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为

()

A.

米

B.30sinα米

C.30tanα米

D.30cosα米答案

C根据题意可得BO=30米,tan∠ABO=

,则AO=BO·tan∠ABO=30tanα(米).7.(2015湖南衡阳,12,3分)如图,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得

电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100米到达F处,又测得电视塔顶端A的仰角为6

0°,则这个电视塔的高度AB为

(

)

A.50

米

B.51米C.(50

+1)米

D.101米答案

C设AG=x米,则CG=

=

=

x米,EG=

=

x米,CG-EG=100米,即

x-

x=100,解得x=50

.∴AB=AG+GB=(50

+1)米,故选C.思路分析

求AB的长即求AG的长,设AG=x,分别表示CG,EG,利用CG-EG=100米列方程求解.解题关键

根据两个仰角构造直角三角形,利用三角函数求解.8.(2018湖南邵阳,24,8分)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡

式自动扶梯.如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m,坡角∠ABD为30°.改造后的斜坡式

自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1

m.温馨提示:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)

解析在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10m,∴AD=AB·sin∠ABD=10×sin30°=5m,在Rt△ACD中,∠ACD=15°,sin∠ACD=

,∴AC=

=

≈

≈19.2m.即改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米.9.(2018湖南湘潭,19,6分)随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在

南海海域隆重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图,我军巡逻舰在某海域航行

到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续

沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处,问此时巡逻舰与观

测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:

≈1.414,

≈1.732,结果精确到1海里)

解析在△APC中,∠ACP=90°,∠APC=45°,则AC=PC.

∵AP=400海里,∴由勾股定理知,AP2=AC2+PC2=2PC2,即4002=2PC2,故PC=200

海里.在Rt△BPC中,∠PCB=90°,∠BPC=60°,∴PB=

=2PC=400

≈400×1.414≈566(海里).答:此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里.思路分析

通过勾股定理得到线段PC的长度,然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可.10.(2017湖南长沙,22,8分)为了维护国家主权和海洋权利,海监部门对我国领海实现了常态化

巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方向航行,在A处测

得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.(1)求∠APB的度数;(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?

解析(1)如图,过点B作BC⊥AB,交AP于点C,过点A作AD∥BC,则∠ACB=∠CAD=60°,∴∠

APB=∠ACB-∠CBP=60°-30°=30°.

(2)解法一:过点P作PE⊥AB于点E,依题意知AB=50海里,设PE=x海里,则BE=

x海里,易知∠APE=∠DAP=60°,在Rt△APE中,∵tan∠APE=

,∴tan60°=

,解得x=25

.∵25

>25,∴海监船继续向正东方向航行是安全的.解法二:过点P作PE⊥AB于点E,由(1)知∠APB=30°,∵∠PAD=60°,∴∠PAB=30°,∴∠APB=∠PAB,∴PB=AB=50海里.在Rt△PBE中,sin∠PBE=

,∴PE=PB·sin60°=25

海里.∵25

>25,∴海监船继续向正东方向航行是安全的.11.(2015湖南郴州,22,8分)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°

方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.

(结果保留整数.参考数据:

≈1.41,

≈1.73)

解析如图,过点A作AD⊥BC于点D,

则AD的长为点A到河岸BC的距离.

(1分)由题意知∠BAD=30°,∠CAD=45°,∴在Rt△ADC中,CD=AD,

(2分)在Rt△ABD中,BD=AD·tan30°,

(3分)∵BD+CD=150m,∴AD+AD·tan30°=150m,

(6分)即

AD=150m,∴AD=

≈

≈95m.

(7分)答:点A到河岸BC的距离约为95m.

(8分)B组2014—2018年全国中考题组考点一锐角三角函数1.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理可得BC=

,所以cosB=

=

.故选A.2.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡

与水平地面夹角的正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120m,故这个斜坡与水平地

面夹角的正切值等于

=

,故选C.思路分析

先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.3.(2015天津,2,3分)cos45°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B

cos45°=

.4.(2015内蒙古包头,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=

=2

x,则tanB=

=2

.故选D.5.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA=

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

D设AB=k(k>0),则BC=2k,∵∠B=90°,∴AC=

=

k,∴cosA=

=

=

,故选D.6.(2018黑龙江齐齐哈尔,13,3分)三棱柱的三视图如图所示,已知△EFG中,EF=8cm,EG=12cm,

∠EFG=45°,则AB的长为

cm.

