第二型曲线积分与复变函数积分 论文

第二型曲线积分与复变函数积分摘要：第二型曲线积分是多元函数积分学的重要组成部分，复变函数积分（又称复积分）是复变函数理论的基本组成部分，也是研究复变函数理论及其应用的最重要工具之一，它是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多性质要利用复积分来证明。复变函数积分与第二型曲线积分，柯西基本定理与格林公式有着本质的内在联系。本文主要阐述第二型曲线积分和复变函数的内在联系，全微分方程、积分与路径无关、调和函数的相通性等。关键词：第二型曲线积分；复变函数积分；格林公式；柯西基本定理TheSecondTypeCurvilinearIntegralandComplexFunctionIntegralAbstract:Thesecondtypecurvilinearintegralinanimportantconstituentpartofmultivariatefunctionintegralcalculus,Complexfunctionintegral(alsocalledcomplexintegral)isanessentialpartofthecomplexfunctiontheory,andisoneofthemostimportanttooloftheresearchaboutthecomplexfunctiontheoryandtheapplications.Itisanimportanttoolintheresearchofanalyticfunction,manypropertiesofanalyticfunctionwasprovedbyusingthecomplexintegral.Thereareessentialinnerlinksbetweencomplexfunctionintegralandthesecondtypecurvilinearintegral,CauchyfundamentaltheoremandGreen'stheorem.Inthispaper,we mainlyexpoundtheinternalrelationsbetweenthesecondtypecurvilinearintegralandthecomplexfunction,andargumentthephaseconnectivitybetweentotaldifferentialequation,integralhavingnothingtodowiththepath,harmonicfunctions..Keywords:Thesecondtypecurvilinearintegral;Complexfunctionintegral;Green'stheorem;Cauchyfundamentaltheorem1引 言第二型曲线积分是多元函数积分学的重要组成部分，复变函数积分（又称复积分）又是复变函数理论的基本组成部分，也是研究复变函数理论及其应用的最重要工具之一，它是研究解析函数的一个重要工具，解析函数的许多性质要利用复积分来证明。复变函数积分与第二型曲线积分，Cauchy基本定理与Green公式有着本质的内在联系。在区域内，复变函数积分与路径无关与实函数的第二型曲线积分与路径无关的含义类似，也等价于沿区域内任意闭曲线的积分为零。复变函数积分的值是否与路径无关，一、与被积函数的解析性有关；二、与使被积函数解析的区域是否单连通有关。特别的，实函数第二型曲线积分和复变函数积分与路径无关、全微分方程以及调和函数的相通性更是值得研究的话题。2第二型曲线积分2.1第二型曲线积分的概念® r r第二型曲线积分的研究是有它的物理背景的：假设一质点受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用沿平面曲线L运动,求当质点从L的一端点A移动到另一端点B时,力F(x,y)所做的功W.(这里假设p(x,y),Q(x,y)在L定义1设平面上有光滑有向曲线C(B)二元函数f(x,y)在曲线CC依次分成n个有向小弧[1]：A,A

,,…,A A

,其中A

=A,A。.01 12

n-1n 0 n设第k个小弧A A的弦A A

在x轴与y轴上投影区间的长分别是

与

，在第k个小弧k-1

k

k-1k k kA A

上任取一点E,h

)作和k-1k

k k knå,hk)k

n，,k)yk， （2.1.1）k分别称为二元函数f(x,y)在曲线C(B)关于x与yl

T)x1,2,L

,（k是第k个小弧A Al)®0f(x,y)在曲线C(B)关于x（或k-1ky）的积分和（2.1.1）存在极限Jx（或Jy

nåfk,kkJx（或

nåfk,kkJy，l(Ik

l(Ik称Jx（或Jy）是f(x,y)dx（或f(x,y)dy）在曲线C(B)的第二型曲线积分，表为òC(A,B)

f(x,y)dx（或

òC(A,B)

f(x,y)dy）因此可得到，质点在平面力场F=(P(x,y),Q(x,y))的作用下，沿光滑有向曲线C由点A到点B，力场F所做的功W是P(x,y)dx与Q(x,y)dy在曲线C(B)上的第二型曲线积分之和，即W=lim

nå,hk+lim,hkl(I)®0k=òP(x,y)dx+

l(T)®0òQ(x,y)dyC(A,B)

C(A,B)通常上式简写为

W=òP(x,y+

òQ(x,y)dy

（2.1.2）C(A,B)

