本科 图像处理 第6章

图像处理第6章教材：《数字图像处理与图像通信》主讲：朱秀昌；辅导：干宗良考查课程，期末书面考试48学时，3学分10/15/20231图像处理第六章图像重建

6.1计算机断层扫描技术6.2投影定理6.3傅立叶投影重建6.4卷积逆投影重建6.5代数重建6.6三维图像重建的体绘制6.7三维图像重建的面绘制10/15/20232图像处理图像重建：由一系列沿直线投影图来重建二维图像，由一系列二维图像重建三维物体。成像方式：透射断层成像发射断层成像反射断层成像。射线种类：X射线成像、核磁共振成像、正电子发射成像、

超声成像、微波成像、激光共焦成像、……10/15/20233图像处理射线投影成像的基本原理：人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减，人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。入射线图6.1组织对射线的吸收散射线散射线10/15/20234图像处理投射断层成像：当射线穿过物体时，在检测器上得到的遭受物体衰减的值就叫做射线的投影，根据投影可以了解物体对射线的吸收程度。发射断层成像：发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部，在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。反射断层成像：将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上，通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。10/15/20235图像处理透射投影成像，图6.2表示等强度的射线透过不同密度分布时的情况，每块上的数字表示每块的密度或衰减，总的衰减是叠加的，其中一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的记录相同，因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二维图像。入射线6222入射线6141入射线少透射高密度体多透射入射线低密度体图6.2等强度射线穿透不同组织的情况10/15/20236图像处理

发射投影成像如，正电子发射成像（PET：PositronEmissionTomography）采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线，检测器围绕物体呈环形分布，相对的两个检测器构成一组检测器对，检测由一对正负电子产生的光子。正电子负电子光子光子PET成像系统示意图检测器检测器10/15/20237图像处理6.1计算机断层扫描技术计算机断层扫描技术又称为计算机层析或CT（ComputedTomography)利用数字图像处理技术来获取三维图像。CT机通常包括X射线管、X射线检测器、扫描机架、病人床、用来重建图像结构的工作站。图6.3CT扫描成像的示意图10/15/20238图像处理医学影像领域：ComputedTomography(CT)：获1979年诺贝尔奖（NobelPrice）布尔赫、珀塞尔，获1952年诺贝尔奖，发现了核磁共振现象劳特布尔（美）、P·曼斯菲尔德（英）获2003年年诺贝尔奖，核磁共振的研究（英）G.N.Hounsfield（美）AllanM.Cormack10/15/20239图像处理CT实例：扫描系统的X射线源和检测器，始终保持严格的相对静止；射线管发出的是直线形波束，扫描机构围绕人体作旋转加平移运动；以检测器的位置为自变量，就构成如图6.4(b)的电流—位置函数曲线。图6.4CT一次平移扫描所获得的输出信号10/15/202310图像处理第一次直线平移扫描完毕后，扫描系统旋转一个小角度，再作第二次直线式平移扫描，获得另一组投影数据；重复以上过程，便得到很多组投影数据；对这些数据进行处理形成三维图像。图6.5头颅CT扫描成像示意图10/15/202311图像处理6.2投影定理一个N维函数在第N

-1维上的映射称为函数

f在第N

-1维的投影。二维：函数f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影函数f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影设f(x,y)

的傅立叶变换为F(u,v)，可得：（6.1）（6.2）（6.3）10/15/202312图像处理把式（6.3）代入到式（6.1）可得：可知gy(x,y)是F(u,0)的傅氏反变换，或gy(x,)

的傅氏变换G(u)与F(u,0)相同。结论，函数f(x,y)在x轴上投影gy(x,y)的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换F(u,v)在(u,v)平面上沿u轴平面上的切片F(u,0)。（6.4）10/15/202313图像处理沿y轴的投影图示沿y轴的的投影示意图f(x,y)(a)二维函数f(x,y)在x轴上投影yxgy(x)

(b)f(x,y)傅立叶变换F(u,v)在u轴上切片F(u,v)vuF(u,0)10/15/202314图像处理假设函数f(x,y)沿着t1方向投影到一条和t1垂直的直线上

s，t是一条与t1平行经过原点的直线，与t垂直经过原点的直线为s，该直线s与x轴的夹角为θ，直线t1离开原点的距离为s1，如图6.6所示。以s和t可用θ为极坐标：函数f(x,y)