答案4

解析如图,作EH⊥FG于点H,在Rt△EFH中,EH=EF·sin45°=4

cm,所以AB=EH=4

cm.

考点二解直角三角形1.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距

离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为

米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtan

∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.2.(2016湖北荆州,15,3分)全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门

城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48',测得塑像顶部A处的仰角为45°,点D在观测点C正

下方城墙底的地面上,若CD=10米,则此塑像的高AB约为

米(参考数据:tan78°12'≈4.

8).

答案58解析

如图所示,由题意可得:CE⊥AB于点E,BE=DC=10米,

∵∠ECB=11°48',∴∠EBC=78°12',则tan78°12'=

=

≈4.8,解得EC=48(米),∵∠ACE=45°,∴AE=EC=48米,∴此塑像的高AB约为AE+EB=58(米).评析

本题考查解直角三角形,锐角三角函数等知识.3.(2016新疆内高班,14,5分)如图,为测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ACB=30°,在

D点测得∠ADB=60°,又测得CD=60m,则河宽AB为

m(结果保留根号).

.答案30

解析∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,∴∠CAD=30°,∴AD=CD=60m,在Rt△ABD中,AB=AD·sin∠ADB=60×

=30

(m).4.(2016湖北十堰,15,3分)在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥

MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿河岸走了30米,

到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数

据写出河的宽度为

米.(结果保留根号)

解析如图,作BH⊥EF,CK⊥MN,垂足分别为H、K,则四边形BHCK是矩形,

设CK=HB=x米,∵∠CKA=90°,∠CAK=45°,∴∠CAK=∠ACK=45°,∴AK=CK=x米,BK=HC=AK-AB=(x-30)米,∴HD=x-30+10=(x-20)米.在Rt△BHD中,∵∠BHD=90°,∠HBD=30°,∴tan30°=

,即

=

,解得x=30+10

,∴河的宽度为(30+10

)米.答案(30+10

)5.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆

CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的

F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,

平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

解析

解法一:由题意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.解法二:作FG⊥AB于点G,

由题意知,△ABE和△FDE均为等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.思路分析

思路一:由题意可确定∠AEF=90°,从而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形

中对应边的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于点G,由题意可推出△ABE和△FDE均为等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平

行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距

离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高

杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4

°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.98

3,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)解析在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.

(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm.

(9分)思路分析

根据Rt△CAE和Rt△DBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.方法总结

解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借

助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三

角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.7.(2017四川成都,18,8分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行.如图,小明一家自驾

到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东45°

方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B,C两地的距离.

解析过B作BH⊥AC于点H,

在Rt△ABH中,AB=4千米,∠BAH=60°,sin60°=

=

,∴BH=

AB=

×4=2

千米,在Rt△CBH中,∠CBH=45°,BH=2

千米,cos45°=

=

,∴BC=

BH=2

×

=2

千米.答:B,C两地的距离为2

千米.8.(2016内蒙古呼和浩特,18,6分)在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度.如

图,已知塔基顶端B(和A、E共线)与地面C处固定的绳索的长BC为80m.他先测得∠BCA=35°,

然后从C点沿AC方向走30m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.求塔高AE.(人的高度忽略不

计,结果用含非特殊角的三角函数表示)

解析已知∠BCA=35°,BC=80m,由题意得∠EDA=50°,DC=30m.在Rt△ABC中,cos35°=

,∴AC=BCcos35°=80cos35°(m).

(2分)在Rt△ADE中,tan50°=

,

(3分)∵AD=AC+DC=(80cos35°+30)m,

(4分)∴AE=[(80cos35°+30)tan50°]m.

(5分)答:塔高为[(80cos35°+30)tan50°]m.

(6分)C组教师专用题组考点一锐角三角函数1.(2016山东潍坊,6,3分)关于x的一元二次方程x2-

x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于

()A.15°

B.30°

C.45°

D.60°答案

B依题意得,Δ=(-

)2-4sinα=0,故sinα=

,∵α为锐角,∴α=30°,故选B.评析本题考查了一元二次方程根的判别式,同时考查了特殊的三角函数值,属中等难度题.2.(2016辽宁沈阳,9,2分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是()

A.

