初高中数学教学衔接问题及教学建议-陈秀群

黄山中学陈秀群初高中数学教学衔接问题及教学建议初高中数学衔接问题及教学建议存在的问题个人心得体会需衔接的内容衔接教学建议存在的问题初中已经学过的数学知识“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。初中已经学过的数学知识“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。高中数学我们将要学习的内容目录第一部分集合与简易逻辑第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分第三部分三角函数与平面向量第四部分数列第五部分不等式第六部分立体几何与空间向量第七部分解析几何第八部分排列、组合、二项式定理、推理与证明第九部分概率与统计第十部分复数第十一部分算法高中数学我们将要学习的内容初高中数学内容比较

初中内容：“浅”、“少”、“易”；高中内容：“起点高、容量大、难度大”；很多同学在进入高一后，会有相当长的时间无法尽快适应高中数学的学习，一方面是知识的难度、思维的抽象度、学习的进度远远高于初中数学，另一方面是有些知识方面的脱节。

知识点具体衔接内容与要求常用乘法公式与因式分解方法

立方和公式、立方差公式、两数和立方公式、两数差立方公式、三个数的和的平方公式，推导及应用(正用和逆用)，熟练掌握十字相乘法、简单的分组分解法，高次多项式分解(竖式除法)分类讨论

含字母的绝对值，分段解题与参数讨论，含字母的一元一次不等式二次根式

二次根式、最简二次根式、同类根式的概念与运用，根式的化简与运算代数式运算与变形

分子(母)有理化，多项式的除法(竖式除法)，分式拆分，分式乘方方程与方程组

简单的无理方程，可化为一元二次方程的分式方程，含绝对值的方程，含有字母的方程，双二次方程，多元一次方程组，二元二次方程组，一元二次方程根的判别式与韦达定理，巩固换元法一次分式函数

在反比例函数的基础上，结合初中所学知识(如：平移和中心对称)来定性作图研究分式函数的图象和性质，巩固和深化数形结合能力三个“二次”

熟练掌握配方法，掌握图象顶点和对称轴公式的记忆和推导，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，用根的判别式研究函数的图象与性质，利用数形结合解决简单的一元二次不等式平行与相似

介绍平行的传递性，平行线等分线段定理，梯形中位线，合比定理，等比定理，介绍预备定理的概念，有关简单的相似命题的证明，截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理直角三角形中的计算和证明

补充射影的概念和射影定理，巩固用特殊直角三角形的三边的比来计算三角函数值，识记特殊角的三角函数值，补充简单的三角恒等式证明，三角函数中的同角三角函数的基本关系式图形

补充三角形面积公式(两边夹角、三边)和平行四边形面积公式，正多边形中有关边长、边心距等计算公式,简单的等积变换，三角形四心的有关概念和性质，中点公式，内角平分线定理，平行四边形的对角线和边长间的关系圆

圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理；相切作图，简单的有关圆命题证明，介绍四点共圆的概念及圆内接四边形的性质，巩固圆的性质，介绍圆切角、圆内角、圆外角的概念，等分圆周，三角形的内切圆，轨迹定义其它

介绍锥度、斜角的概念，空间直线、平面的位置关系，画频数分布直方图初中曾经存在但现在已删除，但仍是高中学习基础的内容

知识点初中存在但已降低要求的内容数

有理数混合运算只强调运算以三步为主，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力减弱，减弱算术平方根的3条性质式

因式分解只要求提取公因式法、公式法(平方差、完全平方)，直接用公式法不超过两次，多项式相乘仅要求一次式间的相乘，无除法，没有最简二次根式的概念，根式化简较为简单，要求了解二次根式的概念，理解其加、减、乘、除运算法则，不再出现一次式这一概念，根式的运算要求低；绝对值符号内不能含有字母一元一次不等式

一元一次不等式组限2个不等式，对不等式的整数解没有明确要求三个“二次”

配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，在二次函数中也不要求用配方法求顶点、最值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中会给出公式），没有用根的判别式研究函数性质证明

删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；辅助线，中考只要求添加一条辅助线其它

弱化概念，对有关术语如总体、个体、样本等概念不要求严格表述，课标中甚至没有“样本容量”的概念，几何中大大减少定理的数量初中存在但已降低要求的内容需衔接的内容知识学法衔接知识代数几何数与式分解因式三个二次问题相似形三角形圆数与式绝对值乘法公式二次根式分式1.绝对值的代数意义：2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是在数轴上它所对应的点到原点的距离。3.两个数差的绝对值的几何意义：

