第四十六章染色和覆盖问题

第四十六章染色与覆盖问题概念本讲我们将一起学习染色与覆盖。而这里所说的染色问题并不是规定如何染色，然后有多少种染色办法等数学问题。而是一种解决逻辑推理题的一种办法，一种将研究对象分类的形象化的办法。通过将要解决的问题适宜的染色，能够使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在通过一定的推理从而得到问题的答案。具体介绍：座位染色问题分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同窗每个人都正好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么办法能让我们更直接的找到答案呢？染色。我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同窗每个人都正好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，因此无法办到。二、途径问题分析如果一次次的操作的话很难看出与否能够按规定办到。因此我们按例1的办法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。由于从A格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A格出去又要回到A格，必须走9个格，因此最后一格必为黑才能够，而A格为白格，因此不能够。三、结点问题分析与途径问题相似，只但是我们这回染得不再是小格而是点，染成黑白相间的点。我们会发现一共14个点，6个黑点8个白点，每次的路线仍是从黑点走到白点或者从白点走到黑点，因此若想每个点不重复的都走一遍的话必须黑白相等或相差1个，但本题黑白差2个，因此不能够。四、普通覆盖将这14个小格染成黑白相间的，那么7个相邻两方格应当是一黑一白的，因此如果能覆盖的话，14个格中的黑白格数应当是相等的，但图中有8个黑格，6个白格。因此不能够。特殊覆盖分析由于每次有两个数同时加上或减去同一种数（假设次数为a），因此通过一次这样的操作后，相称于加上或减去了a的2倍，那么9个数总和就会多或者少偶数个数，也就是说9个数的总和为45，通过1次操作后总和加上或减去一种偶数后应当还是奇数，但表（2）中的总和是4，因此不可能。例题如图29-1(a),3行7列小方格每一种染上红色或蓝色.试证:存在一种矩形,它的四个角上的小方格颜色相似.(第2届全国部分省市初中数学通讯赛题)证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能正好铺盖8×8矩形的地面.（1986年北京初二数学竞赛题）如图29-4（1）是4个1×1的正方形构成的“L”形，用若干个这种“L”形硬纸片无重迭拼成一种m×n（长为m个单位，宽为n个单位）的矩形如图29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.（1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.?（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论如何染,总存在同色三角形.?(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一种人和其它全部人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:最少有三个科学家互相之间讨论同一种题目.（首届全国中学生数学冬令营试题）能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一种数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.对平面上一种点，任意染上红、蓝、黑三种颜色中的一种.证明:平面内存在端点同色的单位线段.9.?6×6的方格盘，能否用一块大小为3格，形如的弯角板与11块大小为3×1的矩形板，不重迭不遗漏地来铺满整个盘面.10.?（第49届苏联基辅数学竞赛题）在两张1982×1983的方格纸涂上红、黑两种颜色，使得每一行及每一列都有偶数个方格是黑色的.如果将这两张纸重迭时，有一种黑格与一种红格重叠，证明最少尚有三个方格与不同颜色的方格重叠.11.?有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中最少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.12.?如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？13.?设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中最少有2名能通话，那么其中必有????r名能用同一种语言通话.14.?（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人最少认识67人，证明在这些客人中一定能够找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.15.?（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一种点染上黑色或白色.求证：一定存在一种边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.16.六年级一班全班有35名同窗，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同窗各人都正好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？17.右图是某一湖泊的平面图，图中全部曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？某班有45名同窗按9行5列坐好．老师想让每位同窗都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?20.有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？21.在一种正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整洁地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发通过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？22.右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一种点，然后回到出发点？右图是由14个大小相似的方格构成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格构成的长方形？右图是由40个小正方形构成的图形，能否将它剪裁成20个相似的长方形？下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的.问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.