B.4

C.8

D.4

答案

D

∵∠C=90°,∠B=30°,∴AC=AB·sin30°=

AB=4,由勾股定理得BC=

=

=4

,故选D.3.(2016湖北荆州,7,3分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的

顶点都在格点上,则图中∠ABC的余弦值是

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D由题图可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴cos∠ABC=

=

.故选D.4.(2015山西,10,3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正

切值是

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D如图,连接AC,由图及勾股定理可得AC=

,AB=2

,BC=

,∵AC2+AB2=(

)2+(2

)2=10=BC2,∴△ABC是直角三角形,∠CAB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.

5.(2015湖北荆门,11,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于

点E,连接BD,则tan∠DBC的值为

()

A.

B.

-1

C.2-

D.

答案

A∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=45°,BC=

AC,又∵点D为边AC的中点,∴AD=DC=

AC,∵DE⊥BC于点E,∴∠CDE=∠C=45°,∴DE=EC=

DC=

AC,∴tan∠DBC=

=

=

.故选A.6.(2015湖北鄂州,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE

沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=

()

A.

B.

C.

D.

答案

D因为E为BC的中点,△ABE沿AE折叠,所以BE=EF=EC,∠AEF=∠AEB,因为EF=EC,

所以∠EFC=∠ECF,又因为∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°,∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°,所以∠

ECF=∠AEB,即sin∠ECF=sin∠AEB=

,在Rt△ABE中,根据勾股定理得AE=

=

=10,所以sin∠ECF=

=

=

.故选D.7.(2014贵州贵阳,6,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

D因为在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,所以AB=

=13,所以sinA=

=

,故选D.8.(2016甘肃定西,13,4分)如图,点A(3,t)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=

,则t的值是

.

解析过点A作AB⊥x轴于B,∵点A(3,t)在第一象限,∴AB=t,OB=3,∵tanα=

=

=

,∴t=

.

答案

思路分析

过点A作AB⊥x轴于B,根据正切等于对边比邻边列式求解即可.评析

本题考查了锐角三角函数的定义,过点A作x轴的垂线,构造出直角三角形是利用正切列

式的关键,需要熟记正切=对边∶邻边.考点二解直角三角形1.(2017广西南宁,11,3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60nmile的A

处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时,B处与灯塔

P的距离为

(

)

A.60

nmile

B.60

nmileC.30

nmile

D.30

nmile答案

B过点P作PC⊥AB交AB于点C.依题意得∠APC=90°-45°=45°,∠BPC=90°-30°=60°,AP

=60nmile,∴PC=30

nmile,∴PB=2PC=60

nmile.2.(2015黑龙江哈尔滨,6,3分)如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞

行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机所在A处与指挥台B的距

离为()

A.1200mB.1200

mC.1200

mD.2400m答案

D由∠B=α=30°,sinB=

得AB=

=1200×2=2400m.故选D.3.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km,从A测得船C

在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为

()

A.4kmB.(2+

)kmC.2

kmD.(4-

)km答案

B由题图可知,在Rt△ABE中,∠AEB=45°,∴AB=EB=2km,∴AE=2

km,∵∠EBC=22.5°,∴∠ECB=∠AEB-∠EBC=22.5°,∴∠EBC=∠ECB,∴EB=EC=2km,∴AC=AE+EC=(2

+2)km.在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AD=DC=(2+

)km.即点C到l的距离为(2+

)km,故选B.4.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功

完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70°

方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37°方向.如

果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.

(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.7

5)解析由题可知∠ACD=70°,∠BCD=37°,AC=80.在Rt△ACD中,cos∠ACD=

,∴0.34≈

,∴CD≈27.2,在Rt△BCD中,tan∠BCD=

,∴0.75≈

,∴BD≈20.4.答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.5.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”

的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°

(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的长(结果保留小数

点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

解析如图,过点A作AE⊥BD于点E,

(1分)

由题意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:标语牌CD的长约为6.3m.

