全等三角形.第2讲.全等三角形与中点问题.教师版中学课件

是BC的中点，过A作是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF．求证：EDBFDC．...AEFBDC【解析】本二、中位线的应用【例12】AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：AEAC取AB中点Q，AC中点R连结PQ，PR，MQ，NRPQ∥AC，PQ＝AC＝NR∠PQM＝∠PRN(两EDN，即BM2BE2因为DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2，ME2，则MB第二讲板块板块全等三角形的性质与判定A级要求会识别全等三角形考试要求B级要求掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题C级要求会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)中线中位线相关问题(涉与中点的问题)在涉与线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．连结AD．∵ABAC，BAC90∴BC45∵D是BC中点∴BAD45且ADBC∵EDDF∴EDAAD据直角三角形斜边中线的性质与中位线的性质有MF∴DNF∴BMCCMF连结AD．∵ABAC，BAC90∴BC45∵D是BC中点∴BAD45且ADBC∵EDDF∴EDAAD据直角三角形斜边中线的性质与中位线的性质有MF∴DNF∴BMCCMF，∵BMAM，∴MBACAB．CAF与EF相等吗？为什么？AFDCAC，延长BE交AC于B【解析】延长AD到G，使DGAD，连结BGK、N．由基本图可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=B2∴AM(ABAC)【解析】如图所示，延长AM到D，使DMCMAM，连结BD，ADAM(ABAC)．2【例2】(XX省20XX初中毕业生学业考试(XX市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，利用SAS证得ACM≌DBM，∴BDACABD中，ADABBD，∴2AMABAC1【例1】(20XXXX市中考题)在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值X围是什[点评]此题很好的运用中线倍长的方法，若运用其他的方法将会更加麻烦是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE与ADF中，易证明AME≌FMB则AEFB，EAFF，从而AE∥FB，ANF90而CADDAB90，从而CAD≌ADBC，E为BC边的中点．求证：AB2DE．ABDEC【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EFCCAFBDE又∵BDECDF，BDCD∴BDE≌CDF．【解析】延长AD到E，使ADDE，连结BE．在ADC和EDB中ADEDADCEDB∴ADC≌EDBDCDB∴ACEB，CADBEA在ABE中，∵AB<AC，∴ABEB∴AEB<EAB，∴DAC<DAB．(如果取AB中点用中位线也可证，目AFEBDCG前还不能)【例4】(20XXXX市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中ADFEB又∵AD∥BC，F在AD延长线上∴DFECBE，FDEBCE在BCE与FDE中EBCECBCEDEEFDEDF∴BCE≌FDE(AAS)F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE与ADF中，AD到F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE与ADF中，AD到G，使DG∵BDCD，BDGAFDGAD，连结BGCDA，ADGD∴ADC≌GDB∴ACGB．DE中EBCECBCEDEEFDEDF∴BCE≌FDE(AAS)...【例5】如图所示，在ABC和A边分别垂直)∴△PQM≌△NRP，PM＝PNRC家庭作业【习题1】如图，在等腰ABC中，ABAC，DDCCD【例5】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB，ACAC，ADAD，求证ABC≌ABC．ABCE【解析】如图所示，分别延长AD、AD连接BE、BE，则AE2AD，至E、E，使DEAD，DEAD．AE2AD．因为ADAD，所以AEAE．故ADC≌EDB，从而ACEB，ADCEDB，BDCD，ECAD．因为ACAC，所以BEBE．在ABE和ABE中，ABAB，所以ABE≌ABE，从而EBACBAC．在ABC和ABC中，ABAB，EB，ECAD．BEBE，AEAE，E，BAEBAE，故BACBAC，ACACCADEECAD，则，故ABC≌ABC．BFAAGEDFAGBEH【解析】延长FE到点H，使HE在CEF和BEH中CEBECEFBEHFEHEFE，连结BH．