人教版八年级数学上册 （多边形的内角和）三角形 教学课件

多边形的内角和

学习目标1.掌握多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）回顾旧知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.1.什么是多边形？3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_______条对角线，将多边形

分割成了________个三角形.2.什么是多边形的对角线？

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.n－3n－2合作探究---多边形内角和思考1：三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和都等于______.任意四边形的内角和是否也等于360°呢？你能用三角形内角和证明四边形的内角和等于360？360°合作探究---多边形内角和方法1：如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.ABCD想一想，还有别的做法吗？合作探究---多边形内角和ABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.合作探究---多边形内角和方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.ABCDE合作探究---多边形内角和ACDEBABCDEF思考2：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.合作探究---多边形内角和23180°×3=540°34180°×4=720°n－3n－2180°×(n－2)由特殊到一般：n边形的内角和等于（n－2）×180°小试牛刀1.七边形的内角和等于()A.360°B.900°C.1080°D.1260°B2.在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是

.120°小试牛刀3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：

如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°，因为∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=360°－180°=180°.所以ABCD如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.小试牛刀

变式训练：如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．小试牛刀4、已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；解：∵360°÷180°=2，630°÷180°=3......90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=4．故甲同学说的边数n是4；小试牛刀（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．解：依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．合作探究---多边形外角和思考3：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.∴六边形外角和=总和－内角和=6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°合作探究---多边形外角和由特殊到一般：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2)×180°=360°=n个平角-n边形内角和=n×180°AnA2A3A4123

4nA1思考4：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是150°,那么这是正____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.十二正八合作探究---多边形外角和小试牛刀1、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的

边数.解：设多边形的边数为n.∵它的内角和等于(n－2)•180°，多边形外角和等于360°，∴(n－2)•180°=2×360º.解得n=6.∴这个多边形的边数为6.小试牛刀2、

一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．能力提升1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.(1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出

∠C的度数；解：(1)∵BE∥AD，∴∠A＋∠ABE＝180°，即140°＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝40°，∴∠ABC＝80°，由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°能力提升2、已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的内角为7x°,外角为2x°,根据题意得:7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°.360°÷40°=9.答：这个多边形是九边形.能力提升1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.(2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.(2)∵∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，∴∠EBC＋∠ECB＝70°，∴∠BEC＝110°能力提升3、一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．能力提升4、

一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.思维拓展1、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.89课后作业今天我们收获了哪些知识？1.说一说多边形内角和公式？2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？3.多边形的外角和等于多少？4.正多边形的一个外角和一个内角的公式是什么？课后作业教材25页习题11.3第5、6、7、8题．人教版数学八年级上册第十一章三角形多边形的内角和

1.1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）教学目标新课引入1.三角形的内角和是多少？2.四边形的内角和是多少？180°360°他们的概念是什么？又该如何去做呢？一起来学习吧！3.你能证明它吗？探究新知1证明：四边形

ABCD的内角和是360°.ABCD解：如图，连接

AC.则四边形被分为两个三角形，所以四边形

ABCD的内角和为180°×2=360°.探究新知1五边形，六边形的内角和呢？ACDEBABCDEF内角和为180°×3=540°.内角和为180°×4=720°.探究新知1n边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出的三角形个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形名称···0n-

3

1231234n-

2

(

n-

2)·180°1×180°=180°2×180°=360°

3×180°=540°4×180°=720°·········总结探究新知1多边形的内角和公式n边形的内角和等于

(n

-

2)×180°.巩固新知11.一个多边形的内角和不可能是（

）A.1800°B.540°C.720°D.810°D2.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，则这个多边形的内角和等于(

)A.360°B.540°

C.720°D.900°C巩固新知13.

一个多边形的内角和为1800°，它是

边形，截去一个角后，（1）他可能变成几边形？（2）求得到的多边形的内角和.十二巩固新知14.一个多边形的内角和比四边形的内角和多

720°，并且这个多边形的各内角都相等，该多边形的内角和是

，他是一个

边形，它的每个内角都是

。135°正八1080°巩固新知1

正n边形的内角和是

。

正n边形的每个内角都是

。

(n

-

2)•180°巩固新知15.正十边形的内角和是

，每个内角都是

，∠1是它的一个

，∠1=

。1外角36°144°1440°探究新知2问题1:n边形有几个外角？EBCD12345A如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．n边形的外角和探究新知2问题2:五边形的外角和是多少？

EBCD12345A∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=

°

360问题3:n边形的外角和是多少？

探究新知2n边形的外角和是

°正n边形的每个外角都

，是

°

相等360巩固新知21.某多边形的每个外角都是40°，这个多边形是（）边形。A.四B.九C.七D.十三

B2．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．14