用11个和5个能否盖住8×8的大正方形?27.能否用9个所示的卡片拼成一种6×6的棋盘？28.9个1×4的长方形不能拼成一种6×6的正方形，请你阐明理由！29.用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一种11×11的大正方形，请你阐明理由！对于表（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一种数，能否通过若干次后（各次减去或加上的数能够不同），变为表（2）？为什么？右图是一种圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次能够转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：通过若干次后，黑板上的四个数与否可能都是999？有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长规定每个苹果最多分成5份．应当如何分？有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的规定去分.”老人逝世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1/2,次子得1/3,给幼子1/9,不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你协助他们分分马吧！34.8个金币中，有一种比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？9个金币中，有一种比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？36.据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁，这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；尚有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤.但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应当如何分呢？大桶能装5公斤油，小桶能装4公斤油，你能用这两只桶量出6公斤油吗?怎么量？有一种小朋友叫小满，他学会了韩信分油的办法，心里很是得意.一天，他碰到了两位农妇.两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，尚有一种5升和一种4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的办法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！有大，中，小3个瓶子，最多分别能够装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，但愿通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水40.老师在黑板上画了9个点，规定同窗们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?如右图所示，将1～12顺次排成一圈.如果报出一种数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置达成6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置达成10的位置.问：a是多少时，能够走到7的位置？对于任意一种自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231持续进行这种操作，在操作过程中与否可能出现100？43.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一种格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁对的？44.如图（1），对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作.通过若干次操作后由1变成图2，则图2中A处的数是多少？45.一种大桶装了12升水，另外有正好能装8升和5升水的桶各一种.运用这三个桶最少倒几次才干把这12升水平均分成两份?46.一种正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整洁地排列成七行七列（见右图）守园人从小屋出发通过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋.能够做到吗？47.如右图，缺两格的8×8方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙?只有5升和8升的容器，要如何量出2升的水呢?49.下图的七种图形都是由4个相似的小方格构成的。现在要用这些图形拼成一种4×7的长方形（能够重复使用某些图形），那么，最多能够用上几个不同的图形？50.用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一种11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？51.用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一种长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能互相得到的拼法认为是相似的拼法）53.小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其它的送给别人。他留下的四张票能够有多少种不同状况？有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出某些拼成一种边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的多个小正方形的数目相似就算相似的拼法）能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一种6×6的正方形？某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一种观众，如果规定每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？五年级一班有49名同窗，共分成7排，每排7个人。新年到了，每个同窗都准备了一种礼物送给自己前后左右相邻的某一种同窗，那么有无可能每个同窗都刚好收到一种别人送的礼物？58.有一次车展共4×4=16个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示，参观者能否从入口进去，不重复的参观完每个展室再从出口出来？有一次车展共6×6=36个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示，参观者能否从入口进去，不重复的参观完每个展室再从出口出来？