(7分)思路分析

作AE⊥BD于点E,构造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得

BE,DE的长,进而可求出CD的长度.方法总结

解直角三角形的应用问题时,一般根据题意抽象地画出几何图形,结合所给的线段

或角,借助边角关系、锐角三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件

构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.6.(2018山东青岛,19,6分)某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直

的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测

得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距离.

解析如图,作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,则四边形ONCM为矩形,∴ON=MC,OM=NC.设OM=xm,则NC=xm,AN=(840-x)m.在Rt△ANO中,∠OAN=45°,∴ON=AN=(840-x)m,则MC=ON=(840-x)m,在Rt△BOM中,BM=

≈

xm,由题意得840-x+

x=500,解得x=480.答:点O到BC的距离为480m.7.(2018甘肃兰州,23,7分)如图,斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米,坡底AE为18米,在B

处,E处分别测得CD顶部点D的仰角为30°,60°,求CD的高度.(结果保留根号)

解析过点B作BF⊥CD,垂足为点F.

∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABFC为矩形,∴AB=CF=3,AC=BF.在Rt△CDE中,tan60°=

,∴CE=

,∴BF=AC=18+

.在Rt△BDF中,tan30°=

,∴

=

,解得CD=

.答:CD的高度为

米.思路分析

过点B作BF⊥CD,先确定四边形ABFC为矩形,在Rt△CDE中,用含CD的式子表示

CE,进而得出BF=AC=18+CE,然后在Rt△BDF中利用30°角的正切列出含有CD的等式求出CD

的值.方法指导

求角的三角函数值或者是求线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角或者

线段转化到直角三角形中(如果没有直角三角形,设法构造直角三角形),再利用锐角三角函数

求出它们的解.8.(2018江苏南京,23,8分)如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处树立标杆CD,标杆的高是2m,

在DB上选取观测点E、F,从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°,从F测得

C、A的仰角分别为22°、70°.求建筑物AB的高度(精确到0.1m).(参考数据:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,tan70°≈2.75)

解析在Rt△CED中,∠CED=58°,∵tan58°=

,∴DE=

=

.在Rt△CFD中,∠CFD=22°,∵tan22°=

,∴DF=

=

,∴EF=DF-DE=

-

.同理,EF=BE-BF=

-

.∴

-

=

-

,解得AB≈5.9(m).因此,建筑物AB的高度约为5.9m.

(8分)思路分析

在△CED中,得出DE,在△CFD中,得出DF,进而得出EF.同理,在△ABE中,利用AB表

示出BE,在△ABF中,利用AB表示出BF,进而表示出EF,列出方程并求解,即可得出建筑物AB的

高度.解题关键

本题考查解直角三角形,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答问题.9.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m,从甲的顶部A处测得乙的

顶部D处的俯角为48°,测得底部C处的俯角为58°,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整

数).参考数据:tan48°≈1.11,tan58°≈1.60.

解析如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E.

则∠AED=∠BED=90°.由题意可知,BC=78,∠ADE=48°,∠ACB=58°,∠ABC=90°,∠DCB=90°.可得四边形BCDE为矩形.∴ED=BC=78,DC=EB.在Rt△ABC中,tan∠ACB=

,∴AB=BC·tan58°≈78×1.60≈125.在Rt△AED中,tan∠ADE=

,∴AE=ED·tan48°.∴DC=EB=AB-AE=BC·tan58°-ED·tan48°≈78×1.60-78×1.11≈38.答:甲建筑物的高度AB约为125m,乙建筑物的高度DC约为38m.思路分析

过点D作DE⊥AB,构造直角△ADE和矩形BCDE,通过解直角△ABC和直角△ADE

可求出答案.方法总结

解直角三角形的应用,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助

角、边关系,三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角

形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.10.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡

度i=1∶3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A

的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果

用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)

解析过点D作DH⊥BC,垂足为H.

∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.设AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山顶A到地面BC的高度为

米.11.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,

在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,

E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.

解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,∴AF=DE,DF=AE.

设CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.12.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到

指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其

南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速

为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?

参考数据:sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

解析过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D,则∠CDA=90°.

(1分)已知∠CAD=45°,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船到达C船处约需时间:25÷25=1(小时).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船到达C船处约需时间:28.2÷30=0.94(小时).

