土力学与地基基础土中应力分布及计算

3土中应力分布及计算(Distributionandcalculationofstressinsoil)3.1概述3.2土的自重应力计算3.3基础底面压力分布和计算3.4集中力作用下土中应力计算3.5分布荷载作用时的土中应力计算2023/10/11概述2本章重点1、掌握土中自重应力计算2、掌握基底压力和基底附加压力分布与计算3、掌握矩形面积均布荷载、矩形面积三角形分布荷载以及条形荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方法2023/10/11概述33.1概述1.土中应力的分类按照应力产生的原因，土中应力分为自重应力和附加应力。自重应力是土体受到重力作用而产生的应力；附加应力是由于外载荷（建筑荷载、车辆荷载、土中水的渗流力、地震力等）的作用，在土中产生的应力增量。按照应力分担角度来分，则土中应力还可分为有效应力和孔隙水压力。2.土中应力计算的意义一句话，计算土中应力是对建筑物等地基基础进行沉降计算，强度与稳定性分析的基础。2023/10/11概述43.1概述３.土中一点的应力状态

3.1方向的定义

3.2二向应力状态斜截面上的应力与主应力斜截面上的应力对于右图所示单元体，任意斜截面的法线与x轴成角度的正应力和剪应力可用下式表示：当某截面上的剪应力等于零时，该斜截面就称为主平面，该斜截面上的正应力成为主应力，主应力的计算式如下：3.1概述４.土中应力的计算模型土是三相体，但在实际应用中，人们将天然土体简化为线性弹性体，即假设地基土是均匀、连续、各向同性的半无限弹性体。在工程中需注意：1.土的分散性影响2.土的非理想弹性体影响3.土的非均质性和各向异性影响2023/10/11土中自重应力的计算63.2土中自重应力的计算本节重点1.均质土自重应力计算；2.成层土自重应力计算；3.有地下水时土自重应力计算；4.存在隔水层时水土自重应力计算；5.土中水平自重应力。2023/10/11土中自重应力的计算73.2土中自重应力的计算1.均质土的自重应力在深度z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力（称竖向自重应力）等于单位面积上土柱体的重力W，如上图所示。在深度z处土的自重应力为：

式中，—为土的重度，KN/m3；F—土柱体的截面积，m2。从上式可知，自重应力随深度z线性增加，呈三角形分布图形。2023/10/11土中自重应力的计算83.2土中自重应力的计算2.成层土的压力计算地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚度为hi，重度为，则在深度z处土的自重应力计算公式为：式中，n—从地面到深度z处的土层数；hi—第i层土的厚度，m。成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于值发生变化的土层界面上。2023/10/11土中自重应力的计算93.2土中自重应力的计算3.有地下水时土自重应力计算当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。通常认为水下的砂性土是应该考虑浮力作用的。粘性土则视其物理状态而定，一般认为：1，若水下的粘性土其液性指数IL＞1，则土处于流动状态，土颗粒之间存在着大量自由水，可认为土体受到水浮力作用；2，若IL≤0，则土处于固体状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用；3，若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按有效重度计算，其计算方法同成层土体情况。2023/10/11土中自重应力的计算104.存在隔水层时水土自重应力计算当地基中存在隔水层时，隔水层面以上土的自重应考虑其上的静水压力作用。3.2土中自重应力的计算

式中，第i层土的天然重度，对地下水位以下的土取有效重度；hw—

地下水到隔水层的距离(m)。在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计（饱和重度）。2023/10/11土中自重应力的计算113.2土中自重应力的计算5.土中水平自重应力式中K。——侧压力系数(静止土压力系数)6.成层土中自重应力计算过程参见下面动画。Question何谓土中应力，计算它有何意义？怎样简化土中应力的计算模型？在工程应用中应该注意哪些问题？2023/10/11基础底面压力的分布和计算123.3基础底面压力的分布和计算建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压力（地基反力）。也就是作用于基础底面土层单位面积的压力，单位为kPa。本节内容1，基础底面地基反力分布2，地基反力的简化计算方法3，基底附加压力的计算2023/10/11基础底面压力的分布和计算133.3基础底面压力的分布和计算1.基础底面地基反力分布基底地基反力的分布规律主要取决于基础的刚度和地基的变形条件。基础刚度的影响

A柔性基础

当基础为完全柔性时，基底压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全一致，如图所示。实际工程中并没有完全柔性的基础，常把土坝(堤)及用钢板做成的储油罐底板等视为柔性基础。

