等腰三角形性质

西安半坡博物馆等腰三角形ACB底边底角底角

顶角有两条边相等（AB=AC)的三角形，叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，温故而知新腰腰腰和底边的夹角叫做底角.

1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是

；

2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是

；

3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是

。

10cm10cm或11cm19cm小试牛刀温馨提示：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得△ABC,

活动1：实践观察,认识等腰三角形ACDBAC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?探索:

ACDB活动2:探索等腰三角形性质1、等腰三角形是轴对称图形吗？思考是2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角

AB、ACBD、CD

AD、AD∠B、

∠C.∠BAD、∠CAD∠ADB、∠ADC你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想。ABCD等腰三角形的两个底角有什么关系？

重合的角重合的线段AB、AC∠B、

∠C.命题：等腰三角形的两个底角相等

探索与证明ABC思考:该命题中的题设和结论分别是什么？题设:一个三角形是等腰三角形结论:它的两个底角相等思考：怎样用数学符号表示已知和求证？已知：在△ABC中，AB=AC求证：

∠B=∠C等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：如何证明两个角相等？

思考：如何构造两个全等的三角形？猜想ABCABCD过点A作BC的中线AD探究：已知AB=AC怎样证明∠B=∠C

？

探索与证明ABCD┌过点A作AD⊥BC于点DABCD作∠BAC的平分线AD.性质112ABC∴BD＝CDD在△ABD和△ACD中证明:过点A作BC的中线ADAB＝AC

BD＝CDAD＝AD

（公共边）

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS）

∴

∠B＝∠C

（全等三角形对应角相等）

等腰三角形的两个底角相等。(简写成“等边对等角”)ABCD猜想性质1∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为________

75°、30°70°、40°或55°、55°35°、35°小试牛刀ABDC重合的线段重合的角

AB、ACBD、CD

AD、AD∠B、

∠C.∠BAD、∠CAD∠ADB、∠ADC12AD是顶角的平分线AD是BC上的中线AD是BC上的高｝相互重合等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）猜想ABDC12性质2等腰三角形的性质性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.（1）∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线∴BD=CD，AD⊥BC（2）∵AB=AC，AD是BC上的中线∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（3）∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD，BD=CD如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，有下列四个结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④S△ABD＝S△ACD.其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个D当堂检测例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。2、有哪些相等的角？∠A+∠ABC+∠C=180°分析：1、图中有哪几个等腰三角形？△ABC△ABD△BCD∠ABC=∠C=∠23、这两组相等的角之间还有什么关系？∠2=∠A+∠1=2∠A∠A=∠1（外角等于不相邻的两个内角之和）（三角形内角和等于180°）ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒12例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。答：∠A=36°，∠ABC=∠C=72°解：∵AB=AC，BD=BC=AD∴∠ABC=∠C=∠2,∠A=∠1

（等边对等角)设∠A=x,则∠2=∠A+∠1=2x,∠ABC=∠C=∠2=2x,在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°在△ABC中,∠A=36°，∠ABC=∠C=2×36°=72°ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒12（1）已知：如图，房屋的屋顶∠BAC=120°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.ABDC┌当堂检测解：在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）∴∠B=∠C=(180°－∠A）=40°(三角形内角和定理)又∵AD⊥BC（已知）∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）∴∠BAD=∠CAD=50°ABDC┌已知：如图，房屋的顶∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.答：顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数分别为40°、40°、50°、50°.（2）如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(

)A．100°B．80°C．70°D．50°A当堂检测（3）已知：如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D求证：∠BAC=2∠DCB∵AB=AC∴∠1=∠2=∠BAC∴又∴∴∴即ABCD

证明：过点A作AE⊥BC于E，E213∠BAC=2∠3∵AE⊥BC∴当堂检测（4）如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠DBC的度数。练习30°(5)已知AB＝AC，AD＝AE，且点B，D，E，C在同一直线上，求证：BD＝EC.证明：作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BH＝CH，DH＝EH，∴BH－DH＝CH－EH，即BD＝ECH练习

（6）如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BDABCDEH证明：∵AB=AC,AD是高(已知)∴BC=2BD（三线合一）⌒1⌒2又∵BE是高（已知）∴∠ADC=∠BEC=∠AEH=90°（垂直的定义）在△AEH和△BEC中∴△AEH≌△BEC(ASA)∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°∴∠1=∠2（同角的余角相等）

︸∠AEH=∠BECAE=BE∠1=∠2

∴AH=BC（全等三角形的性质）∴AH=2BD（等量代换）练习（7）已知：如图，

△ABC中，AB=AC，F在AC上，在BA的延长线上截取AE=AF，求证：ED⊥BCABCDEF提示：证明∠EDB=∠EDC．练习（8）如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，如果点B到∠A的