(8分)而0.94<1,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.

(9分)解题技巧

本题是解三角形两种典型问题中的一种.以下介绍两种典型问题:(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.13.(2017吉林,21,7分)如图,一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射,当火箭到达点A,

B时,在雷达站C处测得点A,B的仰角分别为34°,45°,其中点O,A,B在同一条直线上.求A,B两点间

的距离(结果精确到0.1km).(参考数据:sin34°=0.56,cos34°=0.83,tan34°=0.67)

解析由题意,得∠AOC=90°,OC=5km.在Rt△AOC中,∵tan34°=

,∴OA=OC·tan34°=5×0.67=3.35(km).

(3分)在Rt△BOC中,∠BCO=45°,∴OB=OC=5km.

(5分)∴AB=5-3.35=1.65≈1.7(km).答:A,B两点间的距离约为1.7km.

(7分)评分说明:(1)计算过程中写“=”或“≈”均不扣分;(2)计算过程不加单位不扣分.14.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为

20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视

线AB水平,且与屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面

的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.

参考数据:sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有结果精确到个位

解析(1)如图,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如图,延长FE交DG于点I,

∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四边形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此时β不符合科学要求的100°.

(6分)15.(2017贵州贵阳,20,8分)贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图所示,消防官

兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官

兵立刻升高云梯将其救出.已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云

梯与水平线的夹角∠CAD=60°.求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数.(结果精确

到1°)

解析如图,延长AD,交BC所在的直线于点E,

由题意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°,在Rt△ACE中,tan∠CAE=

,∴CE=AEtan60°=15

(米),在Rt△ABE中,tan∠BAE=

=

=

,∴∠BAE≈71°.答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°.16.(2017江苏南京,25,8分)如图,港口B位于港口A的南偏东37°方向,灯塔C恰好在AB的中点处.

一艘海轮位于港口A的正南方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5km到达E处,测

得灯塔C在北偏东45°方向上.这时,E处距离港口A有多远?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

解析如图,过点C作CH⊥AD,垂足为H,设CH=xkm.

在Rt△ACH中,∵tanA=tan37°=

,∴AH=

=

.在Rt△CEH中,∵tan∠CEH=tan45°=

,∴EH=

=x.∵CH⊥AD,BD⊥AD,∴∠AHC=∠ADB=90°,∴HC∥DB,∴

=

.又C为AB的中点,∴AC=CB,∴AH=HD,∴

=x+5,∴x=

≈

=15,∴AE=AH+HE=

+15≈35(km).因此,E处距离港口A大约35km.17.(2016四川宜宾,21,8分)如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台

顶C点测得树顶A点的仰角α=30°,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得

树顶A点的仰角β=60°,求树高AB(结果保留根号).

解析过点C作CF⊥AB于点F,设AF=x米,

在Rt△ACF中,tan∠ACF=

,则CF=

=

=

=

x(米),在Rt△ABE中,AB=x+BF=(4+x)米,tan∠AEB=

,则BE=

=

=

(x+4)米.CF-BE=DE,即

x-

(x+4)=3,解得x=

,思路分析

过点C作CF⊥AB于点F,设AF=x米,在Rt△ACF中,利用三角函数用x表示出CF的长,

在Rt△ABE中表示出BE的长,然后根据CF-BE=DE即可列方程求得x的值,进而求得AB.则AB=

+4=

(米).答:树高AB是

米.解题关键

本题考查解直角三角形,方程的应用,其中利用CF-BE=DE列方程并求解是解决本

题的关键.18.(2016四川内江,20,9分)如图,禁渔期间,我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只,

测得A,B两处距离为200海里,可疑船只正沿南偏东45°方向航行.我渔政船迅速沿北偏东30°方

向前去拦截,经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的平均速度(结果保留

根号).

解析如图,过点C作CH⊥AB于H,则△BCH是等腰直角三角形,设CH=x海里,

则BH=x海里,AH=CH÷tan30°=

x海里.

(2分)∵AB=200海里,∴x+

x=200,解得x=

=100(

-1).

(4分)∴BC=

x=100(

-

)海里.

(6分)∵两船行驶4小时相遇,∴可疑船只航行的平均速度=100(

-

)÷4=25(

-

)海里/小时.

