结构-地基系统的静-动力统一人工边界

结构-地基系统的静-动力统一人工边界

土木工程结构基本系统是一个开放系统，静力分析和动态分析包括半有限基质的模拟问题。因此，合理定义人工边界是解决土-结构相互作用的关键。从广义上讲，人工边界可分为静力人工边界和动态人工边界。静力人工限制历史悠久，如固定边界和滚轴边界。现在，基于局部波动原理的局部人工边界主要是基于亲水界面的局部人工边界，如粘度边界、粘度弹性限制[24]和传输限制等。其中，粘性限制的概念清晰、简单易用，因此被广泛使用。然而，粘附界面的精度不高，并且存在低频失稳的问题。相比之下，粘度弹性限制可以限制动态问题中的零频分量，以模拟外部介质中非无限介质的弹性恢复性能，具有良好的稳定性和高精度。现在，有必要充分考虑静力效应和动态效应的工程问题的一般方法是：采用静力人工限制和动态人工限制来计算静力问题和动态问题，并得到一个完整的结果。然而，由于叠加原理仅适用于在线弹性小变形区域的分析，因此不能应用于非线性或大变形问题的分析，例如大型水库的强震反应分析、高柱结构-地面系统的地震反应分析以及地下结构-地震源的静力效应对动态特征的影响分析等。因此，有必要在动态问题的静力问题的静力统一人工限制的基础上开发。一般情况下,动力人工边界和静力人工边界是分别基于动力学和静力学的基本理论建立的,因而试图从基本理论出发建立静-动力统一人工边界存在着很大的难度.可行的方法是首先基于动力学(静力学)基本理论,建立适用于动力问题(静力问题)分析的动力(静力)人工边界;然后对其进行修正,使之能够适用于静力问题(动力问题)的分析.本文将根据这一思路,基于现有的黏弹性动力人工边界来建立静-动力统一人工边界.1维黏弹性动力人工边界的鲁棒性为了克服黏性动力人工边界精度不高和低频漂移失稳等缺点,Deeks、刘晶波等人在假定散射波为二维柱面波的基础上提出了二维黏弹性动力人工边界刘晶波等人1)在假定散射波为三维球面波的基础上提出了三维黏弹性动力人工边界.上述二维和三维黏弹性动力人工边界可以等效为在人工截断边界上设置连续分布的并联弹簧-阻尼器系统,其中弹簧元件的弹性系数Kb及黏性阻尼器的阻尼系数bC的计算公式如下:式中,ρ和G分别表示介质的质量密度和剪切模量;R表示散射波源至人工边界的距离;c表示介质中的波速,法向人工边界c取P波波速cp,切向人工边界c取S波波速cs;参数α根据人工边界的类型及设置方向参照表1取值,为叙述方便在以下的分析中也将人工边界法向和切向的参数α分别记为αn和αt.显然,当α取零或R趋于无穷大时,弹性系数Kb等于零,黏弹性动力人工边界即退化为黏性动力人工边界.黏弹性动力人工边界可以方便地与有限元方法结合使用,只需在有限元模型中人工边界节点的法向和切向分别设置并联的弹簧单元和阻尼器单元1).以三维黏弹性动力人工边界为例,具体的实施方法如图1所示.图中坐标X和Y向为人工边界面的切向,Z向为法向,弹簧单元的弹性系数K及阻尼器单元的阻尼系数C可以根据(1)和(2)式简单地取为式中,为人工边界节点所代表的面积,即图1虚线所包围部分.下面通过三维线弹性无限空间中的内源问题算例来分析一下三维黏弹性动力人工边界的鲁棒性.计算模型如图2(a)所示,介质的质量密度ρ=1,剪切波速cs=4,Possion比v=0.25.荷载P(t)取为Diracδ函数的有限差分近似,即式中,τ=t/T为无量纲时间,T为持续时间(本算例取T=1.0s),G4(τ)=τ3H(τ),H(τ)是Heaviside阶跃函数.理论上采用以加载点为球心的球面形状的人工边界可以取得更好的模拟效果,但为模型处理方便,实际工程中在进行土-结构动力相互作用分析时往往采用平面形式的人工边界.本算例也采用平面人工边界,各人工边界面坐标方程分别为xb=±05.,yb=±5.0和zb=±5.0,即计算范围取-0.5≤x,y,z≤0.5,有限元网格尺寸∆x=∆y=∆z=0.05.为操作方便,在每一个平面人工边界上R简单地取同一值,本算例取为加载点至人工边界面的垂直距离,即R=0.5.