C(A,B)若L为封闭有向曲线，则记为或

PdxL AB由弧长微分知，dx与dy分别是弧长微分ds在x轴与y轴上的投影。弧长微分ds的方向就是曲线C(B)的方向，则弧长向量微元ds=(dx,dy)。于是，功W可写成向量形式的积分W=òF(x,y)C(A,B)

（2.1.3）类似的，可以定义三元函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线G对坐标的曲线积分，即òP(x,y,z)dx=lim

nå,hkG l(T)®0kkòQ(x,y,z)dx=lim

nå,hG l(T)®0kkòR(x,y,z)dx=lim

nå,hG l(T)®0kkòP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz，其中G是光滑空间有向曲线，三元òG函数P,Q,R在G上连续。2.2第二型曲线积分的性质下面列举第二型曲线积分的性质[2](1)（方向性）对同一曲线，当方向由A到B改为由B到A时，每一小曲线段的方向都改变。即òC(A,B)

f(x,y)dy

òC(B,A)

f(x,y)dy

因为k与yk分别是第k-1和第k个有向的小弧A A

的弦长为A A

在x轴与y轴上的投k-1k

k-1k影，当改变曲线C的方向时，与要改变符号，所以第二型曲线积分也要改变符号。(2)（线性性质）若Lidxidyi,,L

k k,k)存在，i为常数，则L(åii)dx(åii)dy也存在，且k k kL(åii)dx(åii)dyåi(Lidxidy).(3)（可加性）若有向曲线L是由有向曲线,,L

,k首尾连接而成，且Ldxdy存在，则iLdxdyi,,Li

,k)也存在，且kòPdxòPdx.iL Li(4)（积分不等式）设maxMÎL

A(M),曲线L的长度为L，则rLAMdr

£K.2.3第二型曲线积分的计算第二型曲线积分可以转换为定积分来计算x=x)定理1 设平面曲线C:í

,tÎ,xy)在,b]上具有一阶连续导数，且点y=y)A与B的坐标分别为(xy(xy)).又则P(x,yQ(x,y)在C(A,沿C从A到B的第二型曲线积分bòP(x,y(x,y)dy(xy(xybC aC由方程y=yC的起点A对应xB对应x，当x由a连续地变到b时，对应点M(x,y)描出由点A到点B的曲线C，则bòP(x,y(x,y)dy(x,y(x,y.bC a若C为封闭的有向曲线则记为Ldxdy对于计算可在有向曲线C上任意选取一点作为起点，沿有向曲线C所指定的方向前进，最后回到这一点。由此，对于第二型曲线积分的直接计算方法，可采用三个步骤：1、代：将L的参数方程代入被积函数；2、换：dx)dt，dy)dt；3、定限：下限——起点参数值，上限——终点参数值。下面我们通过几个例题来说明这种方法的应用ò例1计算xydx，其中L为抛物线y2=x从点òyByB1y xOyx,1-1)到B解若取x为参数，则L：，：y：y=

，x:1®0，xx，x:0®1x0 1\ dx1dx0dxL01x(-

1x)dx+0xxdx13220x2

dx=4，yyx2yx2若取y为参数，则L:x=y2,y:-1®1.所以òxydx=

2 2 2yy(yyL -1

1 4 4ydy=-1 5ò例2 计算 2xydx+x2dy，其中L为òL（1） 抛物线y=x2上从O0)到的一段弧；（2） 抛物线x=y2上从O0)到的一段弧；（3） 有向折线OAB，这里O,B依次是0),0),解（1）若取x为参数L:y=x2,x从0变到1，2 2 2原式0(2xxx2x)dx3 3 302x2xdx31304xdx=41x3dx0B(B(1,1)（2）若取y为参数L:x=y2；y从0变到1；1ò2xydx+x2dy=(2y2y+y4)dyL 0=14y4+y4dy0

B(1,1)414=50ydyò ò（3）原式= 2xydx+x2dy+ 2xydx+xò ò在OA上，y，x从0变到1.1ò2xydx+x2dy=(2x+x2

A 0在AB上，x，y从0到1，2 1ò2xydxdyy=10由此知：虽然路径不同，但积分值相同。例3计算曲线积分Cdy-

ydx，其中积分路径如图所示，x2 y2（1）在椭圆 +A(a,0)经第一、二、三象限到点B-b)；a2（2）在直线y=ba

b2x-b上，从点A(a,0)到点B-b)x2 y2解（1）椭圆 +

=1的参数方程为：a2 b2ìxcostíîysint

，且起点A®t，终点B®t= ，2所以Ldy-

dx2aostbost-bsint-asintdt02p0=3abdt0= ab3 y(2)线段AB的方程为：y=bx-b，起点A®a，a终点B®x，dy=bdxa xxdy-