(8分)答:可疑船只航行的平均速度是每小时25(

-

)海里.

(9分)19.(2015河南,20,9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡

上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B

的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin48°≈0.74,cos48°

≈0.67,tan48°≈1.11,

≈1.73)

解析延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H.由题意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.∴GH=AH=DA·cos30°=6×

=3

.∴GA=6

.

(2分)设BC=x米.在Rt△GBC中,GC=

=

=

x.

(4分)在Rt△ABC中,AC=

=

.

(6分)∵GC-AC=GA,∴

x-

=6

.

(8分)∴x≈13.即大树的高度约为13米.

(9分)20.(2015江苏镇江,24,6分)某海域有A、B两个港口,B港口在A港口北偏西30°的方向上,距A港

口60海里.有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向

的C处.求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).

解析∵∠BAE=30°,BF∥AE,∴∠ABF=30°.

(1分)∵∠FBC=75°,∴∠ABC=45°.

(2分)∵∠CAE=45°,∴∠BAC=75°.

(3分)∴∠C=60°.过点A作AD⊥BC,垂足为D,

(4分)在Rt△ADB中,∠ABD=45°,AB=60海里,则BD=AD=30

海里.在Rt△ADC中,∠C=60°,AD=30

海里,则CD=10

海里.∴CB=(30

+10

)海里.答:略.

(6分)(用其他方法解答,相应给分)21.(2015上海,22,10分)如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民

楼.已知点A到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且∠BDN=30°.假设汽车在高架

道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.(1)过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P

处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H的距离为多少米?(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼

的距离QC为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精确

到1米)(参考数据:

≈1.7)

解析(1)连接AP.由题意,知AH⊥MN,AH=15米,AP=39米.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=

=36米.答:此时汽车与点H的距离为36米.(2)由题意可知,PQ段高架道路旁需要安装隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39米.在Rt△DCQ

中,DQ=2QC=78米.在Rt△ADH中,DH=

=15

米.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89米.答:高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.22.(2015湖南湘潭,19,6分)“东方之星”客船失事之后,本着“关爱生命,救人第一”的宗旨,搜

救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救.搜救过程中,假设直升机飞到A处时,发现前方江

面上B处有一漂浮物,从A测得B处的俯角为30°.已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞

行搜索,飞行速度为10米/秒,求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上

方.(结果精确到0.1,

≈1.73)

解析作AD⊥BD于点D,

由题意得∠ABD=30°,AD=100米,在Rt△ABD中,

=tan∠ABD,∴BD=

=

=100

(米),∵飞行速度为10米/秒,∴飞行时间为100

÷10=10

≈17.3(秒).答:该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方.A组2016—2018年模拟·基础题组考点一锐角三角函数三年模拟1.(2018湖南长沙二模,4)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=

,则tanB的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

D由sinA=

可设BC=5x,AB=13x(x>0).∴AC= =12x,∴tanB=

=

=

.故选D.2.(2017湖南长沙四模,3)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA可以表示为

()

A.

B.

C.

D.

答案

C由锐角的正切定义可知,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=

=

,故选C.3.(2017湖南长沙五模,7)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sinA的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

A由锐角的正弦定义可知,sinA=

,∴在△ABC中,sinA=

=

.故选A.4.(2017湖南益阳一模,10)如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠B=40°,则直角边BC的长是

()

A.mcos40°

B.msin40°

C.mtan40°

D.

答案

A由锐角的余弦定义可知,在Rt△ABC中,cosB=

,∴BC=mcos40°.故选A.5.(2016湖南岳阳一模)

sin60°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

C

sin60°=

×

=

.6.(2017湖南常德一模,17)如图,某河堤的横断面是四边形ABCD,BC∥AD,迎水坡AB长13m,且

tan∠BAE=

,则河堤的高BE为

m.

答案12解析在Rt△BEA中,∠BEA=90°,AB=13,∴tan∠BAE=

=

,设BE=12x,则AE=5x,又∵BE2+AE2=AB2,∴(12x)2+(5x)2=132,可得x=1(x=-1舍去),∴BE=12x=12m.7.(2016湖南益阳二模)如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA=

.