矩形的性质与判定 省赛获奖

第一章特殊平行四边形第2节矩形的性质与判定（一）你能给矩形下定义吗？这些平行四边形的角都是直角.像这样的平行四边形叫做矩形.。下面图片中都含有一些特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么样的共同特征？与下图相比较,这些平行四边形特殊在哪里？矩形是生活中常见的图形,你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.是中心对称图形.

想一想边：矩形的对边平行且相等.角：矩形对角相等；邻角互补.对角线：矩形对角线互相平分.(1)矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？(2)矩形是轴对称图形吗？如果是,它有几条对称轴？DCBA矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,两条对称轴互相垂直.(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.通过观察,可以发现矩形的四个角都是直角,对角线相等.下面我们证明这些结论.已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=900,对角线AC与DB相交于点O.求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=900;(2)AC=DB.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=1800.又∵∠ABC=900,∴∠BCD=900.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=900.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.结论矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E,那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?BE是Rt△ABC中斜边AC上的中线.它与AC有什么大小关系?为什么？BE等于AC的一半.∵AC=BD,BE=DE,由此你能得到怎样的结论？定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.请你完成这个定理的证明.DBCAEABCED已知：如图,在Rt△ABC中,∠ABC=900,BE是AC边上的中线.证明：延长BE到点D,使DE=BE,连接AD,CD(如图).∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE.∵∠AED=∠CEB,∴△AED≌△CEB.∴AD=CB,∠ADE=∠CBE.∴AD∥CB.∴四边形ABCD是平行四边形.ABCED已知：如图,在Rt△ABC中,∠ABC=900,BE是AC边上的中线.∵∠ABC=900,∴四边形ABCD是矩形.例1如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=1200,AB=2.5cm,求这个矩形对角线的长.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=900(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等),(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD.∵∠AOD=1200,∴BD=2AB=2×2.5=5.你还有其他解法吗？由∠AOD=1200得∠AOB=600，进而可证OA=AB=OB,从而AC=2OA=2×2.5=5.1.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC与BD相交于点O,AB=6,OA=4.求BD与AD的长.随堂练习提示：∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OA=8,∠BAD=900.∴BD=AC=8.∴AD2=BD2-AB2.2.一个矩形的对角线长为6,对角线与一边的夹角为450，求这个矩形的各边长.提示：如图所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,BC=AD,∠BAD=900.∵AC=BD=6,∠ABD=450,∴△ABD是等腰直角三角形.∴AB=BC=CD=DA=3.一个矩形的两条对角线的一个夹角为600，对角线长为15,求这个矩形较短边的长.如图，∵四边形ABCD是矩形,AC=15,∴OA=OB=AC=×15=7.5.∵两条对角线的一个夹角∠AOB=600,∴△AOB是等边三角形.∴AB=OA=7.5.即这个矩形较短边的长为7.5.4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论.四边形ADCE是菱形.提示:∵AE∥CD,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形.∵∠ACB=900，D为AB的中点,∴CD=AD.∴四边形ADCE是菱形.5.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.已知：如图,CD平分AB,且CD=AD=BD.求证：△ABC是直角三角形.证法不唯一,如:∵AD=CD,∴∠A=∠1.同理∠2=∠B.∵∠2+∠B+∠A+∠1=1800,即2（∠1+∠2）=1800.∴∠1+∠2=900.即：∠ACB=900.∴△ABC是直角三角形.巩固练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角相等

B.对边相等C.对角线相等

D.对角线互相平分C2.已知△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.61053.下列说法错误的是（

）A.矩形的对角线互相平分.

B.矩形的对角线相等.C.有一个角是直角的四边形是矩形.

D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.C4.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为1200,则矩形的长和宽分别为________.5.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处,目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？OABCD公平,因为OA=OC=OB=OD.6.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是400,则两条对角线所成的锐角的度数是（）A.100°B.90°C.80°D.800或10007.矩形的一边长为6,各边中点围成的四边形的周长是20,则矩形的对角线长为______,面积为_____.8.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分9.下面性质中,矩形不一定具有的是（）A.对角线相等B.四个角相等C.是轴对称图形D.对角线互相垂直D1048AD10.如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB=3cm，BC=4cm,则AC=

cm,BO=

cm,矩形的周长为

cm,矩形的面积为

cm252.5141211.如图,矩形ABCD中,O是对角线的交点,若AE⊥BD于E,且OE∶OD=1∶2,AE=cm,则∠AOD=______,

DE=________cm.1200312.如图,将矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的F点处.(1)若∠BAF=600,求∠EAF的度数；(2)若AB=6cm,AD=10cm,求线段CE的长及△AEF的面积.(1)150;13.如图,矩形纸片ABCD中,现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF.(1)连结CF,四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？(2)若AB=4cm,AD=8cm,你能求出线段BE及折痕EF的长吗？提示:(1)四边形AECF是菱形.理由：连接CF(如图).由题意,得AE=EC,AF=CF,∠AEF=∠CEF.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠AFE=∠CEF.13.如图,矩形纸片ABCD中,现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF.(1)连结CF,四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？(2)若AB=4cm,AD=8cm,你能求出线段BE及折痕EF的长吗？∴∠AFE=∠AEF.∴AE=AF.∴AE=CE=CF=AF.∴四边形AECF是菱形；13.如图,矩形纸片ABCD中,现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF.(1)连结CF,四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？(2)若AB=4cm,AD=8cm,你能求出线段BE及折痕EF的长吗？(2)设BE=x,则AE=CE=8-x,故在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2.即42+x2=(8-x)2.解得：x=3.即BE=3cm.13.如图,矩形纸片ABCD中,现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF.(1)连结CF,四边形AECF是什么特殊的四边形？为什么？(2)若AB=4cm,AD=8cm,你能求出线段BE及折痕EF的长吗？过点F作FN⊥BC于点N,则FN=AB=4cm.∵AF=AE=5cm,∴EN=BN-BE=5cm-3cm=2cm.∴在Rt△FEN中，EF=14.在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别落在x轴,y轴上,且OA=4,0C=3.(1)求对角线OB所在直线的解析式；OCABxy14.在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别落在x轴,y轴上,且OA=4,0C=3.OCABxy(2)如图,将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN,ON与AB交于点M.①判断△OBM是什么三角形,并说明理由；提示::①∵∠AOB=∠OBC,∠AOB=∠BON.∴∠OBM=∠BOM.故△OBM是等腰三角形.14.在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别落在x轴,y轴上,且OA=4,0C=3.OCABxy(2)如图,将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN,ON与AB交于点M.②试求直线MN的解析式.②设CM=x,则OM=BM=4-x,可求得CM=14.如图,P是矩形ABCD内一点,PA=3,PD=4,PC=5,则PB=________.提示:过P作AB的平行线分别交DA,BC于E,F,过P作BC的平行线分别交AB,CD于G,H.设AG=DH=a,BG=CH=b,AE=BF=c,DE=CF=d.则AP2=a2+c2,CP2=b2+d2,BP2