60.有一次车展共5×5=25个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示，参观者能否从入口进去，不重复的参观完每个展室再从出口出来？答案与解析1.【分析与解】证明?由抽屉原则,第1行的7个小方格最少有4个不同色,不妨设为红色(带阴影)并在1、2、3、4列（如图29-1（b））.在第1、2、3、4列（下列不必再考虑第5，6，7列）中，如第2行或第3行出现两个红色小方格，则这个问题已经得证；如第2行和第3行每行最多只有一种红色小方格（如图29-1（c）），那么在这两行中必出现四角同为蓝色的矩形，问题也得到证明.阐明：（1）在上面证明过程中除了运用抽屉原则外，还要用到一种思考问题的有效办法，就是逐步缩小所要讨论的对象的范畴，把复杂问题逐步化为简朴问题进行解决的办法.此例的行和列都不能再减少了.显然只有两行的方格盘染两色后是不一定存在顶点同色的矩形的.下面我们举出一种3行6列染两色不存在顶点同色矩形的例子如图29-2.这阐明3行7列是染两色存在顶点同色的矩形的最小方格盘了.至今,染k色而存在顶点同色的矩形的最小方格盘是什么还不得而知.【分析与解】分析?将8×8矩形地面的二分之一染上一种颜色，另二分之一染上另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种颜色的小矩形不是同样多，则阐明在给定条件不完满铺盖不可能.证明?如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上黑、白格各有32个.每块4×1的矩形砖不管是横放还是竖盖，且不管盖在何处，总是占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，因此，不管如何放置，一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这阐明剩余的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩余的二黑二白的地面.从而问题得证.??3.【分析与解】证明∵m×n矩形由“L”形拼成，∴m×n是4的倍数，∴m、n中必有一种是偶数，不妨设为m.把m×n矩形中的m列按一列黑、一列白间隔染色（如图29-4（2）），则不管“L”形在这矩形中的放置位置如何（“L”形的放置，共有8种可能），“L”形或占有3白一黑四个单位正方形（第一种），或占有3黑一白四个单位正方形（第二种）.设第一种“L”形共有p个，第二种“L”形共q个，则m×n矩形中的白格单位正方形数为3p+q，而它的黑格单位正方形数为p+3q.∵m为偶数，∴m×n矩形中黑、白条数相似，黑、白单位正方形总数也必相等.故有3p+q=p+3q，从而p=q.因此“L”形的总数为2p个，即“L”形总数为偶数。因此m×n一定是8的倍数.?4.【分析与解】我们不直接证明这个命题，而来看与之等价的下述命题5.【分析与解】证明?设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中最少有三条颜色相似，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不管在哪种状况下,都存在同色三角形.如果将例4中的六个人当作例5中六点,两人认识的连红线,不认识的连蓝线,则例4就变成了例5.例5的证明事实上用染色办法给出了例4的证明.6.【分析与解】证明?用平面上无三点共线的17个点A1,A2,…，A17分别表达17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x连红线,讨论y连蓝线,讨论z连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.考虑以A1为端点的线段A1A2,A1A3,…，A1A17，由抽屉原则这16条线段中最少有6条同色，不妨设A1A2，A1A3，…，A1A7为红色.现考察连结六点A2，A3，…，A7的15条线段，如其中最少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证.上述三例同属图论中的接姆赛问题.在图论中,将n点中每两点都用线段相连所得的图形叫做n点完全图,记作kn.这些点叫做“顶点”，这些线段叫做“边”.现在我们分别用图论的语言来叙述例5、例6.定理1?若在k6中，任染红、蓝两色，则必有一只同色三角形.定理2?在k17中,任染红、蓝、黄三角，则必有一只同色三角形.【分析与解】证明?将1986×2个位置按奇数位着白色，偶数位着黑色染色，于是黑白点各有1986个.现令一种偶数占据一种黑点和一种白色，同一种奇数要么都占黑点，要么都占白点.于是993个偶数，占据白点A1=993个，黑色B1=993个.993个奇数，占据白点A2=2a个，黑点B2=2b个，其中a+b=993.因此，共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个，由于a+b=993（非偶数！）∴a≠b，从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.“点”能够是有限个，也能够是无限个，这时染色问题总是与对应的几何问题联系在一起的.8.【分析与解】证明?作出一种如图29-7的几何图形是可能的,其中△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是边长为1的等边三角形，CG=1.不妨设A点是红色，如果B、E、D、F中有红色，问题显然得证.当B、E、D、F都为蓝点或黄点时，又如果B和D或E和F同色，问题也得证.现设B和D异色E和F异色,在这种状况下,如果C或G为黄色或蓝点,则CB、CD、GE、GF中有两条是端点同色的单位线段，问题也得证.否则的话,C、G均为红点，这时CG是端点同色的单位线段.证毕.尚有一类较难的对区域染色的问题，就不作介绍了.【分析与解】将１、４行染红色、２、５行染黄色、３、６行染蓝色，然后就弯角板盖住板面的不同状况分类讨论．【分析与解】设第一张纸上的黑格Ａ与第二张纸上的红格Ａ′重叠．如果在第一张纸上Ａ所在的列中，其它的黑格（奇数个）均与第二张纸的黑格重叠，那么由第二张纸上这一列的黑格个数为偶数，知必有一黑格与第一张纸上的红格重叠，即在这一列，第一张纸上有一方格Ｂ与第二张纸上不同颜色的方格Ｂ′重叠．同理在Ａ、Ｂ所在行上各有一种方格Ｃ、Ｄ，第二张纸上与它们重叠的方格Ｃ′、Ｄ′的颜色分别与Ｃ、Ｄ不同．11.【分析与解】把９名数学家用点Ａ１，Ａ２，…，Ａ９表达．两人能通话，就用线连结，并涂某种颜色，以表达不同语种。两人不通话，就不连线．（１）果任两点都有连线并涂有颜色，那么必有一点如Ａ１，以其为一端点的８条线段中最少有两条同色，例如Ａ１Ａ２、Ａ１Ａ３．可见Ａ１，Ａ２，Ａ３之间可用同一语言通话．②如状况①不发生，则最少有两点不连线，例如Ａ１、Ａ２．由题设任三点必有一条连线知，其它七点必与Ａ１或Ａ２有连线．这时七条线中，必有四条是从某一点如Ａ１引出的．而这四条线中又必有二条同色，则问题得证．【分析与解】结论不成立，如图所示（图中每条线旁都有一种数字，以表达不同语种）．【分析与解】类似于第11题证明．【分析与解】用点Ａ１、Ａ２、…、Ａ１００表达客人，红、蓝的连线分别表达两人相识或不相识，由于由一种顶点引出的蓝色的线段最多有３２条，因此其中最少有三点之间连红线．