变截面梁的扭转刚度和等效节点载荷

变截面梁的扭转刚度和等效节点载荷

在空间刚架结构中，一些梁和一些机械零件轴不仅应承受弯曲矩阵的作用，还应承受弯曲矩阵的作用。在对这些扭转梁进行有限分析并建立梁单元的局部刚性矩阵时，应将旋转角矩阵的基本角矩阵中包括叶片。对于等截面梁,在所有的有限元著作中对包括扭转作用的梁单元刚度矩阵都进行了详尽的推导。但在实际工程结构以及机械设备中变截面构件得到广泛应用。例如,空间刚架的水平梁部分等,为了适应结构内力变化的需要,均将其支承部分的梁高加大,而跨中的梁高则取得较小,形成变截面梁。在绝大多数机械设备中的旋转轴一般设计成等强度轴,该类轴同样是变截面梁。对这类梁进行有限元分析时,直接引用等截面梁的刚度矩阵,必须对梁进行分段等截面单元近似分析的。为了达到要求的精度,对结构离散化时必须采用较多的单元数,从而使分析复杂化。本文运用力学的方法,通过假定变截面梁的截面模式和积分运算,推导变截面梁单元的扭转刚度矩阵等效节点载荷公式。变截面梁受剪力、弯矩作用的平面梁单元刚度矩阵和等效节点载荷公式见参考文献。在推导过程中为简单起见,假定为圆截面,但结果不失一般性,可以运用于各种结构的横截面。1计算r02+ml如图1所示,截面半径按线性变化,即R(x)=R0(1+αxL)R(x)=R0(1+αxL),其中R0为小端。截面半径为截面变化常数,极惯性矩则是四次式,即J(x)=J0(1+αxL)4(1)J(x)=J0(1+αxL)4(1)其中J0=πR4040/2为小端截面极惯性矩。2材料的剪应力图2表示节点扭矩mx和扭角ϕx的符号约定以及单元扭矩的符号约定。图3表示一段杆的扭转变形。由经典的力学理论可以得到{γ=Rdϕdxτmx⋅RJ=G⋅γ=G⋅Rdϕdx(2)⎧⎩⎨γ=Rdϕdxτmx⋅RJ=G⋅γ=G⋅Rdϕdx(2)其中,γ为剪应变,τ为截面圆周剪应力,G为材料剪切弹性模量,J为截面极惯性矩。由式(2)得出扭转角的计算公式ϕ=∫L0L0mxGJdx=mxGmxGJdx=mxG∫L0L01Jdx(3)1Jdx(3)将式(1)代入式(3)得根据节点扭转符号的约定m1x=-mx=3(1+α)3(α2+3α+3)⋅GJ0L(ϕ1x-ϕ2x)m1x=−mx=3(1+α)3(α2+3α+3)⋅GJ0L(ϕ1x−ϕ2x)同理可以得出m2x=3(1+α)3(α2+3α+3)⋅GJ0L(ϕ2x-ϕ1x)m2x=3(1+α)3(α2+3α+3)⋅GJ0L(ϕ2x−ϕ1x)所以,半径线性变化的扭转杆的局部单元刚度矩阵为k=3(1+α)3(α2+3α+3)⋅GJ0L[1-1-11](4)当α=0时,(4)即变为等截面扭转杆的刚度矩阵。3节点上的等效力偶对于作用在单元上的分布载荷和集中力偶,在应用变截面的扭转刚度时,首先要把分布力偶和集中力偶转换为作用在节点上的等效力偶。可以采用等功原理计算单元固端反力,反号即得等效节点载荷。截面变化模式仍然按R(x)=R0(1+αxL)。其中符号含义如前所述。3.1节点i集中力偶作用如图4是受集中力偶m(N·m)的作用单元,可以用等功原理求其节点的等效载荷。mi=3L2(L-a)+3L(L2-a2)α+(L3-a3)α2(L+aα)3(α2+3α+3)⋅mmj=3L2(L-b)+3L(L2-b2)α+(L3-b3)α2(L+bα)3(α2+3α+3)⋅m当a=0时,mi=m,mj=0,即集中力偶作用在节点i上。当b=0时,mi=m,mj=0,即集中力偶作用在节点j上。3.2节点等效载荷如图5是受分布力偶T(N·m/m)作用的单元,可以用等功原理求其节点的等效载荷。mi=mj=(α+3)ΤL2(α2+3α+3)当α=0时,上式mi=mj=TL/2,即为等截面等效节点载荷。4悬臂梁扭转角的确定本文列举两个算例,说明变截面梁扭转刚度矩阵的应用。本文列举的算例相当简单,用力学的方法很快就可以得出结果,列举的目的在于比较变截面刚度矩阵与等截面刚度矩阵。图6所示为一悬臂梁,其半径为线变化,R(x)=R0(1+xL),在其自由端作用有集中力矩m,材料的剪切弹性模量为G,求自由端的扭转角ϕ。进行有限元计算时,用本文推导的刚度矩阵,仅用一个单元,即可得到扭转角的精确值,即ϕ=7mL24GJ0=0.292mLGJ0,其中,J0为x=0截面的极惯性矩。表1是用等截面刚度矩阵,编制计算程序计算1、2、4、8、16、32单元的计算结果。从上面的计算可以看出,使用等截面扭转刚度矩阵计算该例时,采用32个单元与精确解的误差仍有6.8%。5单元收敛极惯性矩本文推导了变截面梁单元的扭转刚度矩阵和等效节点载荷公式。对于半径按线性变化的杆的扭转将得到精确解。用等截面扭转刚度矩阵,随着单元数的增多,近似解将收敛于精确解,同时其收敛的速度变慢。当梁截面为矩形截面,其高度按线性变化,则其中α可以根据单元两个节点横截面的极惯性矩求得α=4√Jj/Ji-1。当梁的截面按抛物线变化时,按照上面的推导方法,通过