非高斯随机振动数值模拟技术综述

非高斯随机振动数值模拟技术综述

施工期间，结构通常伴随着地震、风、波浪等环境压力的振动激励。根据中心极限定理,一般把随机振动近似成高斯分布。但是,在实际应用中发现有些振动载荷呈现明显的非高斯特征,此时评估结构在这种非高斯振动载荷下的安全性和可靠性就必须考虑非高斯激励对系统响应的影响。在一系列非高斯结构响应分析方法中,由于计算效率的提高,仿真方法得到越来越广泛的应用。采用仿真方法需要模拟具有指定统计特性和频谱特性的载荷时间历程。当系统激励明显偏离高斯分布时,必须精确模拟振动的非高斯特征。因为系统的极值响应对载荷的高峰值激励特别敏感,而响应偏离高斯分布的程度将严重影响系统振动疲劳损伤累积快慢。现有各种模拟非高斯随机振动的方法大致可分为两类:ARMA法和FFT法。ARMA法基于线性差分方程,计算简便,但不能显示出在不规则区间上具有极大幅值脉冲信号的特征,因此不完全适合于模拟非高斯随机时间系列。Yamazaki和Shinozuka通过FFT或ARMA模型生成高斯时间系列,采用非线性静态变换(Non-linearStaticTransform)的方法映射到非高斯样本函数,生成多维非高斯随机均匀场。Gurley等也提出一些模拟非高斯随机过程的方法,如静态转换(StaticTransform)法、记忆性转换(TransformwithMemory)法等,随后进一步改进为谱校正(SpectraCorrection)模拟方法。借助该类模拟方法生成单变量、多变量非高斯随机过程,用来描述作用于建筑物顶的风速/压时程,与实测结果吻合较好。Kumar和Stathopolous采用基于FFT方法模拟了单变量非高斯风压时程,用于大跨低矮屋盖风振分析。Phoon和Huang提出采用Karhunen-Loeve多项式扩展来模拟强非高斯过程。国内开展非高斯随机过程的模拟研究相对较晚。蒋瑜提出基于二次相位调制和时域随机化的超高斯随机振动模拟方法。李锦华和李春祥基于Johnson转换系统和数字滤波理论,提出一种能够快速而有效的生成指定偏度、峰度和功率谱非高斯脉动风压的方法。现有各种非高斯随机模拟方法一般只能模拟具有高峰值特征的随机振动,即超高斯随机振动,并且算法复杂不够直观,需要进行多次反复迭代,模拟精度和效率都有待提高。本文提出了一种新的基于幅值调制和相位重构的非高斯随机振动数值模拟方法,算法简洁直观,并充分利用快速傅里叶变换算法提高模拟效率,可模拟具有指定统计特性和频谱特性的超高斯和亚高斯随机振动,具有广泛的适应性。1随机过程的功率谱密度一种常用的三角级数合成法模型采用确定性幅值和随机相位的叠加来模拟高斯随机过程,例如一个零均值的平稳高斯随机过程可以由下式逼近:这里Ak由下式根据目标功率谱密度得到:式中:fu是功率谱的频率上限,φk为在[0,2π)中均匀分布的随机相位角。为提高三角级数合成法模拟随机过程的速度,Shinozuka等人将FFT引入合成模型,式(1)可写成:这里Re{·}取实部,M是采样点数,时间间隔Δt根据采样频率fs得到:根据采样定理,fs必须满足:显然:这样M和N必须满足M≥2N。将式(4),式(6)和式(8)代入式(5)得:这里:注意M一般选为2的整数次幂以便应用快速傅里叶变换。当N>100时,由式(1)或式(5)得到的x(t)将接近高斯分布。由于高斯随机过程二阶以上的高阶统计量恒为零,所以仅用功率谱密度或自相关函数就能完整表征。而对非高斯随机过程,在工程中还通常要采用偏斜度S和峭度K这两个参数来描述,定义如下:高斯随机过程X的偏斜度和峭度值都等于零,而非高斯随机过程的偏斜度和峭度值则至少有一个不为零。偏斜度用来描述随机过程幅值概率密度曲线偏离对称分布的程度,偏斜度不等于零表示服从非对称分布。峭度是描述随机过程幅值概率密度曲线拖尾分布特征的参数,它不仅可以用来区分高斯和非高斯随机过程,而且还可进一步将非高斯随机过程区分为亚高斯和超高斯随机过程,其中亚高斯随机过程的K<0,超高斯随机过程的K>0。根据傅里叶幅值Ak的表达式可以看出,对相位Φk的任何调整都不会影响生成随机过程的功率谱密度。因此,在保证不改变幅值Ak(从而保证功率谱密度的精确模拟)的前提下,可以通过改变相位Φk来控制生成随机过程的偏斜度和峭度值,下面对此进行具体分析。2对幅值分布的非高斯随机信号的幅值调制如何根据所要模拟的随机过程的非高斯特性(如偏斜度、峭度值)对式(10)中参与IFFT变换的相位Φk进行重构,是成功模拟非高斯随机过程的关键。