基于空间索单元的空间索单元精确解

基于空间索单元的空间索单元精确解

悬索是指长度大于其截面大小的悬索。由于其外观美观，材料利用率高，悬索广泛应用于各种现代工程结构中，其分析方法也受到了高度重视。文献总结了国内外悬索分析的全过程，验证了文献中三种悬索分析解的等效性。现在，基于精确分析和解析表明的索样单元在非线性方程分析中主要存在两个不足。由于不能考虑间隙效应的影响，因此很难模拟临时负荷等影响。在空间索引单元的外部刚性系数中，文献中存在许多值法。当值不合适时，计算可能会变得困难或缓慢。本文首先完善基于精确解析解的平面索单元,包括带节间集中力的索单元、两端带刚臂的索单元;然后推导了空间索单元的平面外刚度系数,从理论上澄清文献中对这一系数的不同取值问题;并通过坐标转换矩阵将空间索单元统一到平面索单元上,同时还考虑了在非铅垂向均布荷载作用下的情形.1变l计算b文献在公式推导时采用的y坐标是向下的(图1a),而有限元分析时一般采用向上的y坐标(图1b).通过对文献公式的重新推导,证明当采用图1b所示的坐标系及索端力定义时,悬索公式保持不变,即l=Ηl0EA+Ηq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)](1)h=l0EA(V-W2)+1q[√Η2+V2-√Η2+(V-W)2](2)式中:E为弹性模量;A为面积;l0为无应力长度;q为均布荷载;W为索段重量,W=ql0;其余参数含义参见图1.式(1)和(2)对铅垂悬索也适用,当l=0时,由式(1)可得H=0,此时式(2)变为h=l0EA(V-W2)+1q(|V|-|V-W|)(3)当h已知时,式(3)只有一个变量V,从中即可求得V,从而确定铅垂悬索的受力状态.如取V为上端的竖向力,则式(3)有两种情况:(1)如果需要张力，即v.w，则可以从方程3获得V=W2+EA(h-l0)l0(4)显然,当忽略悬索的重量时,式(4)就退化为杆单元的杆端力计算公式.(2)如果sonrobot，0.v，w，方程式3可以得到V=W2+qh2+ql0/EA(5)当h=0时,由式(5)可得V=W/2.2索赔块2.1刚度子阵平面索单元是一个二节点单元,每个节点有2个自由度.如解除一端的2个约束,代之以相应的作用力,则索单元就成为静定了.由此推导其柔度矩阵即可得到相应的刚度矩阵,然后利用对称性就能得到索单元的切线刚度矩阵.参见图1b,式(1)和(2)分别对H和V求偏导,可得{f11=∂l∂Η=l0EA+lq[arcsinh(VΗ-arcsinh(V-WΗ))]-1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]f12=∂l∂V=1q[Η√Η2+V2-Η√Η2+(V-W)2]f21=∂h∂Η=f12f22=∂h∂V=l0EA+1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2](6)当H和V已知时,由式(6)即可得到索单元右端的刚度子阵,具体可表示为Κ=1f11f12-f12f21[f22-f12-f21f11](7)根据位移互等定理,平面索单元的切线刚度矩阵可表示为Κe=[Κ-Κ-ΚΚ](8)对处于铅垂位置的索单元,根据式(6)分两种情况也可得到其切线刚度矩阵的表达式.2.2索单元的柔度系数考虑到索单元几何形状的不确定性,节间荷载采用相对于其无应力长度进行定位的方法来描述.如图2所示,设单元内有N-1个集中力作用点,将单元分为N段,从左向右依次为1～N,Px,i,Py,i为作用在单元上的集中力,定义l0,i,Hi,VR,i分别为第i段索元的无应力长度、水平力、右端的竖向力,则对第N段索元,有{ΗΝ=ΗVR,Ν=V(9)然后根据以下递推公式即可从右向左求得各索元的索力{Ηi-1=Ηi+Ρx,i-1VR,i-1=VR,i-ql0,i-Ρy,i-1(10)这样,根据式(1)和(2)即可得到带节间荷载的索单元的状态方程{l=1EAΝ∑i=1Ηil0,i+1qΝ∑i=1Ηi[arcsinh(VR,iΗi)-arcsinh(VR,i-ql0,iΗi)]h=1EAΝ∑i=1l0,i(VR,i-ql0,i2)+1qΝ∑i=1[√Η2i+V2R,i-√Η2i+(VR,i-ql0,i)2](11)采用第2.1节方法,通过对式(11)求偏导即可得到带节间荷载的索单元的柔度系数,由式(7)和(8)得出单元的切线刚度矩阵.