沿着t1方向s投影为：图6.6坐标旋转关系(6.5)10/15/202315图像处理将投影式(6.5)只对s1作一维傅立叶变换，将指数项作变换，得uv(u,v)θ0r（6.6）（6.7）10/15/202316图像处理上式表明，f(x,y)在一条与x轴夹角为θ，离开原点距离为r的直线上的投影的傅立叶变换等于二维傅立叶变换在与u轴成θ方向上的切片，这就是投影定理，也称之为切片定理。显然，如投影变换G(r,θ)中对所有的r和θ值都是已知的，则图像的二维傅立叶变换也可以完全确定，进行二维傅立叶反变换，就可以得到f(x,y)，这就是三维图像重建技术的基础。图6.7投影定理示意图f(x,y)yxθ

vuF(u,v)F(r,θ)tsθ

10/15/202317图像处理投影定理推广到三维：令f(x,y,z)表示一个三维物体，它的三维傅立叶变换为如ω=0其中gz(x,y)正是f(x,y,z)在(x,y)平面上的投影，即表明了f(x,y,z)在(x,y)平面上投影的傅立叶变换与f(x,y,z)的三维傅立叶变换F(u,v,ω)在ω=0平面上的切面F(u,v,0)相等。在与(x,y)平面成夹角为θ的平面上投影的傅立叶变换，等于三维傅立叶变换F(u,v,ω)在与(u,v)平面成θ角的切面F(u,v,θ)。（6.10）（6.9）（6.8）10/15/202318图像处理6.3傅立叶投影重建傅立叶投影重建的基础：傅立叶投影定理。根据投影定理，就可以得到F(u,v)分别在相应角度位置上的切片；当切片趋向无穷多，就可获得在(u,v)平面上的所有F(u,v)值；由F(u,v)进行傅立叶反变换就可以重建图像f(x,y)。将f(x,y)沿s方向的投影表达式及其一维傅立叶变换式改写为：令u=Rcosθ,v=Rsinθ，根据投影定理，用极坐标(R,θ)来表示:可见，如果知道所有R和θ的投影变换值G(R,θ)，则变换域的二维函数将全部确定。然后，取傅立叶反变换就可以得到图像函数。（6.11）（6.12）（6.13）10/15/202319图像处理利用傅立叶变换的共轭对称性，积分限由0～2π换成0～π，R→|R|后，积分限由0～∞换成－∞～+∞。上式可写成：记傅立叶投影重建图像为：（6.16）（6.15）（6.14）10/15/202320图像处理以上是理想的情况－－可以获得无穷多个投影，对连续图像的傅立叶重建。如果只有有限个角度的投影g(ρ,θn)(θn表示nθ)，G(R,θ)可用在一系列采样点(m△s,θn)

上对g(•)求和得到(△s为沿着射线方向采样点的间距，采样点数为M)，于是式(6.13)可写成：

令R=k△R(k为整数，△R为频率域上采样间距，采样点数为M)，取则有

根据极坐标上点(k△R,n△θ)的值G(k△R,θn)插值出在直角坐标上点(k△u,n△v)的值F(k△u,n△v)，从而反傅立叶变换得到f(k△x,n△y)。（6.18）（6.17）10/15/202321图像处理注意：必须得到所有投影数据后再能重建图像，不能根据所获得的部分投影数据重建图像，重建图像需要进行傅立叶反变换。傅立叶变换法步骤：(1)对N个不同θ方向上投影进行一维傅立叶变换。

