函数导数中的多元变量问题 论文

PAGEPAGE1用导数方法解决高考函数中的多元变量问题摘要：随着新课改的不断推进，数学高考题在不断变化，多元问题题型日益增多，为了“新课标”下高中数学核心素养培养的基本目标。关键词：多元变量 极值点 导数转化构造 函数求最值正文：在高考中考查导数的应用时往往会涉及到多元变量的转化，命题者热衷于研究函数两个极值点之间的关系。本人在教学中也遇到类似问题，现在分享给读者,学生们望而却步的多元变量问题。在全国1年至2018年此类问题出现过两次，分别是2016年和2018年，题目及解答如下：2018年第21题（满分12分）已知函数f(x)=1-xlnx（a为常数）.x（I）讨论f(x)的单调性；（II）若f(x)存在两个极值点,x2，证明：

f(x1)-

f(x2)

-2.-x21

a x2-ax【解析】（I）函数f(x)的定义域为(0,)，f'(x)-1+.x2 x x2a£2f'(x)£0ax时f'(x)f(x)在(0,)上单调递减.a- a2-4（2）若a，令f'(xa- a2-42

或x= .aa+a2-4当xÎ)U( ,)时，f'(x)；a- a- a2-4a+a2-4当xÎ

( , )时，f'(x).a- a- a2-4a+a2-4a- a2-4a+a2-4aa- a2-4a+a2-4a- a2-4a+a2-42 2 2 2调递增.f(x)存在两个极值点当且仅当af(x)的两个极值点,x2满足f'(x)，即满足x2-ax，所以xx，不妨设x

<x，则x12 1 2 2由于f(x1)-

f(x) 1 lnx-lnx -2lnx2- 1 2 2-12- 1 2 2-x2 x2 -x2

1 -x2所以f(x1)-

-f(x2)-2等价于1x-

lnx

x22 22 2x-x2 2x设函数g(x)=1-xlnx，由（I）知，g(x)在(0,)上单调递减.，又，从而当xxÎ(0,)时，g(x).所以

1 -x2lnx2，即

f(x1)-

f(x2)-2.-a考生注意。核心素养：数学运算、逻辑推理。2016年第21题（满分12分）略·各地模拟题层出不穷，如下：1.已知函数f(x)x

1x2-ax（a为常数）.+2+（I）讨论f(x)的单调性；（II）若f(x)存在两个极值点,x2，若lÎ[-2,2]时，恒有不等式f(x)+f(x)<(-t2t

3)(x)成立，求参数t的取值范围.+1 2 2 1 2++【解析】（I）函数f(x)的定义域为(0,)，f'(x)=x+

1-a,又xx

1³2.+x+a£2f'(x)³0ax时f'(x)f(x)在(0,)上单调递增.a- a2-4（2）若a，令f'(xa- a2-42

或x= .aa+a2-4当xÎ)U( ,)时，f'(x)；a- a- a2-4a+a2-4当xÎ

( , )时，f'(x).a- a- a2-4a+a2-4a- a2-4a+a2-4aa- a2-4a+a2-4a- a2-4a+a2-42 2 2 2调递减.f(x)存在两个极值点当且仅当af(x)的两个极值点,x2满足f'(x)，即满足x2-ax，所以xx且x.+12 1 2+不等式f(x)+f(x)<(-t2t

3)(x)恒成立等价于f(x1)+f(x2)t2t

3恒成立，+1 2 2 1 2+2lnx

1x2-axx

1x2-axf(x)+f(x)

1+ 1 1 2+ 2 2

x22 1 a因为 1 2=

2 2

=1 22(x1)

-a-a

，而当a时，2g(a)1-a为减函数，g(a)<g(2)3，所以-t2t

3³-3，即t2-lt-3£0恒成立，+a 2 2 2 2+íh(2)£0又lÎ[-2,2]，设一次函数h(l)=t2-lt-3，要使t2-lt-3£0恒成立，只需ìh(-íh(2)£0ît2t-3£0ít2-2t-3£0

，解得-1£t£1，所以参数t的取值范围是[-.点评:本题与上题有异曲同工之妙，同样运用化归与转化思想，构造函数，运用函数求恒成立问题。考查学生学生分析问题解和决问题的能力。一个证明，一个求解参数范围问题。核心素养：数学计算、逻辑推理、数学抽象。x2.已知函数f(x)=ex

(3-x).x（I）讨论f(x)的单调性；+（II）若函数g(x)=f(x)a（x，a为常数）存在两个极值点.+x（1）求实数a的取值范围；（2）若函数g(x)的极大值小于整数m，求m的最小值.【解析】（I）函数f(x)的定义域为(-¥,0)U(0,)，x 2)由f(x)=e(3-x)=ex(3-得f'(x)(3-(-3x-3x.)x x x x2 x2因为x2-3x，所以f'(x)，从而f(x)在(-¥,0)和(0,)上单调递减.x2-3x

a -(x2-3x-a（II）（1）因为g'(x)- =

，函数（x，a为常数）x2 x2 x2+g(x)=f(x)a存在两个极值点，所以g'(x)有两个根.+x设h(x)(x2-3x，由h'(x)x(x-1)ex得当0<xh'(x)，h(x)为增函数；当x时，h'(x)，h(x)为减函数.