从式(11)可以看出,带节间荷载索单元的柔度系数是各索元柔度系数之和,因而节间荷载的个数是不受限制的.2.3带刚臂索单元的切线刚度矩阵悬索桥的吊索两端一般均设有锚头,而锚口以外部分可以看作是不可伸长的刚臂,因此,可将吊索模拟为两端带刚臂的索单元(图3).如假定两端刚臂总与索端部相切,则其状态方程如式(12)表示,式(12)中各符号的含义参见图3.{l=Ηl0EA+Ηq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-ql0Η)]+SRΗ√Η2+V2+SLΗ√Η2+(V-ql0)2h=l0EA(V-ql02)+1q[√Η2+V2-√Η2+(V-ql0)2]+SRV√Η2+V2+SLV-ql0√Η2+(V-ql0)2(12)采用前述方法,也可方便地得到带刚臂索单元的切线刚度矩阵.按相同的方法,将式(11)和(12)组合在一起,即可得到两端带刚臂且有节间荷载的索单元的状态方程,由此得出单元的切线刚度矩阵.3空间索单元的刚度矩阵如前所述,目前文献中空间索单元的平面外刚度系数有多种取值方法,因此,有必要从理论上给出空间索单元的平面外刚度系数.本节首先直接推导了空间索单元的刚度矩阵,得到空间索单元的平面外刚度系数,然后通过坐标转换矩阵将空间索单元统一到平面索单元,从而使空间索单元也可像平面索单元一样方便地考虑节间荷载和刚臂的影响.3.1空间索单元切线刚度矩阵的计算对图4所示的空间索单元,显然在局部坐标系Ox′y上,其状态方程与式(1)和(2)完全相同,对式(1)等号左右同时乘以cosα和sinα,即可得空间索单元在Oxyz坐标系下的三个状态方程{lx=Ηxl0EA+Ηxq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]h=l0EA(V-W2)+1q[√Η2+V2-√Η2+(V-W)2]lz=Ηzl0EA+Ηzq[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)](13)其中{Η=√Η2x+Η2z,Ηx=Ηcosα,Ηz=Ηsinαl=√l2x+l2z,lx=lcosα‚lz=lsinα(14)由式(13)和(14)分别对Hx,V,Hz求偏导,可得{f11=∂lx∂Ηx=l0EA+l0W[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]-1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]cos2αf12=∂lx∂V=f21=∂h∂Ηx=1q[Η√Η2+V2-Η√Η2+(V-W)2]cosαf13=∂lx∂Ηz=f31=∂lz∂Ηx=1q[-V√Η2+V2+V-W√Η2+(V-W)2]sinαcosαf22=∂h∂V=l0EA+1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]f23=∂h∂Ηz=f32=∂lz∂V=1q[Η√Η2+V2-Η√Η2+(V-W)2]sinαf33=∂lz∂Ηz=l0EA+1q[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]-1q[V√Η2+V2-V-W√Η2+(V-W)2]sin2α(15)根据第2.1节的方法,由式(15)即可得到空间索单元的切线刚度矩阵.与平面索单元一样,空间索单元的切线刚度矩阵也是对称的.3.2空间索单元与平面外刚度系数3.1节利用悬索公式直接推导了空间索单元在总体坐标系Oxyz下的切线刚度矩阵,取α=0,由式(15)即得到索单元在Oxy平面内(相当于索单元的局部坐标系)的柔度系数,其中与平面索单元对应的系数均与式(6)相同,而平面外的柔度系数为f′33=l0EA+1q[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)](16)由式(6)和(16)即可得到空间索单元在局部坐标系下的切线刚度矩阵,除平面外刚度所在的行和列外,所有刚度系数均与平面索单元相同,而根据式(13)和(14),平面外刚度系数可表示为k′33=1f′33=1/{l0EA+1q[arcsinh(VΗ)-arcsinh(V-WΗ)]}=Ηxlx=Ηzlz=Ηl(17)文献的平面外刚度系数均是直接给出的,其中文献为-F1/H,由于F1与水平力大小相等、符号相反,因此是正确的.