∴CEF≌BEH请分别写出猜想，并任选MNDFHEBCFNME【解析】图2：图3：AMFENBAMFENB180证明DAC的中位线，从而BG由请分别写出猜想，并任选MNDFHEBCFNME【解析】图2：图3：AMFENBAMFENB180证明DAC的中位线，从而BG由BG∥AC可得GBCACB从而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABB，FNBNDM，又已知DEDF，从而DEM≌FDN．(2)由(1)可知EMDDNF，则由AMD而AM例21】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，EFDB1BC=CD，F为DE的中点，FM⊥ACBECDCBFC∴EHB∴AFGEHB，CFBHBGE，而BGEAGFBGAGF又∵EF∥AD∴AFG∴CADCAD，AGFBADBADAFEBDC【解析】延长AD到G，使DG∵BDCD，BDGAFDGAD，连结BGCDA，ADGD∴ADC≌GDB∴ACGB．GEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例8】已知AD为ABC的中线，ADBBECFEF．AEEFB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：AEDN【解析】延长FD到N，使DNDF，连结BN、EN．EFCE．容易证明EBF≌EAC，从而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACB例21】如图，AEEFCE．容易证明EBF≌EAC，从而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACB例21】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，EFDB1BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC题相对例题简单一些．连结AD，则ADBC．∵AEAF，ADAD，∴RtAED≌RtAFD∴ADEAD，ABAC，BAC90，D是BC中点，ED交于F．求证：BEAF，AECF．AFEB【解析】方法一：AD2CDB由此可得AD2BC2FDEC易证BND≌CFD，∴BNCF，又∵ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F，∴EDFEDN90，利用SAS证明EDN≌EDF，∴ENEF，在EBN中，BEBNEN，∴BECFEF．1AB24ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM2CN2DM2DN2，求证AC2．BAMMNDAMNCE【解析】延长ND至E，使DEDN，连接EB、EM、MN．因为DEDN，DBDC，BDECDN，则BDE≌CDN．从而BECN，DBEC．而DEDN，即BM2BE2因为DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2，ME2，则MBE90，即MBDDBE90．C，故MBDC90，则BAC90．AD为RtABC斜边BC上的中线，故ADAB2AC2．1BC．2AGB至点G，使得DFFG，联结GB、GE．由AFFB，有ADF≌BGFBGAD3ADFBGFAD∥GBGBEACB180CE【解析】如图所示，分别延长AD、AD连接BECE【解析】如图所示，分别延长AD、AD连接BE、BE，则AE2AD，A'D'E'至E、E，使DEA为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PNAQMPBN【解析】证明：A的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．BFEDFAGBEH【解析，从而ACEB，ADCEDB，BDCD，ECAD．同理，ADC≌ED'B，则AC因为ACAC，所以BEBGBE90GEGB2EB25．又DFFG，EFDGDEGE5．线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角AFCDAEFBDCG在CDF和BDG中CDBDCDFBDGFDGDGD，连结EG、BG．∴CDF≌BDG∴BGCF，FCDGBD∴ABCACB90∴ABCGBD90在EDF和EDG中EDEDEDFEDG90FDGD∴EDF≌EDG∴EFEG故以线段BE、EF、FC为边能构成一个直角三角形．【例11】如图所示，BACDAE90，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证AMCD．DAC的中位线，从而BG由BG∥AC可得GBCACB从而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABBDAC的中位线，从而BG由BG∥AC可得GBCACB从而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABBE=ED，AH=BH12∴∠GNM=∠HEF∵AH=BH，BF=CF2∴∠GMN=∠HFE∵AC<BH...∴EFC∴EHB∴AFGEHB，CFBHBGE，而BGEAGFBGAGF又∵EF∥AD∴AF且PED从而MED≌DFL，故DMDL．ME．PFLDFP，，所以MEDDFL，【例17】已知：ABBMMBNOBDAC．