这三个点（设为Ａ１、Ａ２、Ａ３）引出的蓝色线段最多为９６条．去掉全部这些蓝色的线段（连同每条线段上的一种端点ＡＩ，Ｉ≠１，２，３），这样，在图中最少还剩余四个点，除Ａ１、Ａ２、Ａ３外，设第四点为Ａ４，这四个点中Ａ１，Ａ２，Ａ３每一种点与其它的点都以红色的线段相连，于是客人Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４彼此两两相识．15.【分析与解】先运用右图证明＂若平面上有两个异色的点距离为２，地么必然能够找到符合题意的三角形＂．再找长为２端点异色的线段．以Ｏ（白色）为圆心，４为半径作圆．如圆内皆白点，问题已证．否则圆内有一黑点Ｐ，以ＯＰ为底作腰长为２的三角形ＯＰＲ，则Ｒ最少与Ｏ、Ｐ中一点异色，这样的线段找到．【分析与解】划一种5×7的方格表，其中每一种方格表达一种座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同窗都坐到他的邻座相称于全部白格的坐到黑格，全部黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．17.【分析与解】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表达陆地，就能够看出A点在水中.（2）从水中通过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，因此不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必然在岸上.【分析与解】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同窗都坐到他的邻座相称于全部白格的坐到黑格，全部黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【分析与解】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．由于每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应当从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑,,直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【分析与解】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应当白格比黑格多1个，而事实上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．21.【分析与解】下图(1)中能够回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，因此能够回到小屋图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色,而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.22.【分析与解】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，以下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●.由于马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，因此马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍全部的点后回到出发点.如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的.但是如果放弃“回到出发点”的规定，那么状况就不同了.从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，因此起点和终点应是同色的点（指○或●）.由于44步跳过的点○与点●各22个，因此起点必是●，终点也是●.也就说是，当不规定回到出发点时，只要从●出发，就能够不重复地走遍半张棋盘上的全部点.【分析与解】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格.相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际状况不符，因此不能剪裁成7个由相邻两个方格构成的长方形【分析与解】将40个小正方形想剪裁成20个相似的长方形，就是将图形分割成20个1×2的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一种.【分析与解】如右上图，（1）能，黑白格数相等；（2）（3）不能，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一种.26.【分析与解】如右图，对8×8正方形黑白相问染色后，发现必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑．则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格．但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目规定盖住．注：本题中每个盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，由于可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白.这是一种容易出错的地方.27.【分析与解】不能.将6×6的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格.每张卡片盖住的黑格数不是1就是3，9张卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18个黑格.28.【分析与解】本题若用传统的自然染色法，不能阐明问题.我们对6×6正方形用四种颜色染色，由于要用1×4来覆盖．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．也为了使每个1×4长方形在任何位置盖住的都同样，我们采用沿对角线染色，如右图．这样，能够发现无论将1×4长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一种．要不重叠地拼出6×6，需9个1×4长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个．但事实上图中一共是9个l、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个1×4长方形拼出6×6正方形．29.【分析与解】如右图所示，将2×2或3×3的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必然盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，因此只用2×2和3×3的小正方形，不可能拼成11×11的大正方形.30.