从一道试题多角度分析看“不等式证明”问题的求解策略 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选从一道试题多角度分析看“不等式证明”问题的求解策略摘要：在平时的讲题和教研中，教师对于习题的讲解一定要做到少讲精讲，切不可泛三，以一题破万题的能力.关键词：不等式的证明，构造函数，同构.“不等式证明”问题常与函数、导数、常用逻辑用语等知识联系在一起，求解此类问题往往需要借助多种数学思想方法，因而倍受高考青睐，成为高考试题中的经典题型之一．事实上，也正是由于这类问题涉及的知识面广、综合性强、解法灵活多变，学生在求解时颇感棘手．近日，笔者在进行高三复习时遇见一道“不等式证明”问题，仔细分析之，发现此题可以从多角度入手，将“不等式证明”问题的常见求解策略一网打尽．现将其整理成文，以供研讨指正．题目（2021金考卷全国卷高考测评卷三·理21）已知函数f(x)xlnxmex(mR).(1)当m1时，求函数f(x)的单调区间；e当m2e2

时，求证：f(x)0.本文主要是从第二问分析此类不等式证明的解决策略，故第一问不做解释.一题四法：从不同视角不同的处理方法攻克“不等式证明”问题分析：要证明f(x)xlnxmex0,只需要证明mexxlnx0.思路一 分离参数与变量，构造无参函数求最值．分离参数是一种极为寻常的招数，在解题中往往可以借助分离参数法回避分类讨论．再构造无参函数解题．依题意，要证明f(x)0，只需要证明mxlnx，对任意x0恒成立．ex令g(x)xlnx，则g'(x)lnx1xlnx.ex ex2022年安徽省中小学教育教学论文评选令h(x)lnx1xlnx,h'(x)1lnx1，当x

x0,故

h(x)在区间x上单调递增.当x）时，h'(x)0,故h(x)在区间(1,)上单调递减.h(1 h(因为 )1

0,10,h(2)ln212ln20,h(e)11e0所以e2 e2x2(2,e),使得h(x1)h(x2)0.,当xm1mxlnx,求e2 e求当x）时，g(x)g(x)x2lnx2x

(2,e).

x2lnx2x2lne.令r(x)x 2导易得

ex2 2x22.

ex2

ex2 exex2 e2从而推导出当x）时，g(x)g(x)x2lnx2x2lne2

m.证毕.2 ex2

ex2 e2思路二 直接构造函数，利用不等式性质转化为无参函数的最值问题．解决有参函数分类讨论往往是一道试题的难点，所以快速转化为无参函数是我们首先要考虑到的.思路一利用的是参数分离，本题还可以用不等式性质构造无参函数.m2mexxlnx2exxlnx.要证明mexxlnx0，只需要证明2exxlnx0.e2g(x)2exxlnx

e2 e2g'(x)2exlnx1令 e2

，则 e2 .g''(x)2ex1，g''(x)在x(0,)为增函数.g''(1)210,g''(2)210.可以推e2 x e 2出使得g''(x0)0.x(0,x0),g'(x)为减函数，x(x0,),g'(x)为增函数.1又因为g'(1)2eeln(1)10,g'(1)210,g'(2)2ln210.1e e2 e ex2(1,2)使得g'(x1)g'(x2)0.当x(0,)和xg(x)为增函数当x(x1,x2),g(x)为减函数.当xlnx0,所以g(x)0,当x）时，g(x)g(x)2ex2x

lnxg'(x)2ex2lnx

10.所以可以2 e2 2 2

2 e2 2推出g(x2)lnx21x2lnx2(1x2)lnx2又x21x20,0lnx21,1(1x2)lnx2(1x2)lnx210,

f(x)f(x2)思路三 先对不等式作等价变形，再构造无参函数转化球最值问题．2022年安徽省中小学教育教学论文评选上述思路2中直接构造差函数2exxlnx0xlnx”中的“lnx”依e2然存在，一般来说，这可能会导致不易求得导函数零点、判断导函数的正负情况……是否可以考虑对不等式2exxlnx0进行等价变形呢？比如不等式两边同除以xe22 ex2形为 exlnx0，即2 lnx0，故有思路3．xe2

x2(x1)ex2x令g(x)2ex2lnx，则g'(x) .x x2令h(x)2(x1)ex2x,h'(x)2xex21，h'(x)在x(0,)为增函数.210,h'(2)410,所以可以推出一定e使得h'(x0)0

h(x)在x(0,x0)为减函数,在x(x0,)为增函数.当x且g'(2)当x0;当x(2,)时,g'(x)0.可得g(x)在x(2,)时为增函数，所以g(x)g(2)1ln2思路四 同构百般好，灵活是关键．ex2由思路三得只需证明2x

lnx0.ex2将式子变形2 lnxex2ln2lnxlnxex2ln2lnx(x2ln2lnx)1xln2lnx1lnxex2ln2lnx(x2ln2lnx)1xln(x)1lnxex2ln2lnx(x2ln2lnx)1xln(x)12 2 2 xln2 接下来较容易证明ex2ln2lnx(x2ln2lnx)10,xln(x)10,xlnx2 2 2总之，在平时的教与学中，如果我们能抓住看似普通的典型题目，站在常用数学思想和方法的高度，以培养思维能力和创新能力为目标，从多角度，多方位分析和优化解法，必能以一题破万题，从而有效地减轻学习负担，提高学习效率．2022年安徽省中小学教育教学论文评选参考文献[1]吴利华：强化思想意识，