3AECDAECHFD【解析】如图所示，设AM交DC于H，要证明AMCD，实际上就是证明AHD90，而条件BMME不好运用，我们可以倍长中线AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点O．容易证明AME≌FMB则AEFB，EAFF，从而AE∥FB，ANF90而CADDAB90，从而CAD≌ABF，故而DDONFOHDABABN90，故CADABNDF故AHD90，亦即AMCD．AEEFCAEFGBDC【解析】取EC的中点G，连接DG易得DG∥BE，F为AD的中点，所以AEEG，从而可证得：1AEAC．3【例13】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD2EC．．证明：FM=AC．EFDBAMCHAMNCK【解析】过点E、D、B分别作AC的垂线，垂足分别为H．证明：FM=AC．EFDBAMCHAMNCK【解析】过点E、D、B分别作AC的垂线，垂足分别为H、ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂A的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．BFEDFAGBEH【解析D中，AD线分别交于M、N两点．求证：BC，E、F分别是AB和CD的中点，AMEBNE．AEAD、ECFBBCE13512BBAEEBDAECDAEEBGDC【解析】解法一：如图所示，延长CE到F，使EFCE．容易证明EBF≌EAC，从而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACBBACABC，CBFABCFBAABCCAB，故CBFCBD，而BC公用，故CBF≌CBD，因此CDCF2CE．解法二：如图所示，取CD的中点G，连接BG．故BG是DAC的中位线，从而BG由BG∥AC可得GBCACB从而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABBE，2EBC，故BCE≌BCG，AEEB且AEBE．【解析】过E作EF∥BC交BD于FACEACB∵DFEDBC又∵EF∥BC，EFBC，AC∴EFAC，CEFBBC，以BC为底作等腰直角2DECA1BC2BCD，E是CD的中点，求证：DECFAG∴CAD∴AD为CAD，AGFBADBADABC的角平分线．【例G∴CAD∴AD为CAD，AGFBADBADABC的角平分线．【例7】如图，已知在ABC中，AD是BFEF．ABECFDAMNBEFD【解析】取AC中点M，AD中点N．连结MF、NF、MB、NE，则根，从而ACEB，ADCEDB，BDCD，ECAD．同理，ADC≌ED'B，则AC因为ACAC，所以BE90，即MBDDBE90．C，故MBDC90，则BAC90．AD为RtABC斜边BC上的中线，故ACCADMBA12MPELF∴EFB≌ACE∴CEADBE又∵DBEDEB90∴DEBCEA90故AEB90∴AEEB且AEBE．ABECFDAMNBEFD【解析】取AC中点M，AD中点N．连结MF、NF、MB、NE，则根据直角三角形斜边中线的性质与中位线的性质有MF∴DNF∴BMC1ADNE，NF212ACMB，MF∥AD，NF∥AC，12CMF，∵BMAM，∴MBACAB．CAB2CAB．同理可证DNE2DAE．∵BAC∴BMC即BMFEAD，∴BMCEND．CMFFNDDNE，ENF，∴MBF≌NFE，∴BFEF．过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．CCMMPLADBADB【解析】如图所示，取AP、PB的中点E、F，连接EM、ED、FD、FL，则有DE∥BP且DEBP，DF∥AP且DF因为AMP和BLP都是直角三角形，1AP．2MCD．...AECDAECHFD【解析】如图所示，设AM交DC于H，要证明AMCD，实际上就是证明D=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、MCD．...AECDAECHFD【解析】如图所示，设AM交DC于H，要证明AMCD，实际上就是证明D=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【解析】(提示得：1AEAC．3【例13】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点D∴FH<EH∴∠HEF<∠HFE∴∠GMN>∠GNM【例18】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在AMNFBFBHADBAEF∴EH∥BD，EH=BD∴FH∥AC，FH=AC故MEAP，LFBP，从而EDFL，DF又因为MEDMEPPED，DFLDFP而MEP2MAP2LBPPFL，且PED从而MED≌DFL，故DMDL．ME．PFLDFP，所以MEDDFL，【例17】已知：ABCD是凸四边形，且AC<BD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：∠GMN>∠GNM．EDGCEDMGNC【解析】取AB中点H，连接EH、FH．