第1讲 数学建模简介

数学建模与数学实验山东工商学院数学与信息科学学院

数学建模简介

数学建模简介1.关于数学建模

3.数学建模实例

2.数学建模论文的撰写方法C.人口预报问题A.椅子能在不平的地面上放稳吗？B.商人安全过河问题1、什么是数学模型？

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。1.1名词解释

简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。2、什么是数学建模?

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。

数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.2数学建模的方法和步骤数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践

模型

1.3数学模型及其分类◆按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。数学模型的分类：◆按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。本竞赛每年9月第三个星期五至下一周星期一（共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分甲、乙两组，甲组竞赛任何学生均可参加，乙组竞赛只有大专生（包括高职、高专生）或本科非理工科学生可以参加）。1.4全国大学生数学建模竞赛

2011年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。

竞赛宗旨:竞赛相关网站：创新意识

团队精神

重在参与

公平竞争

竞赛相关软件包：MatlabMathematicMapleLingoLindoSasSpss1.5近几年全国大学生数学建模竞赛题2001A血管的三维重建B公交车调度2002A车灯线光源的优化设计B彩票中的数学2003ASARS的传播B露天矿生产的车辆安排2004A奥运会临时超市网点设计B电力市场的输电阻塞管理2005A长江水质的评价和预测BDVD在线租赁2006A出版社的资源配置B艾滋病疗法的评价及疗效的预测2007A中国人口增长预测B乘公交，看奥运2008A数码相机定位B高等教育学费标准探讨2009A制动器试验台的控制方法分析B眼科病床的合理安排2010A储油罐的变位识别与罐容表标定B2010年上海世博会影响力的定量评估2011A城市表层土壤重金属污染分析B交巡警服务平台的设置与调度我校从1998年参加全国大学生数学建模竞赛以来，取得了较好的成绩。共获得全国二等奖5队，山东省一等奖20余队，山东省二等奖50余队。特别地，2010年、2011年连续两年均有国家奖获得。2010年成绩2011年成绩2.数学建模论文的撰写方法1、摘要:问题、模型、方法、结果2、问题重述4、分析与建立模型5、模型求解6、模型检验7、模型推广8、参考文献9、附录实例3、模型假设格式3.数学建模示例3.1椅子能在不平的地面上放稳吗

把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍转动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？3.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是

的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;对任意

，f(

)•g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子

和f(

),g(

)的确定3.2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110穷举法~