(2)在傅立叶变换空间从极坐标向直角坐标插值。

(3)利用式(6.15)或离散形式的傅立叶频谱进行反变换得到重建图像。图6.8傅立叶空间的直角和极坐标网格10/15/202322图像处理6.4卷积逆投影重建卷积逆投影重建法：以投影切片定理为基础；傅立叶变换重建法：计算量比较小，但要二维插值，在射电天文学研究中得到应用广泛；卷积逆投影法：能快速实现，噪声较小时可重建出准确清晰的图像，在X射线CT成像中应用广泛。10/15/202323图像处理在计算投影的一维傅立叶变换F(R,θ)时，R为频域极轴变量。投影数据g(ρ,θ)总是被有限截断。当ρ的取样间隔为d时，在频率R的变化范围将是-d/2～d/2，于是投影切片定理可近似写成:记因为，上式又可写成（6.19）（6.20）（6.21）10/15/202324图像处理由(6.15)可知：卷积逆投影法重建图像为：由式（6.21）可知，右边正是投影数据g(ρ,θ)与脉冲响应h(ρ)所表示的滤波器的卷积，h(·)为卷积函数。求f’(x,y,θ)

则是在θ角方向上卷积了的投影，因此从式（6.22）求f(x,y)可被认为是求逆投影过程，即卷积逆投影重建法。（6.21）（6.22）10/15/202325图像处理式（6.20）所表示的h(ρ)正是频率响应为|R|的滤波器，如下图所示，通常称为重建滤波器。由此可知，卷积逆投影重建的关键是设计重建滤波器。下面简单介绍重建滤波器的设计。对式(6.20)求积分：在离散情况下，重建滤波器被有限截断，设在ρ的变化范围内，对其取M点，采样间隔为d，即ρ=md，。10/15/202326图像处理用极坐标表示，并用离散值代替连续积分，则式(6.21)可以写成：用极坐标和直角坐标之间的关系，求出与极坐标点相对应的直角坐标系上的点，从而得到用离散值表示的，最后，根据求逆投影式(6.22)得到重建的图像：(6.23)和(6.24)是一组便于计算机快速运算的表达式。（6.23）（6.24）10/15/202327图像处理卷积逆投影重建法的重建滤波器。1/2dvu-1/2d|R|H(R)图7.12重建滤波器的频率响应10/15/202328图像处理6.5代数重建投影重建的傅立叶变换法和滤波器逆投影都在变换域（频率域）内处理；这两种方法都在连续域内进行解析处理，为便于计算机实现，引入离散化和有限近似。代数重建技术则是属于另一类方法，也称为级数展开法，它是一种逐次逼近的迭代算法。代数重建法：需要在重建的目标上加一栅格，将目标划分为许多等大小的体积单元，计算每个体元的衰减系数，写成矩阵形式如下：Y=AX；在许多位置，射线束只是部分地通过一些体元。10/15/202329图像处理代数法重建：切片＋栅格＝小体积元（小立方体）图6.9扫描重建栅格10/15/202330图像处理迭代方法来求解式(6.26)的基本思想：根据物体已有的先验知识，先对未知图像的各像素都赋予一个初始估值，利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到的投影值,将算得的值和实测投影值进行比较，按照差异获得一个修正值，根据这些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值，如此反复迭代，直到计算值和实测值接近所要求的精度为止。10/15/202331图像处理具体实施步骤如下：(1)对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从而得到一幅初始计算图像，如设各像素的初始值均为0。(2)根据假设图像，求对应第i条射线穿过时，各体单元应得到的各个相应投影值Z1*，Z2*，…，Zn*。(3)将计算值Z1*，Z2*，…，Zn*和对应的实测值Z1，Z2，…，Zn进行比较，然后取对应差值ΔZi=Zi－Zi*作为修正值。(4)用每条射线的修正值来修正和该射线相交的诸像素值。(5)用修正后的像素值重复(1)～(4)步，直到计算值和实测值之差，即修正值小到所允许的精度为止。10/15/202332图像处理四单元矩阵实例：第一次运算是：水平照射后，将射线和放入图像单元，即：构成第二次运算是：垂直照射后，再将射线和加到上面那个图像单元中去，即：

021322442437591510/15/202333图像处理第三次运算是：取对角线方向的照射(向右上方向)，获得的射线和加到前图像单元中去，即：第四次运算是：取向左上方的对角线照射，并将此射线和加到前面所获得取的图像单元中去，即：最后一次运算是：从每个图像单元中减去最小数6，然后用3去除每个单元值，便可解出该问题开始的那个矩阵。31081203323161291510/15/202334图像处理6.6三维图像重建的体绘制前面：傅立叶投影重建、卷