2023/10/11基础底面压力的分布和计算143.3基础底面压力的分布和计算B刚性基础当基础具有刚性或为绝对刚性时，如箱形基础或高炉基础，在外荷载作用下，基础底面保待平面，即基础各点的沉降几乎是相同的。绝对刚性基础的分市情况与基础的刚度、地基土的性质、荷载的作用情况、相邻建筑的位置以及基础的大小、形状、埋置深度等因素有关。

刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外力的增大，其形状相应改变。如下图2023/10/11基础底面压力的分布和计算153.3基础底面压力的分布和计算2023/10/11基础底面压力的分布和计算163.3基础底面压力的分布和计算2.地基反力的简化计算方法根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此，在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是线性分布的简化计算方法。2023/10/11基础底面压力的分布和计算172.1竖直中心荷载作用下当竖直荷载作用于基础中轴线时，基底压力呈均匀分布(右图)，其值按下式计算：3.3基础底面压力的分布和计算式中:p--基底压力(kPa);P—作用于基础底面的竖直荷载(kN)F—上部结构荷载设计值(kN)G—基础自重设计值和基础台阶上回填土重力之和(kN),--基础材料和回填土平均重度，一般取20kN/m3A—基底面积(m2)；A=BL,B和L分别为矩形基础的宽度和长度(m);D—基础埋置深度(m)。2023/10/11基础底面压力的分布和计算183.3基础底面压力的分布和计算2.2单向偏心荷载作用下

2.2.1载荷单向偏心时，基础设计时通常将基底长边方向取与偏心方向一致，而地基边缘反力可按材料力学短柱偏心受压公式计算。

式中：e--竖直荷载的偏心矩(m)；其余意义同上。按上式计算，基底压力分布有下列三种情况：（1）当e<l/6时，pmin为正值，基底压力为梯形分布(下图a)；（2）当e=l/6时，pmin=0，基底压力按三角形分布(下图b)；（3）当e>l/6时，pmin为负值，表示基础底面与地基之间一部分出现拉应力。但实际上，在地基土与基础之间不可能存在拉力，因此基础底面下的压力将重新分布(下图c)。2023/10/11基础底面压力的分布和计算193.3基础底面压力的分布和计算2023/10/11基础底面压力的分布和计算202.2.2载荷双向偏心时，算法同上式中，ex、ey分别为荷载对y轴和x轴的偏心距。3.3基础底面压力的分布和计算Question：当基底压力为负值时，请推导重分布以后基底压力的应力计算公式？2023/10/11基础底面压力的分布和计算213.基底附加压力的计算基础通常是埋置在天然地面下一定深度的，这个深度就是基础埋置深度。由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形。因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)

3.3基础底面压力的分布和计算2023/10/11基础底面压力的分布和计算22基底附加压力可按照下式计算Question如何计算基底压力ｐ和基底附加压力ｐ０？两者概念有何不同？3.3基础底面压力的分布和计算BACK式中:p0--基底附加压力(kN/m3);

p—作用于基础底面的竖直荷载(kN/m3)—基底处自重应力(kN/m2)—基底标高以上天然土层按层厚度的加权重度；基础底面在水位以下，地下水位以下的土层用有效重度计算(kN/m2)

d–基础埋置深度，简称基础埋深(m)3.4集中力作用下土中应力计算

地基附加应力是指外荷载作用下地基中增加的应力。地基中的附加应力是地基发生变形，引起建筑物沉降的主要原因。在计算地基中的附加应力时,把地基看成是均质的弹性半空间，应用弹性力学理论求解。3.4集中力作用下土中应力计算3.4.1集中力作用在地表时的应力计算这里讨论在均匀、各项同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力P时，求解任意点M的应力（见右图）。3.4集中力作用下土中应力计算这个问题，布西奈斯克已在弹性理论中(J.V.Boussinesq,1885)解得。当采用直角坐标时：正应力：剪应力3.4集中力作用下土中应力计算X、Y、Z轴方向的位移分别为：式中x、y、z—M点的坐标E、v—弹性模量及泊松比2023/10/11垂直集中力作用下土中的附加应力27上述应力及位移分量中，应用最多的是竖向正应力及竖向位移：3.4集中力作用下土中应力计算式中:p—作用在坐标原点O点的竖向集中荷载;z—M点的深度；r—M点与集中荷载作用线之间的距离，R—M点与坐标原点的距离，--土的泊松比；E—土的变形模量2023/10/11垂直集中力作用下土中的附加应力28常将z方向正应力写成如下形式式中：α--集中荷载作用下的地基竖向附加应力系数，有α是(r/z)的函数，可制成表一供查用。3.4集中力作用下土中应力计算3.4集中力作用下土中应力计算3.4.2.集中力在土体内的应力计算集中力作用在土体内深度c处，土体内任一点M处应力和位移解由明德林求得：3.4集中力作用下土中应力计算式中；；c为集中力作用点的深度；v为土的泊松比。竖向位移解：式中M为土的模量。2023/10/11分布载荷作用下土中的附加应力313.5分布载荷作用下土中的附加应力3.5.1任意分布荷载作用下土中附加应力计算对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，可用如下方法处理：a.当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载分割为许多集中力，然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力；b.当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解得相应的土中应力。3.5分布载荷作用下土中的附加应力3.5.2圆形均布荷载作用下土中附加应力计算在右图中，圆形面积上作用均布荷载p，计算土中任一点M(r，z)的竖向正应力，采用极坐标时有:可解得：式中为应力系数，是及的函数，可查3-4表得到；

