双曲线及其标准方程 教学设计

《双曲线及其标准方程》教学设计执教教师宋永华工作单位平顶山市实验高中课题双曲线及其标准方程课型新授课教材分析本节是人教A版选择性必修二第三章第2节《双曲线》第1课“双曲线及其标准方程”的第一课时，内容包括双曲线的定义及其标准方程．双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥，它是解析几何的重要内容之一，无论从知识角度还是从思想方法角度，双曲线都与椭圆有相似之处。学习双曲线是对椭圆知识和方法的巩固与延续，也为进一步学习抛物线提供了思路。本节课是双曲线的第一节课，我们要准确理解双曲线的定义，并在此基础上推导双曲线的标准方程，显然，学好本节课内容也是学好双曲线的重要前提。学情分析知识方法分析：学生已经学习了椭圆的定义，并经历了根据椭圆定义建立适当的直角坐标系来求椭圆标准方程的过程，认识了椭圆标准方程的两种不同形式，熟悉了用方程研究椭圆简单几何性质的过程，因而运用类比的学习方法理解双曲线的定义及其标准方程不太困难。能力素养分析：学生能通过观察几何图形发现轨迹上动点满足的几何条件，但是缺乏研究常数范围的严谨性。另外，学生虽然熟悉推导标准方程的步骤，但是运算能力较弱，在方程化简过程中（处理绝对值、根号）会遇到困难。教学目标1.理解双曲线的定义：（1）观看动画，直观感受双曲线的形成过程及形状，感受数学实验活动的乐趣；（2）通过几何画板，探究双曲线上点满足的几何条件；（3）类比椭圆的定义，给双曲线下定义，理解“绝对值”的意义；（4）对比双曲线的定义，合作探究，理解“0<常数<|F1F2|”，并探索“常数=0”“常数=|F1F2|”时轨迹的形状，体会数学的严谨性；（5）回顾双曲线的定义，进一步理解定义中的关键词“在平面内”、“两定点F1、F2”“差”“绝对值”“常数”“0<常数<|F1F2|”2.合作探究，推导双曲线的标准方程：（1）类比椭圆标准方程的推导过程，推导双曲线的标准方程，感受“追求简单化”这一数学的灵魂，并感受数学的简洁、对称之美；（2）了解绝对值的两种代数处理方法：定义法、平方法；（3）进一步理解曲线与方程的关系.3.掌握双曲线标准方程的结构特征：（1）对比双曲线标准方程的两种形式，知道焦点位置与方程形式的对应关系，明确标准方程中a,b,c的关系，并能根据方程求a,b,c；（2）能区分双曲线与椭圆的标准方程；4.能根据双曲线满足的条件，求解双曲线的标准方程：（1）通过例1，掌握求双曲线标准方程的一般方法：定位、定量；（2）通过变式问题，学习分类讨论的思想方法；（3）通过拓展问题，学习用几何、代数两种方法处理条件“点P在双曲线上”。教学重点1.理解双曲线的定义；2.掌握双曲线标准方程的结构特征；3.能根据双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程。教学难点1.理解双曲线的定义2.推导双曲线的标准方程信息化环境多媒体教学环境教学过程设计意图导入【环节1：情境引入，感知图形】活动1：利用图片介绍双曲线在生活生产中的广泛应用.并提出导入性问题：什么是双曲线，如何画出双曲线？活动2：学生观看双曲线形成动画，直观感受双曲线及其形成过程.教师：播放动画.学生：观看动画，感知双曲线的形成，双曲线的形状，获得对双曲线的整体感知.1.感知双曲线在生活生产中的广泛应用，激发学生学习积极性.2.观看双曲线的形成动画，直观感知双曲线的图形特征.新课教学【环节2：探索发现，类比定义】活动3：利用geogebra探索双曲线上点满足的几何条件.||MF1|-|MF2||=常数教师：引导学生发现右支上的动点M到点F1的距离总是大于到点F2的距离，并提出它们的差有怎样的特点.学生：|MF1|与|MF2|的差不变.教师：也就是说|MF1|-|MF2|=常数（|GF2|）.那么左支上的动点呢？（演示左支上动点的情况）学生：|MF2|总是大于|MF1|，并且|MF2|-|MF1|=常数=|GF2|.教师：大家思考，这两个常数有怎样的关系？学生：相等.教师：为什么？学生：对称性.活动4：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？