中考数学复习：专题(九)　二次函数与几何图形综合题

专题(九)二次函数与几何图形综合题1．(2021·陕西)已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点B，C的坐标；(2)设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵y＝－x2＋2x＋8，令x＝0，y＝8，∴C(0，8)，令y＝0，即－x2＋2x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴B(4，0)(2)存在点P，设P(0，y)，∵CC′∥OB，且PC与PO是对应边，∴eq\f(PC,CC′)＝eq\f(PO,OB)，即eq\f(|y－8|,2)＝eq\f(|y|,4)，解得y1＝16，y2＝eq\f(16,3)，∴P(0，16)或P(0，eq\f(16,3))2．(2021·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；(3)请判断：eq\f(PQ,QB)是否有最大值，如有，请求出有最大值时点P的坐标；如没有，请说明理由．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16a－4b＋4＝0，,a＋b＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－3，))∴该二次函数的表达式为y＝－x2－3x＋4(2)如图，设BP与y轴交于点E，∵PD∥y轴，∴∠DPB＝∠OEB，∵∠DPB＝2∠BCO，∴∠OEB＝2∠BCO，∴∠ECB＝∠EBC，∴BE＝CE，设OE＝a，则CE＝4－a，∴BE＝4－a，在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2＋OB2，∴(4－a)2＝a2＋12，解得a＝eq\f(15,8)，∴E(0，eq\f(15,8))，设BE所在直线表达式为y＝kx＋e(k≠0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(15,8)，,k＋e＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(15,8)，,e＝\f(15,8)，))∴直线BP的表达式为y＝－eq\f(15,8)x＋eq\f(15,8)(3)eq\f(PQ,QB)有最大值．设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，设直线AC表达式为y＝mx＋n，∵A(－4，0)，C(0，4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4m＋n＝0，,n＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝4，))∴直线AC表达式为y＝x＋4，∴M点的坐标为(1，5)，∴BM＝5，∵BM∥PN，∴△PNQ∽△BMQ，∴eq\f(PQ,QB)＝eq\f(PN,BM)，设P(a0，－a02－3a0＋4)(－4＜a0＜0)，则N(a0，a0＋4)，∴eq\f(PQ,QB)＝eq\f(－a02－3a0＋4－（a0＋4）,5)＝eq\f(－a02－4a0,5)＝eq\f(－（a0＋2）2＋4,5)，∴当a0＝－2时，eq\f(PQ,QB)有最大值，此时，点P的坐标为(－2，6)3．(2021·连云港)如图，抛物线y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知B(3，0(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．解：(1)将B(3，0)代入y＝mx2＋(m2＋3)x－(6m＋9)，化简，得m2＋m＝0，则m＝0(舍去)或m＝－1，∴m＝－1，∴y＝－x2＋4x－3.∴C(0，－3)，设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，直线经过点B(3，0)，C(0，－3)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝3k＋b，,－3＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝－3，))∴直线BC的函数表达式为y＝x－3(2)如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3.由(1)得直线BC的表达式为y＝x－3，A(1，0)，∴直线AG的表达式为y＝x－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝－x2＋4x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))∴P1(2，1)或(1，0)，由直线AG的表达式可得G(0，－1)，∴GC＝2，∴CH＝2，∴直线P2P3的表达式为：y＝x－5，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－5，,y＝－x2＋4x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3－\r(17),2)，,y＝\f(－7－\r(17),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3＋\r(17),2)，,y＝\f(－7＋\r(17),2)，))∴P2(eq\f(3－\r(17),2)，eq\f(－7－\r(17),2))，P3(eq\f(3＋\r(17),2)，eq\f(－7＋\r(17),2))，综上可得，符合题意的点P的坐标为：(2，1)，(1，0)，(eq\f(3－\r(17),2)，eq\f(－7－\r(17),2))，(eq\f(3＋\r(17),2)，eq\f(－7＋\r(17),2))(3)如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，则△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝CD，∴△CDE≌△DAF(AAS)，∴AF＝DE，CE＝DF.设DE＝AF＝a，由OA＝1，则CE＝DF＝a＋1，由OC＝3，则DF＝3－a，∴a＋1＝3－a，解得a＝1.∴D(2，－2)，又C(0，－3)，∴直线CD对应的表达式为y＝eq\f(1,2)x－3，设Q(n，eq\f(1,2)n－3)，代入y＝－x2＋4x－3，∴eq\f(1,2)n－3＝－n2＋4n－3，整理得n2－eq\f(7,2)n＝0.又n≠0，则n＝eq\f(7,2)，∴Q(eq\f(7,2)，－eq\f(5,4))4．(2021·东营)如图，抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝－eq\f(1,2)x＋2过B，C两点，连接AC.(1)求抛物线的解析式；(2)求证：△AOC∽△ACB；(3)点M(3，2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD＋PM的最小值．