h(0)e,x时，x®h(x)®-¥.由g'(x)有两个根得h(x)有两个根，得-3e.g'(x)有两个根,x2Îh(3)<x<32 2 2

.又g'(x2)，2 2得a(x2-2 2

)e，所以函数g(x)的极大值g(x)=3-2e+a

=-(x2

-2)e.22设j(x)(x-2)ex，由j

'(x)(x-1)ex得当xÎ时，j

'(x)，j(x)为增函数；当xÎ)时，j

'(x)，j(x)为减函数.所以j(x)£j，即g(x2)£e，因为函数g(x)的极大值小于整数m，所以m³3，即m的最小值是3.点评：本题总体难度不是很大，主要考查题干中的转化思想，构造函数，运用函数求最值。特别提醒学生要注意极值点的范围。123.已知函数f(x)=ax2-2xx两个不同的极值点x,12（I）求实数a的取值范围；（II）若不等式l>f(x1)+f(x2)恒成立,求实数l

的取值范围.+ 2【解析】（I）函数f(x)的定义域为(0,)，f'(x)=2ax-+ 2

1,由函数f(x)x

2xx1 12 2两个不同的极值点,x2得f'(x)有两根，即2ax-2+有两根，也即2a()+有x x x两根.令t=1，则2at2(t，当0<2a即0<1时，2at2(t有两根，x 2所以求实数a的取值范围是(0,1).212（II）由（I）知由函数f(x)=ax2-2xx两个不同的极值点x,x是f'(x)12即为2ax-2

1的两根，从而x,x是2ax2-2x（0<1）的两根，+ 12x 21 1 2 2因此有=a

,x2=2a

.所以f(x1)+f(x2)

2x1

2x2x2=a(x)2-2axx

+ln(xx)-2(x)1a-1-ln2.1 2 12 12 1 2 a设g(a)1a-1-ln2

(0<1），g'(a)=1 1,所以g(a)在(0,1)+a 2 a2 a 2+而g(a)<g(1)3.不等式l>f(x)+f(x)恒成立得l>g(a)l³-3l2 1 2的取值范围[-).决问题中数学核心素养的培养。4.已知

f(x)=xlnx(a对于区间内的任意两个相异实数x2恒有|f(x1)-

f(x2)

1-1

|，求a的取值范围.【解析】f

x2a=x恒成立，函数f(x)单调递增.不妨设1£x<x

£3，则可得++x x 1 2+f(x2)-

f(x)<1-1

，即f(x)+1<f(x)+1

，所以已知条件等价于函数h(x)=f(x)1在11x2 1x2-2 1上单调递减.于是，= £0x2-1£0上恒成x1-x2 8立，则a£[ ]min=- .x 3点评：本题利用单调性的定义构造新的函数，再使用导数法判断单调性。5.已知函数f(x)x,g(x)=1x2，若x>xm（mÎ

Z,m£1）取何值2 1 2时，总有m[g()-g(x2)]f()-x2f(x2)恒成立.【解析】将不等式m[g(x)-g(x)]>xf(x)-xf(x)转化为mg(x)-xf(x)1 2 1 1 2 2

1 1 1m2>mg(x2)-x2f(x2)F(x)=mg(x)-xf(x)=2x

xlnx,x1 2题设x>xxF(x)F'(x)-lnx-1³1 2恒成立，得

m³lnxx

恒成立，从而

m³(lnx.x max设h(x)=

lnxx

(x.求导得

h'(x)=

-lnxx2

，令h'(x)³0，解得0<x£1，令h'(x)，解得x>1.所以函数h(x)的在(0,1]上单调递增，在)上单调递减.于是 h(x)maxm³1.因为mÎ

Z,m£1,所以m.点评：把不等式m[g()-g(x2)]f()-x2f(x2)变形为mg()-f()>mg(x2)-

x2f(x2)，使得仅出现在不等式左边，而x2仅出现在不等转化为函数模型去解决问题.6.己知函数f(x)x+x2，正实数x,x

满足f(x)+f(x

)x，证明:

³5-12

1 2 1 2 12证 明 ： 因 为

f(x)x+x2， 由 f(x)+f(x)x， 得1 2 1 2 12lnx2x2

(x1)1x2-ln(x1x2)t-1令tx2，则g(t)-lnt，又由g'(t)=t t

可知，g(t)在上递减，在)上递增．所以g(t)³，即(x)2

³1，又，解得x

³5-1，故得证.

1 2 1 2

1 2 21 212x,xx,1 212x2变量.x7.由2通过换元构造函数已知函数f(x)lnx,x2，试证：

x2f(x2)f(x1)x22【解析】即证

x2

x2变形可得ln(x2)2(x2)

2(x2，令lnx2ln2x2

1x2x2t(t，等价于lnt>2(t-.2t2=设函数g(t)t-2(t-，由g'(t)=

1-4 =(t-得g(t)在)上为增函数.又t

t (t

t(t，所以g(t)，即lnt-2(t-，从而t

x2lnx2ln

x2成立.2x2点评：把看为一个整体，换元构造函数，注意换元时元的范围变化。128.已知函数f(x)=x3-3x2,若x,x为函数g(x)=f(x)-12

的两个极值点，其中<x2，（I）求l

的取值范围；（II）若l，试证：f(x1)<f(x2).g(x)=f(x)-lxg'(x)=f'(x)-l有两个实数3x2-6x-l有两个不同的实数根.从而D=36-12(2-l)l1以l的取值范围是(-).,x2为函数g(x)=f(x)-lx,x2是f'(x)-l两个不同的实数根，即3x2-6x-l.从而D=36-12(2-l)xxx

=2-l.1 2 12 3所以 3 2 3 2

3 3 2 2f(x1)-

f(x2)

--(x2

-3x2

+2x2)

-x2)-3(x1

-x2)-x2)=(x-x)[(x2x2)-3(x)=l-2(x-x)1 2 1 12 2 1 2l