【分析与解】由于每次有两个数同时被加上或减去同一种数，因此表中九个数码的总和通过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有变化。原来九个数的总和为1+2++9=45，是奇数，通过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总4矛盾。因此不可能变成右上表.【分析与解】不可能.由于每次加上的数之和是1＋2＋3＋4=10，因此黑板上的四个数之和永远是10的整数倍.999×4=3996，不是10的倍数，因此黑板上的四个数不可都是999.【分析与解】显然每人应当分7/12=4/12+3/12=1/3+1/4,于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分．【分析与解】这三个兄弟困惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不让马流血.于是他们就去请教本地一位公认的智者.这位智者看了遗嘱后来说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！”老人原有17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹马的1/2,1/3,1/9,分别得到了九匹、六匹和两匹.9+6+2=17（匹）还剩余一匹，是智者借给的那匹，还给智者.【分析与解】解说此题前，教师可先问学生：“3个金币，有1个假的比较轻，你称1次能把它找出来么？”将8个金币分成：3+3+2，3组，把3和3进行称量，如果重量相似，称剩余的2个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3个金币拿出，用天平称量2个，剩余1个，天平不平衡易得答案，若此时天平平衡则剩余的那个是假的.35.【分析与解】第一次在左右两托盘各放置3个：(一)如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一种是假的．从中任取两个分别放在两托盘内：①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩余的一种是假的；(二)如果平衡，剩余的三个中必有一种为假的．从中任取两个分别放在两托盘内：①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩余的那个是假的．这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态(轻，重，平)，因此分成3堆是很常见的分法．36.【分析与解】韩信给两人说了一句话：“葫芦归篓，篓归罐”，两人按此分油，果然把油分成了两半.具体做法以下表：韩信的话指明了倒油的方向，始终按从篓向罐中倒，从罐向葫芦中倒，从葫芦向篓中倒的方向操作.按摄影反的方向倒，即“葫芦归罐，罐归篓”如何?我们试试.看来也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要.如果在倒油的过程中，出现从甲倒向乙，又从乙倒回甲(这两步不一定挨着)，那么这两步互相抵消，必定能够简化掉，因此最佳的倒油办法是始终按一种方向倒。【分析与解】先将5公斤的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中尚有5-4=1(公斤)油；然后将小桶倒空，将大桶中1公斤倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6(公斤)．这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量(1公斤)38.【分析与解】答案如表所示39.【分析与解】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的办法．而由于我们每计算一步就相称于倒一次水，因此倒水最少的方案应当是：1．大瓶往中瓶中倒满水．2．中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩余400克水．3．小瓶中水倒回大瓶．4．中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩余100克水，标记．5．小瓶中水倒回大瓶．6．中瓶中100水倒入小瓶，标记．因此最少要倒6次水．本题核心是，小瓶中的水每次都要倒掉，否则无法再往小瓶中倒水的40.【分析与解】大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要无视一点，题中并没规定所有折线只能限定在这9个点的范畴之内．我们把折线的范畴冲破本题9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如上右图。41.【分析与解】不存在.当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应达成2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应达成2a-12的位置.由上面的分析知，不管a是什么数，成果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置.42.【分析与解】同窗们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还能够继续下去，即使始终没有得到100，但也不能必定得不到100.固然，持续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就能够必定不会出现100.由于这一过程很长，因此这不是好办法.由于231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，因此在操作过程中产生的数也应当是11的倍数.100不是11的倍数，因此不可能出现.操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门.43.【分析与解】甲.如右下图所示，将格点黑白相间染色，由于老鼠碰到格点必须转弯，因此通过多少格点就转了多少次弯。如左下图所示，老鼠从黑点出发，达成任何一种黑点都转了奇多次弯，因此甲对的.【分析与解】按图中规定操作，图3中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变.因此A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.45.【分析与解】答案如表所示【分析与解】不能够.如右下图所示.守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋。【分析与解】这种覆盖问题是典型的用染色办法解决的问题之一．用来覆盖，则用黑白相间染色，能够发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共能盖住的黑格数、白格数应当相等．但从染色后整个图看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住．48.【分析与解】将5升的容器装满水，倒在8升的容器中去，8升的容器中装入了5升的水，再一次将5升的容器装满水，倒在8升的容