∵AE=ED，AH=BH12∴∠GNM=∠HEF∵AH=BH，BF=CF2∴∠GMN=∠HFE∵AC<BD∴FH<EH∴∠HEF<∠HFE∴∠GMN>∠GNM使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：(1)DEM≌FDN；CAEFPCDBGHP】∵点E是DC中点∴DECE又∵AD∥】∵点E是DC中点∴DECE又∵AD∥BC，F在AD延长线上∴DFECBE，FDEBCE在BCE与FAF与EF相等吗？为什么？AFDCAC，延长BE交AC于B【解析】延长AD到G，使DGAD，连结BGH...∴EFC∴EHB∴AFGEHB，CFBHBGE，而BGEAGFBGAGF又∵EF∥AD∴AFGEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例8】已知AD为ABC的中线BB∵DFCF，AHCH，∴FH∥AD，FH【解析】⑴如图所示，根据题意可知DM∥BN且DM=BN，DN∥AM且DN=AM，所以AMDAPBDNB．而M、N分别是直角三角形AEP、BFP的斜边的中点，所以EMAMDN，FNBNDM，又已知DEDF，从而DEM≌FDN．则由AMD而AME、所以PAEDNB可得AMEBNF．BNF均为等腰三角形，PBF．BC，E、F分别是AB和CD的中点，AMEBNE．NNMFCDAEAD、EF、BC的延长NNMFCDHAE【解析】连接AC，取AC中点H，连接FH、EH．12AD，同理，EHBC，EH∥BC∵ADBC，∴EHFH，∴HFEHEF∵FH∥AM，EH∥BC∴AMEHFE，HEFBNE，∴AMEBNE[点评]“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功BC分别相交于点M、N．请分别写出猜想，并任选MNDFHEBCFNME【解析】图2：图3：AMFENBAMFENB180证明连结AD．∵请分别写出猜想，并任选MNDFHEBCFNME【解析】图2：图3：AMFENBAMFENB180证明连结AD．∵ABAC，BAC90∴BC45∵D是BC中点∴BAD45且ADBC∵EDDF∴EDAADK、N．由基本图可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=AC，CEFBBC，以BC为底作等腰直角2DECA1BC2BCD，E是CD的中点，求证：DECFA.CCAHADBMDDF(N)CHAEBMNDFAEBCFFNMAEBD根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE(不需证明)．MNDFHEBCFNMEAMFENBAMFENB180证明：在图2中，取AC的中点H，连结HE、HF∴HF∥AD，HF∴AMFHFE∴ENBHEF∵ADBC∴HFHE∴ENBHFEAMFH是AC的中点1AD21HECB2AB2CAB．同理可证DNE2DAE．∵BAC∴BMC即AB2CAB．同理可证DNE2DAE．∵BAC∴BMC即BMFEAD，∴BMCEND．CMFFNDDCF2CE．解法二：如图所示，取CD的中点G，连接BG．因为G是CD的中点，B是AD的中点，故BG是K、N．由基本图可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=，ABAC，BAC90，D是BC中点，ED交于F．求证：BEAF，AECF．AFEB【解析】方法一：212PR∥AB，PR＝MQ又EF=DF，FM⊥AC，EH⊥AC，DK⊥AC，故FM=(EH+DK)=(AN+NC)=AC【例21】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，EFDBBC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：FM=AC．EFDBAMCHAMNCK【解析】过点E、D、B分别作AC的垂线，垂足分别为H、K、N．由基本图可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=CN．【例22】(1991年XX市初二数学双基赛题)已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PNAQMPBN【解析】证明：取AB中点Q，AC中点R连结PQ，PR，MQ，NRPQ∥AC，PQ＝AC＝NR∠PQM＝∠PRN(两边分别垂直)∴△PQM≌△NRP，PM＝PNRC【习题1】如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF．EDN，即BM2BE2因为DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2EDN，即BM2BE2因为DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2，ME2，则MBE作EF∥BC交BD于FACEACB∵DFEDBC∴EFB135又∵EF∥BC，EFBC，AC∴EFGEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例8】已知AD为ABC的中线是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF．求证：EDBFDC．...AEFBDC【解析】本BEDAEFBDC连结AD，则ADBC．∵AEAF，ADAD，∴RtAED≌RtAFD∴ADEADF，∴