北师大版选择性32213222空间向量的加减法空间向量的数乘运算课件（37张）

§2空间向量与向量运算2.1从平面向量到空间向量2.2空间向量的运算2.2.1空间向量的加减法2.2.2空间向量的数乘运算学习目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念,发展数学抽象素养.2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示以及它们的运算律,借助向量的线性运算的学习,提升数学运算素养.3.理解共线向量、共面向量的充要条件,能证明共线、共面问题,通过类比、猜想、证明,将平面向量拓展到空间范畴,发展直观想象素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究1.空间向量的有关概念(1)在空间中,把具有

和

的量叫作空间向量,向量的大小叫作向量的

或

.空间向量用有向线段表示,表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模,用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向.大小方向长度模(2)几类特殊的空间向量.名称定义及表示相等向量方向

且模

的向量称为相等向量自由向量数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称之为

.相反向量方向相反且模相等的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示零向量规定模为0的向量叫作

,记为0共线向量表示向量的两条有向线段所在的直线

时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).规定:零向量与任意向量

.共面向量平行于

的向量,叫作共面向量相同相等自由向量零向量平行或重合平行同一平面问题1:空间中的任意两个向量是否共面?为什么?提示:共面.任意两个向量都可以平移到同一个平面内,因此空间中向量的加减运算与平面中一致.2.空间向量的加减法加法运算三角形法则语言首尾顺次相接,首指向尾为和图形平行四边形法则语言共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点

为和图形对角线减法运算三角形法则语言共起点,连终点,方向指向

.图形加法运算律交换律a+b=b+a结合律(a+b)+c=a+(b+c)被减向量问题2:在平面向量中的数乘运算的方向和大小是如何定义的?提示:实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,其长度和方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向;当λ=0时,λa=0.3.空间向量的数乘运算定义与平面向量类似,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算几何意义λ>0向量λa与向量a方向

.λa的长度是a的长度的

倍λ<0向量λa与向量a方向

.λ=0λa=0,其方向是

的运算律结合律λ(μa)=(λμ)a分配律(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb,其中λ∈R,μ∈R相同相反任意|λ|4.共线向量的基本定理空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得

.通常把这个定理称为共线向量基本定理.a=λb师生互动·合作探究探究点一空间向量的有关概念解析:(1)A中,单位向量长度相等,方向不确定,故A错误;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定,故B错误;C中,向量不能比较大小,故C错误.故选D.方法总结空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.[针对训练](1)给出下列命题:①空间中所有的单位向量都相等;②方向相反的两个向量是相反向量;③若a,b满足|a|>|b|,且a,b同向,则a>b;④零向量的方向是任意的;⑤对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正确命题的序号为(

)A.①②③ B.⑤ C.④⑤ D.①⑤解析:(1)对于①,长度相等,方向也相同的向量才是相等向量,两个单位向量,方向不同时,不相等,故①错误;对于②,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,仅仅方向相反不是相反向量,故②错误;对于③,向量是既有大小又有方向的量,向量的长度(模)能够比较大小,但向量不能比较大小,故③错误;对于④,根据规定,零向量与任意向量都平行,故零向量是有方向的,只是没有确定的方向,为任意的,故④正确;对于⑤,|a+b|≤|a|+|b|为向量模的不等式,由向量加法的几何意义可知是正确的,故⑤正确.综上,正确命题的序号为④⑤.故选C.解析:(2)对于A,零向量的相反向量是本身,故A错误;对于B,终点构成一个球,故B错误;对于C,向量不能比较大小,故C错误;对于D,相反向量是不相等向量,但它们的模长相等,故D正确.故选ABC.探究点二空间向量的加减运算方法总结空间向量的加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.探究点三空间向量的数乘运算方法总结利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.当堂检测B解析:对于①,根据向量的定义知,长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,所以①正确;对于②,如两垂直的单位向量不相等,但模都等于1,所以②错误;对于③,根据向量的定义知,