教师：提出问题，引导学生回忆椭圆的定义.学生：回忆椭圆的定义，思考如何定义双曲线.【环节3：对比探究，理解定义】活动5：对比双曲线定义，发现类比定义的不足.教师：呈现双曲线的定义，提出问题“与我们类比出的定义有何不同？”学生：发现“0<常数<|F1F2|”的限制.活动6：合作探究，为什么要求0<常数<|F1F2|?如果常数（2a）不满足定义要求，对应的轨迹是什么？教师：提出问题.学生：小组合作探究.教师：哪个小组分享一下你们的探究的成果？小组代表：从双曲线的形成过程我们可以看到，右支|MF1|总是大于|MF2|，左支|MF2|总是大于|MF1|，因此常数≠0，因为它是绝对值，所以大于0.又因为MF1F2构成三角形||MF1|-|MF2||<|F1F2|活动7：回顾一下双曲线的定义，你觉得定义中哪些词需要特别关注，为什么？教师：提出问题。学生：思考回答。教师：追问【环节4：合作探究，推导方程】活动8：合作探究，类比求椭圆标准方程的方法，求双曲线的标准方程教师：提出问题学生：小组合作，在导学案上推导双曲线的标准方程。教师：等大部分小组探究结束后，鼓励优先完成的小组到讲台上展示推导过程。小组代表：展示推导过程教师：对部分推导过程进行追问，并对方程化简环节和方程检验环节进行强调。活动9：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，探究焦点在y轴上的双曲线的标准方程。教师：提出问题“类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，如图，双曲线的焦点分别是F1（0，-c），F2（0，c）,a,b的意义同上，这时双曲线的标准方程是什么？”学生：思考并回答y【环节5：对比分析，认识方程】活动10：对比分析双曲线两种不同标准方程的结构特征活动11：思考如何根据双曲线的标准方程判断焦点在x轴上，还是在y轴上？教师：提出问题学生：思考教师：随机提问学生口答下面问题【巩固练习】指出下列双曲线的焦点位置，并求出a,（1）x24−（3）x2−学生：口答活动12：对比分析双曲线与椭圆标准方程的结构特征教师：提出问题学生：完成导学案双曲线与椭圆的对比表格。活动13：组织课堂活动——小组竞赛教师：组织组间竞赛小组代表：完成组间竞赛。【环节6：问题解决，深化理解】活动14：完成例题的求解例1已知双曲线的焦点F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.活动15：完成变式问题的求解变式已知双曲线的焦距为14，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于12，求双曲线的标准方程.活动16：拓展已知双曲线的焦点F1(-2,0),F2(2,0)，且双曲线经过点P(2,3)，求双曲线的标准方程.教师：提出问题学生：思考解答，投屏展示3.引导学生观察双曲线上动点在变化过程中存在的不变量，获得对双曲线上点的几何条件.4.学生尝试定义，形成对双曲线概念的初步认识。5.对比定义，初步认识到定义中“常数”的限制条件。6.探究对常数限制的原因7.加深对双曲线定义的理解8.通过导学案，将椭圆标准方程的推导过程与双曲线标准方程的推导过程左右分列，降低了双曲线标准方程的推导难度。通过合作探究，由能力强的同学引领小组同学共同完成。9.类比椭圆,将新知与旧知建立联系,学生能够更顺利的学习新知,建立清晰的知识网络关系.10.让学生从代数结构上去认识双曲线的标准方程14.通过例1，掌握求双曲线标准方程的一般方法：定位、定量.15.通过变式问题，学习分类讨论的思想方法16.通过拓展问题，学习用几何、代数两种方法处理条件“点P在双曲线上”.课堂小结及拓展延伸【环节7：课堂小结，达标检测】活动17：课堂小结这节课，你学到了什么？学习了哪些知识？解决了哪些问题？掌握了哪些方法？运用了哪些思想方法？学生：回顾所学知识。教师点名个别学生回答。活动18：课堂达标检测1.已知双曲线的a=5,c=7（A）x224−y225（C）x224−y225=1或2