人教版九年级数学上册 （直线和圆的位置关系）圆教育课件(第2课时)

人教版数学九年级上册直线和圆的位置关系第2课时

学习目标1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.推进新课回顾直线与圆相切：.O直线与圆相切切线.切点判断直线和圆相切有哪两种办法？知识回顾1.

和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.1.切线和圆只有一个公共点.2.圆心到切线的距离等于半径.切线具有的性质定义法：2.

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.数量关系法（d=r

）：新知探究知识点1切线的判定定理新知探究ABC已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？(1)圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?(2)二者位置有什么关系？为什么？O∵OA⊥l∴l是⊙O的切线.几何语言：OA是半径，于Al.OA切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.知识点1切线的判定定理判断:1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可:(1)直线经过半径的外端;(2)直线与这半径垂直.归纳1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AlOlrdAOlAO判断一条直线是圆的切线的三种方法切线的判定方法下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线方向飞出．

1.当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？

2.砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?生活中的数学新知探究思考：如图，如果直线l是⊙O

的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是⊙O

的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径．几何语言知识点2切线的性质定理新知探究(1)假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD,垂足为M.(2)则OM<OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.

这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.(3)所以AB与CD垂直.CDBOAM证法：反证法.证明切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D∴OD⊥AB又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD，即OE是⊙O的半径例题【教材P98例1】∴AC是⊙O的切线.(1)有交点，连半径，证垂直;(2)无交点，作垂直，证半径.证切线时辅助线的添加方法有切线的条件时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.求证：AT是⊙O的切线.练习【教材P98练习第1题】证明：∵AT=AB，∴∠T=∠ABT=45°，∴∠TAB=90°，∴BA⊥AT，∴AT是⊙O的切线AB.OT2.如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B

是切点.

l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.解：

l1∥l2.证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴AB∥

l1，∴AB∥

l2，∴

l1∥l2.【教材P98练习第2题】AB.Ol2l1练习课堂小结切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直跟踪训练新知探究（2018∙常州中考）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，那么∠NOA的度数为() AA.76° B.56° C.54° D.52°解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．随堂练习1如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°，则∠ABD的度数是()BA.30° B.25° C.20° D.15°解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOC=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO，∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，∴∠ABD=25°.随堂练习2如图，AB是⊙O的直径，直线l1，

l2

是⊙O的切线，A,B是切点，l1

，

l2

有怎样的位置关系？证明你的结论.解：l1∥l2，证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2．Al1

l2BO随堂练习3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D.求证：AC与⊙D相切.解：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，又AD平分∠BAC，DE⊥AC，所以DE=DB，所以AC与⊙D相切.E对接中考1（日照中考）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C,连接AC,

AB=10,∠P=30°,则AC的长度是()A

D对接中考2

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对接中考3如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.求证：PA是⊙O的切线.解：如图，连接OA.因为∠B=60°，

所以∠AOC=2∠B=120°.因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=30°.又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.人教版数学九年级上册直线和圆的位置关系第3课时

学习目标1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.运用切线长定理进行计算与证明.复习引入

问题1

作法：

1

2作图依据：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

目标图形

作法：

1

2

3作图依据？思考

作图依据：直径所对的圆周角是直角；1经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2两点确定一条直线.3

POBAO.PAB经过圆内一点，不存在圆的切线；经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；经过圆外一点作圆的切线，有两条.

归纳新知探究P切线长的定义：切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．AO①切线是一条与圆相切的直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．切线长与切线的区别在哪里？知识点1切线长定理问题2PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．

OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）

PA、PB有何关系？

∠APO和∠BPO有何关系？O.PAB知识点1新知探究已知，如图PA，PB是☉O的两条切线，A,B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA切☉O于点A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.O.PAB新知探究切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.知识点1切线长定理切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.知识点1新知探究若连接两切点A,B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？并给出证明.OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB，∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，∴OP垂直平分AB.O.PABM知识点2新知探究小桐在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？知识点2三角形的内切圆新知探究如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？

OOOO最大的圆要与三角形三边都相切.知识点2三角形的内切圆新知探究如何作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？

(1)如果半径为r的☉O与△ABC的三边都相切，那么圆心O应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心O呢？

圆心O到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心O应是三角形的三条角平分线的交点.BACI知识点2新知探究1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部.2.一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.知识点2三角形的内切圆新知探究尺规作图求作：△ABC的内切圆.作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.DMNOABC作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可.新知探究如图，☉I是△ABC的内切圆，即IA，IB

，IC分别三个内角的平分线.分别过点I

作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？BACIEFGIE=IF=IG新知探究三角形内心的性质三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径.BACIEFG知识点2三角形的内切圆名称外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点).内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点).图形性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.三角形的内心到三角形三边的距离相等.位置外心不一定在三角形的内部.内心一定在三角形的内部.角度关系∠BOC=2∠A.归纳三角形外心、内心的区别1.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。练习【教材P100练习第1题】ABCO解：∵

点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∴∠OCB=∠ACB=×75°=37.5°∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5°解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则S△ABC=ar+ab+cr=(a+b+c)r=lr2.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的

面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)【教材P100练习第2题】BACIEFG课堂小结切线长切线长定理作用图形的轴对称性原理提供了证线段和角相等的新方法辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应用跟踪训练新知探究（2018·湖州中考）如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是

.70°

A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心随堂练习1如图为4×4的网格，A,B,C,D,O均在格点上，则点O是()B随堂练习2

随堂练习3如图，PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.(1)若PA=10，求△PDE的周长；(2)若∠P=50°，求∠DOE的度数.解：(1)因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,所以PA=PB，DA=DC，

EC=EB，