而文献的推导过程和最后表达式均很复杂,且其中的式(13a)括号内两项的量纲也不相同,因而是错误的.另外,文献取为0显然是不合适的.在总体坐标系下由式(15)得到的柔度矩阵F与由式(16)的局部坐标系下的柔度矩阵F′存在以下关系:F=[f11f12f13f21f22f23f31f32f33]=[cosα0-sinα010sinα0cosα][f′11f′120f′21f′22000f′33][cosα0sinα010-sinα0cosα]=ΤΤF′Τ(18)式中的f11′,f12′,f21′和f22′与式(16)中的f11,f12,f21和f22相同,而T即为坐标转换子阵.式(18)揭示了空间索单元与平面索单元切线刚度矩阵之间的关系:在平面索单元的基础上加上平面外刚度系数,即形成了空间索单元在局部坐标系Ox′y下的切线刚度矩阵,通过坐标转换矩阵即可得空间索单元在总体坐标系下的切线刚度矩阵.4空间索单元的等效节点力在上述推导中,均是针对只有铅垂向的均布荷载(即索的自重)作用的索单元,而且是在总体坐标系下直接推导的,此时单元的坐标转换矩阵就是单位矩阵.当悬索在自重与其他荷载(如静风力等)共同作用时,如仍能简化为沿无应力长度的均布荷载,考虑如图5所示的空间索单元,假定索单元受qx,qy,qz三个沿无应力长度的均布荷载的共同作用,则局部坐标系的y′轴应与qx,qy,qz的合力q方向相反,故y′轴在总体坐标系中的方向余弦为l2=qx/q,m2=qy/q‚n2=qz/q(19)z′轴应同时垂直于y′轴和单元两个端点的连线,故z′轴在总体坐标系Oxyz中的方向余弦为{l3=(n2h-m2lz)/pm3=(l2lz-n2lx)/pn3=(m2lx-l2h)/pp=[(n2h-m2lz)2+(l2lz-n2lx)2+(m2lx-l2h)2]1/2(20)x′轴应同时垂直于y′轴和z′轴,故x′轴在总体坐标系Oxyz中的方向余弦为{l1=(m2n3-n2m3)/rm1=(n2l3-l2n3)/rn1=(l2m3-m2l3)/rr=[(m2n3-n2m3)2+(n2l3-l2n3)2+(l2m3-m2l3)2]1/2(21)由此,空间索单元的坐标转换矩阵的子阵可表示为Τ=[l1m1n1l2m2n2l3m3n3](22)当qx=0且qz=0时,由式(22)得到的坐标转换矩阵与式(18)中的T完全相同.对空间索单元,当有节间荷载时,则所有节间荷载均必须在单元的局部坐标系所在的平面Ox′y′内,而对图4所示的空间索单元,在局部坐标系Ox′y下的等效节点力向量为{Ηx2+Ηz2V-W0-Ηx2+Ηz2-V0}(23)对其他复杂情况下的等效节点力,同样可按式(23)形成局部坐标系下的等效节点力向量,然后通过坐标转换矩阵换算到总体坐标系下.5组合均布荷载作用下的优化设计算例一图6为索在自重作用下的线形,E=19×106kPa,A=0.85m2,自重集度为3.16kN·m-1,计算在P=8000kN作用下的荷载作用点B相对于恒载状态的位移.本文采用三个索单元模拟,收敛精度取为10-5kN.表1给出了本文的计算结果及与其他研究者的比较.为验证索在组合均布荷载作用下的情形,将本算例的索旋转一个角度并将自重分解成两个方向进行计算,所得的结果与未旋转时完全相同.另外,本算例用一个索单元模拟也能得到相同的结果.算例二图7为一个由3根悬索和1根弹簧组成的空间索系,弹簧的刚度为1000kN·m-1,悬索的抗拉刚度为290MN·m-1,线膨胀系数为6.5×10-6,单元①,②,③的无应力长度分别为580,510,510m,自重集度分别为1,2,2kN·m-1,计算温度升高100℃且在2#点作用如图所示的P=1MN时2#点的位移.本文计算时弹簧用杆单元模拟,收敛精度取为10-8kN.计算结果见表2,表中给出了