0ydx=

xb-

bxdx

o A(a,0)æ öò aça a ÷è ø0adxab

B(0,b)ò例4计算 ydx（其中积分路径L为x2+y2=2x(y>0)由起点00)到终点òLB,0)的积分值[3]。2æ 2

1-x ö解 方法1

IL

dxdy0çè

2x-x× 2x-x2ø2æ2

1-(x--ò

ö22x0ç 022x

1-1-x2÷è ø利用定积分第二类换元法作变量代换：x-1=sinq，则dx=cosqdqpp ppI

p2osqosdq-p

21sinqosqdq-2-p

-2cosq方法2

pIòdxdyostost1sint-sintdtL -p2p=os2t-sin2-sintdt-p23复变函数积分3.1复变函数积分的概念定义2设L是复平面上可求长有向简单连续曲线，始点为abw=f(z)在L上有定义[4]，在L上引进分点系：a=z0,,L

,zk-1,zk,L

,zn记lxz的弧，任取z

Îz

，若极限£n

k-1k

k k-1knlimål®0k

f(zk存在且与L的分割方式及zk的取法无关，则称之为f(z)沿L的积分，记为nòf(z)dzå

f(zk

（3.1.1）L l®0k其中，f(z)称为被积函数，L设z=x+yi,zk=xk+yki,zki

，f(z)(x,y(x,y，则（3.1.1）可改写为nòf(zdzimåuk,k)ivk,kkiyk)L l®0knåë

k,k k k,

k kû0=m h0

-v(xh

)Dyùl®knå)Dykl®0k右边的两个极限都是第二型曲线积分，所以记L Lòf(z)dz(x,y(x,yL L=Lu(x,y)dx-v(x,y)dxiLv(x,y)u(x,ydy. （3.1.2）u,v连续时两个第二型积分存在，因此当f(z)连续时，复积分（3.1.1）存在。若曲线L的参数方程为z=z)=xt:a®b,则fyy因为b(x,y)dx-v(x,y)dy=ò(xy)-v(xybL ab(x,y)dx(x,y)dy=ò(xy(xybL a所以由（3.1.2）bòf(z=ò(xy(xybL ab=afztzt)dt.b由此可见复积分与第二型曲线积分的计算方法也是一致的，都是采用参数法。3.2复变函数积分的性质(1)(线性性质)设a，b为常数f(z)和g(z)在L可积，则Laf(z)bg(zdzaLf)dzbLg)dz;(2)（方向性）

-

f(zdz-L

f(z)dz，其中是L取反方向；(3)（可加性）设L由和组成，即LU，且I)，则Lf)dzòf)dzòf)dz;(4)（积分不等式）设

f(z)£Î

L)，L的长度记为L，则Lf)dz£L

f(z)ds£ML.3.3复变函数积分的计算例1计算积分

L

1 dz,其中L是以z0(z-z)n 00

为中心，r为半径的正向圆周，n为整数.解 曲线L的方程可以写为qz=z0q

,q:0®2p,故 dz =2p

ndq=in

2pe-i(n-d2p0L(z-zn0

0req

rn-10ié2p

2p ù=rn-1

0

osn-qdq-i0.

sin-.û当n¹1时，2p

1 2p0osn-qdq=

n-1

sin-0，2p 1 2p0sinn-qdq-故dz

n-1

cos(n-0，0C(z-zn00¹1).当n时，cos(n-，sin-.这时，10Lz-z)n0

2pdzi0dqpi.L

1 ì2pi,nndz

（3.3.1）(z-z0)

î0,n¹1.例2设是从原点到点z0的直线段，zx:0®是从原点到=1的直线段，3是从11到z01i的直线段，计算积分Ldz（1）L1;(2)

L.解（1）z=x,x:0®的方程为

zx:0®故1 1òzdz=2òxdx1 10 0（2）C2的方程为y，即z=x,x:0®C3的方程为zy:0®11 1dzC

dzC

dz0dx01-iyidy)L 2 3=1+1ydy1dy2 0 0+=1 1.+2 24格林公式与柯西基本定理4.1格林公式格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L的正向:设区域D是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L的正向规定为:当人沿着L行走时,区域D总在他的左边.若与L的正向相反,就称为负方向.记作–L.定理2设D是xOy平面的闭区域[7]，其边界由有限条光滑或分段光滑曲线组成[6]，P(x,y)Î