解：(1)∵直线y＝－eq\f(1,2)x＋2过B，C两点，当x＝0时，y＝2，即C(0，2)，当y＝0时，x＝4，即B(4，0)，把B(4，0)，C(0，2)分别代入y＝－eq\f(1,2)x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－8＋4b＋c＝0，,c＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)，,c＝2，))∴抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2(2)∵抛物线y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2与x轴交于点A，∴－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴点A的坐标为(－1，0)，∴AO＝1，AB＝5，在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，∴AC＝eq\r(5)，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(AO,AC)＝eq\f(AC,AB)，又∵∠OAC＝∠CAB，∴△AOC∽△ACB(3)设点D的坐标为(x，－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2)，则点E的坐标为(x，－eq\f(1,2)x＋2)，∴DE＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(3,2)x＋2－(－eq\f(1,2)x＋2)＝－eq\f(1,2)x2＋2x＝－eq\f(1,2)(x－2)2＋2，∵－eq\f(1,2)＜0，∴当x＝2时，线段DE的长度最大，此时，点D的坐标为(2，3)，∵C(0，2)，M(3，2)，∴点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD＋PM最小，连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为(2，2)，∴CD＝eq\r(CF2＋DF2)＝eq\r(5)，∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，∴PD＋PM的最小值为eq\r(5)5．(2021·眉山)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0).(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)点P为该抛物线上一点(不与点C重合)，直线CP将△ABC的面积分成2∶1两部分，求点P的坐标；(3)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB－∠OMA时，求t的值．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a，即－8a＝4，解得a＝－eq\f(1,2)，故抛物线的表达式为y＝－eq\f(1,2)x2＋x＋4①(2)由点A，B的坐标知，OB＝2OA，故CO将△ABC的面积分成2∶1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图①，当BH＝eq\f(1,3)AB＝2时，CH将△ABC将△ABC的面积分成2∶1两部分，即点H的坐标为(2，0)，则CH和抛物线的交点即为点P，由点C，H的坐标得，直线CH的表达式为y＝－2x＋4②，联立①②并解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4))(舍去)，故点P的坐标为(6，－8)(3)在点OB上取点E(2，0)，则∠ACO＝∠OCE，∵∠OCA＝∠OCB－∠OMA，故∠OMA＝∠ECB，过点E作EH⊥BC于点H，在△BCE中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，则EH＝eq\f(\r(2),2)EB＝eq\f(\r(2),2)(4－2)＝eq\r(2)＝BH，由点B，C的坐标知，BC＝4eq\r(2)，则CH＝BC－BH＝3eq\r(2)，则tan∠ECB＝eq\f(EH,CH)＝eq\f(\r(2),3\r(2))＝tan∠OMA，则tan∠OMA＝eq\f(AO,OM)＝eq\f(2,OM)＝eq\f(1,3)，则OM＝6，故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，则t＝2或106．(2021·玉林)已知抛物线：y＝ax2－3ax－4a(a＞0)与x轴交点为A，B(点A在点B的左侧)，顶点为D(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；(2)若直线y＝－eq\f(3,2)x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；(3)如图，将(2)中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：y＝eq\f(7,8)上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．解：(1)令y＝0，则有ax2－3ax－4a＝0，即x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，对称轴为直线x＝eq\f(－1＋4,2)＝eq\f(3,2)(2)设点M的横坐标为x1，点N的横坐标为x2，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax2－3ax－4a，,y＝－\f(3,2)x，))即ax2－(3a－eq\f(3,2))x－4a＝0，x1＋x2＝eq\f(3a－\f(3,2),a)，又∵点M，N关于原点对称，∴eq\f(3a－\f(3,2),a)＝0，∴a＝eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2(3)∵y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))2－eq\f(25,8)，由题意得向上平移后的抛物线解析式为y＝eq\f(1,2)(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(7,8)，∴抛物线向上平移了4个单位长度，设P(x，eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2)，则Q(x，eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2)，由题意得O′(0，eq\f(7,8))，∵O′P＝O′Q，∴eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＋eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2＝2×eq\f(7,8)，解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(7,2)，若x＝－eq\f(1,2)，则y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)×(－eq\f(1,2))－2＝－eq\f(9,8)，∴P(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,8))，Q(－eq\f(1,2)，eq\f(23,8))，若x＝eq\f(7,2)，则y＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x－2＝eq\f(1,2)×(eq\f(7,2))2－eq\f(3,2)×eq\f(7,2)－2＝－eq\f(9,8)，∴P(eq\f(7,2)，－eq\f(9,8))，Q(eq\f(7,2)，eq\f(23,8))，综上，P(－eq\f(1,2)，－eq\f(9,8))，Q(－eq\f(1,2)，eq\f(23,8))或P(eq\f(7,2)，－eq\f(9,8))，Q(eq\f(7,2)，eq\f(23,8))7．(2021·南充)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝eq\f(5,2).(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图②，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋4＝0，,\f(－b,2a)＝\f(5,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－5，))故抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4①(2)对于y＝x2－5x＋4，令y＝x2－5x＋4＝0，解得x＝1