目前已有的一些相位重构方法比较复杂,不够直观,需要进行多次反复迭代,模拟精度和效率较低。由于非高斯随机过程与高斯随机过程的显著差异在于其幅值概率密度分布曲线,因此可以考虑直观地通过对高斯过程的幅值分布进行调制,使其幅值概率密度曲线逼近所需的非高斯特性,再借助傅里叶变换提取相位,得到与目标偏斜度、峭度值相匹配的重构相位。整个算法流程如图1所示,共分为九个步骤。其中第六步对高斯随机过程的样本x[n]进行幅值调制以得到重构的相位是其中的关键,其具体实现过程如下。设x[n]为采用传统模拟方法得到的高斯随机过程的一个样本,则对x[n]采用式(12)、式(13)的幅值调制公式实现幅值分布从高斯到非高斯的调制。其中,式(12)是针对超高斯信号的幅值调制公式,式(13)是针对亚高斯信号的幅值调制公式。其中:p=-α×σ。q=β×σ。σ为高斯随机信号x的均方根值。与绝大部分幅值(99.74%)都分布在正负三倍均方根值之内的高斯随机信号相比,超高斯随机信号的幅值在正负三倍均方根值之外有更多的分布,概率密度曲线的拖尾比高斯的更宽;而亚高斯随机信号的幅值在正负三倍均方根值之内则有更多的分布,概率密度曲线的拖尾比高斯的更窄。因此,一般选取1≤α,β≤3即可。从式(12)可以看出,对峭度值较大的超高斯信号来说,α,β的取值应尽量接近3,这样可供调节的幅值数目较多,有利于增加幅值调制后信号的峭度值;类似从式(13)也可以看出,对峭度值小于零的亚高斯信号来说,α,β的取值则应尽量接近1,这样可供调节的幅值数目较多,有利于降低幅值调制后信号的峭度值。另一方面,α,β取值的相同与否决定了调整后幅值分布的对称与否,从而起到控制偏斜度值的作用。如果α>β,则幅值分布向负半轴偏移,偏斜度为负值;如果α<β,则幅值分布向正半轴偏移,偏斜度为正值;如果α=β,则生成的是对称分布的非高斯随机信号。具体调制过程中,可根据式(12)、式(13)对原离散高斯信号的幅值逐一进行调制,每次进行调制后计算调制信号的偏斜度、峭度值并与目标值进行比较,这样通过逐步迭代达到目标值。由于这种采用幅值调制来逼近非高斯参数的方法比其他采用相位调制间接逼近的方法更直接,所以能很快逼近目标值,效率和精度都有较大提高。3算法有效性验证选取图2所示功率谱密度曲线为所要模拟各种随机振动信号的目标谱GT(f),该频谱为20～2000Hz上的宽带平直谱,功率谱密度量级为0.02g2/Hz,加速度总均方根值σ约为6.29g。由于fu=2000Hz,根据采样定理确定fs=5120Hz,M=4096,Δf=1.25Hz,以下模拟过程均采用上述参数。首先模拟目标谱为GT(f)、目标峭度值KT为3.8的对称超高斯随机振动信号(即目标偏斜度值ST为0)。需要说明的是,这里所说的目标峭度值3.8为式(11)中所定义的归零化峭度值,相当于其他文献中定义的非归零化峭度值6.8,以下不再单独说明。图3根据图1所示模拟算法流程中第五步得到的高斯信号,其幅值概率密度分布曲线如图4中蓝色短划线所示,显然与图4中红色实线所示标准正态分布曲线很接近。图5是对高斯信号按照式(12)进行幅值调制后得到的调制信号,其幅值概率密度分布曲线如图4中绿色点线所示,显然已经具有超高斯分布,但由于幅值调制的缘故其功率谱密度已经偏离目标谱。图6是对调制信号进行傅里叶变换后重构的超高斯相位,作为下一步进行傅里叶逆变换所需的相位。图7是利用重构相位进行傅里叶逆变换后得到的最终模拟的超高斯信号,其概率密度分布曲线如图4中黄色点划线所示,其峭度值为3.7850,接近目标值3.8;其偏斜度值为-0.0398,接近对称分布;同时由于式(2)的关系,其功率谱密度严格等于目标谱GT(f),均方根值也等于6.29g。为充分验证算法的有效性,再次模拟目标谱为GT(f),目标峭度值KT为-0.6,目标偏斜度值为0.35的非对称亚高斯随机振动信号,结果如图8～图11所示。图9是对高斯信号按照式(13)进行幅值调制后得到的调制信号,其幅值概率密度分布曲线如图8中绿色点线所示,显然已经具有非对称亚高斯分布。图10是对调制信号进行傅里叶变换后重构的亚高斯相位。图11是利用重构相位进行傅里叶逆变换后得到的非对称亚高斯信号,其概率密度分布曲线如图8中黄色点划线所示,其峭度值为-0.6054,接近目标值-0.6;其偏斜度值为