C(1)(D),Q(x,y)Î

C(1)(D),则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=

(-. （4.1.1）DDò例1计算曲线积分 (x2-2y)dx+yey)dy.òL（1）L：(2)1

L,其中：y2x，x:2®0；：y=，

x:-1®2；：y，

x:-1®2；解 （1）L围城一条简单封闭曲线，取逆时针方向，设它所围城区域记为D，由格林公式

é¶ ¶ ù(x2-2y)dx3xey)dyê

(3x+yey)-

(x2-2L Dë ûp.D 4（2）注意到的方程为y，积分较易计算。因1(L1

L

L

)(x2y)dx+yey)dy=5(p,423故2312L12

(x2-2y)dx+yey)dyò=5(p- (x2-2y)dx+yey)dy4 ò- 2x2dx=5(p-3 .ò=4 4 4ò=定理3设D是平面单连通区域，A(x,y)y),Q(x,

C(1)(D),则下述4个条件等价：（1）"(x,y)Î

D,;（2）沿D内任一段光滑的简单封闭曲线L，rLdrºLP(x,y)dxQ(x,y)dy0；（3）曲线积分

rLdrºLP(x,y)dxQ(x,y)dy在D与积分路径无关；（4）存在函数u(x,y)使得

du=P(x,y)dx+Q(x,y)ÎD，即表达式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数的全微分，这时(x,y)00u(x,y)x,y00

P(x,y(x,y，(x,yD，其中，(x0,y0)是D内任一固定点，C为任意常数。推论若在区域D内du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,，BÎ

D，则B BAP(x,y)dxQ(x,y)dy=AduuB)-u(B B

（4.1.2）例2 计算曲线积分

LIex-2y-L

y2dx-(xy2dy，其中L是圆周x2+y2y上从O0)到B解 P(x,y)=ex-2xy-

y2,Q(x,-(xy2.,2x-2y.故所求曲线积分在xOy面内与路径无关，改取积分路径为O0)沿x轴到0)，再沿与y轴平行的直线段到BOA的方程为y，x:0®1，这时dy，AB的方程为x，y:0®1，这时dx.故òI=ex-2y-òLò= ex-2y-òOA

y2dx-(xy2dyBy2dx-(xy2dyòex-2yB

y2dx-(xy2dy1 1 2

x1 1 31=exdx+)=e

- )0-1-

0ë û 0 3 07-103 3例3 试证(2xy)dxcosydy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出u(x,y).解法1（曲线积分法）

P(x,y)=2xy，Q(x,cosyy，由定理3可知2xsiny)dxxosdy是某个函数u(x,y)的全微分，取(0,0),0)，则(x,y)u(x,y)0,0)

(2xy)dxcosydy，所以，可得x yu(x,y)02dx0xosdyx y=x2siny.解法2（偏积分法）

duy)dxcosydy，故=2xy，=xcosy， （4.1.3）对第一式关于x积分得u(x,yy)dx

(y)x2xsinyj

(y)

, （4.1.4）其中，j

(y)是仅依赖于yx的偏导数算出j

(y)便可计算出u(x,y)。把（4.1.4）代入（4.1.3）的第二式得xcosy)=xcosy，故j)=0由此得j

(y)=C，因此

u(x,y)x2xsinyC.全微分方程定义3：若存在连续可微函数u(x,y)使得[8]du(x,y)dx(x,y)dy，则称微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy为全微分方程或恰当微分方程，它的通解就是u(x,y)=C.例4 求微分方程