表示在数轴上，数a和数b之间的距离。4.绝对值不等式：|x-4|<3|x-1|+|x-3|>5

|x+2|-|x-7|<7数与式——绝对值数与式——乘法公式数与式——常用结论数与式——二次根式（性质）数与式——二次根式（常用方法与结论）数与式——二次根式（分母（子）有理化）数与式——分式（基本性质）数与式——分式（必备方法与结论）第二章分解因式“分解因式”与“因式分解”简单点说,“因式分解”和“分解因式”是一样的,都是多项式转化为乘积的形式,只不过,因式分解是名称,分解因式是一个过程,而把乘积的形式转化为多项式叫整式乘法.这两个短语其实在数学领域没是后面太大的区别,要是从语法角度讲,还是有区别的:分解因式,是动宾短语,分解是动词,因式是宾语;因式分解是名词性的短语,在数学上应该是一种题目.分解因式是一种过程,是你解题的过程,因式分解是结果,是目的.分解因式

分解因式常用方法：方法一：提公因式法方法二：

公式法方法三：待定系数法方法四：分组分解法方法五：配方法方法六：拆项、添项法方法七：十字相乘法分解因式——

公式法

小结：用十字相乘法把形如二次三项式分解因式使(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)分解因式——十字相乘因式分解：

十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。分解因式——十字相乘

所以原式可以分解为：分解因式——十字相乘法将下列各数表示成两个整数的积的形式（1）6=（2）-6=

（3）12=（4）-12=（5）24=（6）-24=2×3或(-2)×(-3)或1×6或(-1)×(-6)1×(-6)或-1×6或2×(-3)或3×(-2)1×12或(-1)×(-12)或2×6或(-2)×(-6)或3×4或(-3)×(-4)1×(-12)或(-1)×12或2×(-6)或(-2)×6或3×(-4)或(-3)×41×24或(-1)×(-24)或2×12或(-2)×(-12)或3×8或(-3)×(-8)或4×6或(-4)×(-6)1×(-24)或(-1)×24或2×(-12)或(-2)×12或3×(-8)或(-3)×8或4×(-6)或(-4)×6分解因式——十字相乘法

在中学数学中，“三个二次”是指一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式，它们互相联系、互相渗透，组成了一个特殊的知识板块，是一个有机的整体.“三个二次”是以一元二次函数为中心，运用一元二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构．第三章三个二次问题

第三章三个二次问题——一元二次函数图象与性质

第三章三个二次问题——一元二次函数图象与性质

第三章三个二次问题——一元二次函数图象与性质

三个二次问题——一元二次函数最值问题

三个二次问题——一元二次函数最值问题

三个二次问题——一元二次函数最值问题讨论对称轴与区间端点的位置关系，对称轴与区间中点的位置关系。

第三章三个二次问题——一元二次方程复习回顾——强化练习（一元二次方程根的分布）

三个二次问题——一元二次方程根的分布

三个二次问题——一元二次方程根的分布Δ=b2－4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)

的图象一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集

一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集

方程有两相等实根方程无实根方程有两相异实根三个二次问题——解不等式Δ=b2－4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集

一元二次不等式ax2+bx+c≥0(a>0)的解集

一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集

一元二次不等式ax2+bx+c≤0(a>0)的解集

RRR三个二次问题——解不等式复习回顾——一元二次不等式

二次函数的零点就是所对应方程的根也是所对应的一元二次不等式解集的端点。复习回顾——一元二次不等式（恒成立问题）f(x)g(x)>0

f(x)g(x)<0

f(x)g(x)≥0且g(x)≠0

f(x)g(x)<0

f(x)＝0

分式不等式高次不等式——穿根法

三角形三角形——“四心”性质位置内心外心重心垂心性质：到三角形三个顶点的距离相等位置：锐角三角形在三角形内；直角三角形在斜边中点；钝角三角形在三角形外。三角形——外心3.

性质：1.到三边的距离相等，都等于内切圆半径r；

2.r=2S/(a+b+c)；

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

位置：三角形内三角形——内心3.

性质：1.在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2.三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例.三角形——内角平分线定理

性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1;

2.重心和三角形3个顶点连线组成的3个三角形面积相等;

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小;

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.三角形——重心位置：三角形内锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。性质：三角形——垂心三角形各心之间的相互联系(1)等腰三角形的内心、外心、重心、垂心共线，均在对称轴（底边的中垂线）上；(2)等边三角形的内心、外心、重心、垂心共点（统称为正三角形的中心）.(3)△ABC的内心o是切点△DEF的外心.(4)△ABC的外心o是中点△DEF的垂心.(5)△ABC的垂心H是垂足△DEF的内心.(6)△ABC的重心G是中点△DEF的重心.三角形——“四心”射影定理：CADB三角形——直角三角形中的射影定理三角形——直角三角形的性质

直角三角形两锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半及其逆定理。直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形与原三角形相似（母子相似定理）两直角边积等于斜边上的高与斜边的积（由面积得）射影定理勾股定理三角形——等边三角形常用结论

圆PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

切线长定理：APO。B几何语言:12圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。POCDABPA·PB=PC·PD圆幂定理如图，CD是弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P。

求证：PC2＝PA·PBACDBPO相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。PC2=PA·PB圆幂定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。AOPBTPT2