改变(1)式给出的弹性系数Kb的取值即可研究黏弹性动力人工边界的鲁棒性,计算时取参数αn=2αt分别为4.0,2.0,4/3,1.0和0.0,其中,αn取4.0和0.0时分别对应于三维黏弹性动力人工边界和黏性动力人工边界.图2(b)给出了观测点(.0,2.0,2.02)的z向位移时程.根据图2(b)可知,当0<αn=2αt≤4.0时黏弹性动力人工边界的精度均优于黏性动力人工边界,而且当1.0<αn=2αt≤2.0时,黏弹性动力人工边界具有良好的精度.以上分析结果表明黏弹性动力人工边界具有良好的鲁棒性,这为通过修正弹性系数Kb来发展静-动力统一人工边界提供了保证.本算例也相当于三维黏弹性动力人工边界(αn=2αt=.40)中R分别取为0.5,1.0,1.5,2.0和∞时的结果,这也证明黏弹性动力人工边界中的R可以在一个较大范围内取值,即R的取值也具有良好的鲁棒性.黏弹性动力人工边界概念清晰,公式简单,具有较高的精度和良好的稳定性及鲁棒性.目前已经在土-结构动力相互作用问题中得到成功的应用[7～9].但黏弹性动力人工边界是基于均匀无限弹性空间中的波动理论提出的,虽然弹簧元件的存在可以保证所隔离的计算系统是稳定的,但直接将其用于静力问题会导致较大误差.另外,半无限空间中除了存在P波、S波等体波之外还存在Rayleigh波等面波,这决定了半无限空间弹性波场与无限空间波场之间的差别,尤其是在半无限空间自由表面附近.因此为更好地模拟工程中的弹性半空间模型,也有必要对三维黏弹性动力人工边界实施修正.2半无限空间人工边界的修正原则上,动力人工边界的确定是一个低频问题,文献和指出:对于采用弹簧及阻尼器构建的动力人工边界,计算精度取决于其静力特性.根据这一标准,如果能够修正黏弹性动力人工边界,使之用于静力问题时具有足够高的精度,则其对动力问题的模拟精度也可能得到进一步提高.换言之,将黏弹性动力人工边界修正为既适用于静力问题又适用于动力问题的黏弹性静-动力统一人工边界是提高其精度的一种有效途径.黏弹性边界对静力问题的模拟精度完全取决于弹性系数Kb的取值,因而参照半无限空间中静力问题基本解对参数α进行修正是必要的.考查半无限空间自由表面上受法向集中力或切向集中力作用问题,如图3所示.根据Boussinesq解答及Cerruti解答,半无限空间中给定截面上某一点的应力及其相应位移之间的比例系数可写为(1)式的形式,如表2所示,其中参数α为柱面坐标r和z或者直角坐标x,y和z的函数.图4给出了Possion比ν=0.25时表2中各参数α的取值,图中R表示加载点至给定截面的垂直距离,d表示给定截面上点的位置坐标,对于α1和α2,d=r对于α5和α6,d=x;对于α3,α4,α7和α8,d=z.需要说明的是当y≠0时参数α5,α6,α7和α8的取值将减小.根据图4,α2与α3存在奇异点且在一定范围内取负值,这导致Kb2与Kb3在某些区域内无法采用普通的弹簧元件加以模拟.根据上述弹性半空间静力问题基本解的特点及现有的黏弹性动力人工边界考虑到土木工程中涉及的静力效应多为自重引起,本文建议计算模型底面人工边界的法向参数α取为α1;考虑到α7与α1相似,并为简单起见,模型侧面法向参数α也取为α1;模型底面切向参数α按三维黏弹性动力人工边界切向参数α取值;模型侧面切向参数α参照α4取值,并简单地取为0.5,这与二维黏弹性动力人工边界切向参数α一致.表3给出了修正后黏弹性人工边界的参数α的具体取值.表3中人工边界面法向参数α*的具体计算公式为式中,ν为Possion比,d为位置坐标,R为荷载作用点到人工边界点的距离.对于底面人工边界,(6)式中的变量d=r;对于侧面人工边界,d=z.对于集中荷载,R可取为加载点至人工边界的垂直距离;对于分布荷载,R可取为分布荷载中心至人工边界的垂直距离.如果研究的是散射问题,则R为散射源至人工边界的垂直距离.算例表明参考静力问题基本解修正后的黏弹性人工边界对三维半无限空间中的动力问题和静力问题均具有很高的模拟精度,可称之为三维黏弹性静-动力统一人工边界.3计算值的示例3.1人工边界面的确定半无限空间模型如图3(a)所示,介质的质量密度ρ=1,剪切波速cs=4Possion比ν=0.25.