ë û ë ûos(xy2)3ydx2yos(xy2)3xë û ë û的通解.解

P(x,y)os(xy2)3y，Q(x,y)2yos(xy2)3x，P3-2ysin(xy2)=Q，故这个微分方程式一个全微分方程，所以有u(x,y)=

y x2ycosy2dy+

os(xy2)3ydx0 0ë ûsiny2sin(xy2)3y-siny2sin(xy2)3y,故原微分方程的通解为

sin(xy2)3yC.4.2柯西基本定理一、柯西基本定理定理4（柯西基本定理）设D是区域，其边界由有限条简单可求长闭曲线组成，f(z

A(D)ÇC(D)（即f(z)在D内解析且在D连续）[9].则D

f(z

（4.2.1）证明：设f(z)在z平面内处处不解析，起积分值依赖于链接起点与终点的路径。得积分10Cz-z0

dz¹0，由曲线C表示圆周：z-z0.其中被积函数f(z)=

1z-z0

在z平面上除去点z0处处处解析，但这个是多连通区域。由此可见，积分值与积分路劲是否无关，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关。其实，在实函数的第二类曲线积分中就有积分值与积分路劲无关的问题。由于复变函数的积分可以用相应的两个实函数的第二类曲线积分表示，因此对于复积分与路劲无关的问题，我们很自然的会想到将其为实函数积分与路劲无关的问题来讨论。设f(z)=u在单连通（即单连通区域）D内处处解析，且f)在D内连续。由于f(z)uxivx-iuyvy，从而u,v有连续偏导数，且满足C-R方程：ux=vy,uyvx，于是Cf(zdzCudx-dyiCdxudy-vx-uydsiux-vydsD D

.（由格林公式）从而Cf(z)0.

1 dz0例5设G是正向简单封闭曲线，z0ÏG，n为正整数，计算积分G(z-z) .00解(z-zn在全平面解析，0

1 当且仅当z=z是不解析.若z在n 0 0(z-zn 0 0理知ò

1ndz.若

z0在

G内部，以

z0为中心，充分小的

d为半径作圆G(z-z0)GB(z0,)zz-z0理知G的内部，及圆周Cd:z-z01G n

dzC

1 ndz

ì2pi,n¹(z-z0)

d(z-z0)

î0,n 1.因此当且仅当z0在G内部且n时，

10Gz-z0

dz. （4.2.2）而当z0在G外部或n¹1时，

1ndz

（4.2.3）G(z-z0)G例6计算积分

2z-1Gz2-z

zG是圆周z；（2）G是圆周z-1=1.2d解经恒等变

2z-1

z-

11= = +，z2-z z(z-

z-1 z故2z-1 1 1Gz2-zdzGz-1dzGzdz.（1）当G为圆周z时，zz都在G内部，由（4.2.2）知1dz

1dzGz-1故

2z-1

GzGz2-zdzpi.（2）当G为圆周z-1=1时，zG内部，z在G外部，根据（4.2.2）和（4.2.3）知21dz

1dzGz-1故

Gz2z-1Gz2-zdzpi.注因为有理函数都可以分解为部分分式，因此有理函数沿闭路的积分一般可以用上述方法计算.例7设G为圆周z，计算积分I=

1

GRedz.2解法1Rez不解析，故上式不能直接使用柯西积分定理计算，但因为Rez=1(z)，在G上，22zz=z2，即z=4，故z

ò I=1 1(z)dz=ò

4çz æ+öG2 Gè zø1 1 1= òzdz+

òdz.G

piGz因z在G及其内部解析，由柯西积分定理

Gdz0，

ò1dz，Gz故I.解法2z,q:0®2p,Rezcosq，故I=1

ò2osq2ei

)dq=1

ò2osqiei

)dq2p

q¢ 2p q0 022p=

cos2qcosqsinqdqp0( )=2(

2pcos2qdq

2p)cosqsinqdq.)p0 0二、解析函数与调和函数的关系一个多元函数u(1,2,L

,xn)若满足方程+

0，(1,2,L

,xnW， （4.2.4）1 2 n则称u(1,2,L

,xn)在W是一个调和函数.算子D= 2+22称为调和算子.调和方程（4.2.3）可表示成.解析函数与调和函数的关系：1、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则当(x,y都是调和函数.

D时，，，即解析函数的实部和虚部2、u(x,y),v(x,y)为任意2个调和函数，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)或f(z)=v(x,y)+iu(x,y)不一定为调和函数。3、若，，且u和v满足C-R方程，，则称v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数[10].例8常数k为何值时u(x,y)=y3x2y为调和函数？对这个调和函数求解析函数f(z)使得u(x,y)=Ref(z)且f(0)=2i.2 2解法1=2kxy，¶u=2ky，=3y2+kx2，¶uy，+ y2

Û 2kyy

Ûk3.¶故当k-3时，u(x,y)=y3-3x2y是调和函数.由6xy, （4.2.5）关于y的积分得

v(x,y6xy3xy2

(x). （4.2.6）这里必须注意，对y求偏导数时把关于x的任意函数当做常数[11].，故对（4.2.4）关于y积分所得的（4.2.5）式用x的任意函数j

(x)来代替不定积分中的任意常数又因，即-3y2j(x)-3y2-3x2)3x2-3y2,整理得

j(x)3x2.故j(x)3x2dxx3c.因此v(x,y)=-3xy2+x3,f(z)u(x,y)iv(x