R为圆面积半径；

r为应力计算点M到Z轴的水平距离。3.5分布载荷作用下土中的附加应力3.5.3矩形面积承受竖直均布荷载作用时的附加应力

（一）矩形面积中心点O下土中竖向应力计算右图表示在地基表面作用一分布于矩形面积上的均布荷载p，计算矩形面积中点下深度z处M点的竖向应力值：图3-19矩形面积均布荷载作用下中点及角点竖向应力计算3.5分布载荷作用下土中的附加应力式中，应力系数是和的函数，可查表3-6得。2023/10/11分布载荷作用下土中的附加应力35地基表面有一矩形面积，宽度为B，长度为L，其上作用着竖直均布荷载，荷载强度为p，求地基内各点的附加应力σz。这类问题的求解方法是：先求出矩形面积角点下的附加应力，再利用"角点法"求出任意点下的附加应力。(二)角点下的附加应力角点下的附加应力是指右图中O、A、C、D四个角点下任意深度z处的附加应力。通过应力叠加原理，可计算出均布荷载作用在角点O以下深度z处M点所引起的竖直向附加应力，有3.5分布载荷作用下土中的附加应力2023/10/11分布载荷作用下土中的附加应力36式中：αc为矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数，它是n=L/B和m=z/B的函数，可从表2中查得。(三)任意点的附加应力--角点法利用矩形面积角点下的附加应力计算公式(上式)和应力叠加原理，推求地基中任意点的附加应力的方法称为角点法。角点法的应用分四种情况

3.5分布载荷作用下土中的附加应力3.5分布载荷作用下土中的附加应力（1）A点在矩形面积内(演示)（2）A点在矩形面积边界上3.5分布载荷作用下土中的附加应力（3）A点在矩形面积范围外某边长的一侧（4）A点在矩形面积范围外某边长的一侧（演示）3.5分布载荷作用下土中的附加应力3.5.4矩形面积上作用三角形分布载荷时，土中应力计算。

如右图所示，在地基表面作用矩形面积三角形分布荷载，计算荷载为零的角点下深度z处M点的竖向应力值：式中：应力系数可由表3-9查得。3.5分布载荷作用下土中的附加应力3.5.4均布线荷载作用时土中应力计算在地基土表面作用无限分布的均布线荷载p，如右图所示，计算土中任一点M的应力可用布西奈斯克公式积分求得：3.5分布载荷作用下土中的附加应力若用极坐标表示，上述结果可表示为：2023/10/11分布载荷作用下土中的附加应力423.5.5均布条形荷载下地基中的附加应力条形分布荷载下土中应力计算属于平面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比l／b≥10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理。3.5分布载荷作用下土中的附加应力2023/10/11分布载荷作用下土中的附加应力43如右图所示，在土体表面作用分布宽度为B的均布条形荷载q时,土中任一点的竖向应力σz可用下式求解

式中应力系数αs是n=x/B及m=z/B的函数，可由表３查得。注意：此时坐标轴x的原点是在均布荷载的中点处。3.5分布载荷作用下土中的附加应力2023/10/11分布载荷作用下土中的附加应力443.5.6影响土中应力分布的因素

(一)非线性材料的影响土体是非线性材料，非线性对于土体的竖直附加应力σz计算值有一定的影响，最大误差可达到25-30%。(二)成层地基的影响地基土往往是由软硬不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应属于双层地基的应力分布问题。对双层地基的应力分布问题，有两种情况值得研究：一种是可压缩土层覆盖于刚性岩层上；另一种是硬土层覆盖于软土层上。对于第一种情况，上层土的压缩性比下层土的压缩性高，即E1＜E2