静力问题中取荷载P=1,理论解已由Boussinesq给出;将静力荷载P改为动力荷载P(t)即为三维Lamb表面源问题,计算时P(t)取(5)式给出的δ函数,理论解可由Lamb问题基本解积分求得.计算范围取-0.5≤x,y≤0.5,0≤z≤1.0;网格尺寸∆x=∆y=∆z=0.05.各人工边界面上分别施加静-动力统一人工边界、三维黏弹性动力人工边界、黏性边界、滚轴边界等计算中R取为加载点至人工边界面的垂直距离.图5给出了Lamb问题中自由表面上距离加载点r处观测点的法向位移时程实际计算时考虑了加载点分别为原点(0,0,0)或者A点(0.2,0.2,0)两种情况,图5(c)中1和2分别代表坐标为(0.2,0.4,0)和(0.2,0,0)的观测点.根据图5,黏性边界导致了明显的漂移失稳;三维黏弹性动力人工边界虽然没有失稳现象发生,但弹性系数偏大;黏弹性静-动力统一人工边界不仅具有良好的稳定性,精度也明显优于其他两种人工边界.根据图5(c)还可以发现,对于非对称问题,采用静-动力统一人工边界的计算结果基本取决于观测点与加载点之间的距离r,而与观测点是否靠近人工边界没有明显关系,而黏性和黏弹性人工边界则有明显差别,这也进一步说明了黏弹性静-动力统一人工边界具有更好的模拟精度.图6给出了原点加载时静力问题(Boussinesq问题)的计算结果.根据图6,对于主要位移分量uz,黏弹性静-动力统一人工边界的精度明显高于其他两种人工边界,即使在人工边界面z=1.0上,其精度也没有明显降低.值得一提的是,根据图4,当0.15≤z/R≤0.36时,σr与ur之间的关系是无法采用普通弹簧模拟的但静-动力统一人工边界的精度仍然很高.3.2考虑动力与静力的对比计算结果如图3(b)所示,选取计算范围为-1≤x,y≤1,0≤z≤1,集中荷载作用于原点,作用方向与x轴重合,各人工边界面上的参数R均取1.0,其他参数同3.1图7和8分别给出了动力问题和静力问题的计算结果,其中静力问题的理论解是由Cerruti给出的,动力问题的理论解是扩展边界的有限元解.根据图7和8三维黏弹性静-动力统一人工边界对由水平荷载作用下的动力问题仍然明显优于其他两种动力人工边界.对静力问题而言,水平位移分量的计算精度较高,但对于z向位移分量的精度较低.考虑到土木工程动力问题分析计算中需考虑的静力效应一般是由结构的自重,即由竖向荷载引起的,因而这一缺点对三维黏弹性静-动力统一人工边界的实际应用影响不大.3.3v2004旅游标准如图9所示,半无限空间z≥0由两层介质构成,0≤z≤0.5时,ρ=1cs=2,v=0.30;z>0.5时,ρ=1,cs=4,v=0.25;自由表面上法向均布荷载p(t)的作用范围为-0.5≤x,y≤0.5,荷载p(t)仍取(5)式所示δ函数,其他参数同3.2.图10给出了两观测点的z向位移时程,其中理论解为扩展边界的有限元解.根据图10,三维黏弹性静-动力统一人工边界完全可以应用于成层半无限空间中的动力问题分析,而且仍然具有很高的精度和良好的稳定性,明显优于黏性或黏弹性动力人工边界.3.4人工边界面的三维黏弹性静-动力人工边界面的数值分析考查半无限空间z≥0,质量密度.自由表面附近-6≤x,y≤6m,0≤z≤6m范围内为一基坑.利用对称性取如图11所示计算模型,计算范围取为0≤x,y,z≤20m,网格尺寸∆x=∆y=∆z=2m.各人工边界面上分别施加三维黏弹性静-动力统一人工边界、三维黏弹性动力人工边界和黏性边界,计算中R取为原点至人工边界面的垂直距离.假定一S波脉冲δ(t)沿z轴入射,振动方向平行于x轴,脉冲如(5)式所示(T=0.5s).波动输入参照文献实现.图12给出了观测点A和B的x向位移时程,其中理论解为扩展边界的有限元解.根据图12可知,对于散射问题而言,三维黏弹性静-动力统一人工边界仍然具有很高的精度和良好的稳定性.4粘弹性静-动力统一人工边界本文提出了一种发展静-动力统一人工边界的方法,并在分析半