采样点数对zrnke多项式拟合精度的影响

采样点数对zrnke多项式拟合精度的影响

光学元件曲面拟合在光学系统的研究中，有必要调整检测到的光学元件的结构。Zernike多项式由于在单位圆上加权正交、系数相互独立、且其系数易与Seidel像差函数建立联系的性质常被作为基底函数系来拟合光学元件曲面。在进行曲面拟合时,采样点数目选取较少,拟合精度很差;采样点数目选取较多,会使得测量工作量大增,耗费较多的人力物力。因此,有必要对Zernike多项式拟合曲面中采样点数目进行一定的研究。1矛盾方程的解析法要拟合的曲面用n项Zernike多项式表示为W(x,y)=a1Z1(x,y)+…+anZn(x,y)=ATZ(1)式中:A=(a1,a2,…,an)T为Zernike多项式系数;Z=[Z1(x,y),Z2(x,y),…,Zn(x,y)]为n项Zernike多项式。现有m个离散数据点Wi(xi,yi),令qij=zj(xi,yi),i=1,2,…,n。代入(1)式得到矛盾方程组(m>n)q11a1+q12a2+⋯+q1nan=W1q21a1+q22a2+⋯+q2nan=W2⋯qm1a1+qm2a2+⋯+qmnan=W1⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(2)q11a1+q12a2+⋯+q1nan=W1q21a1+q22a2+⋯+q2nan=W2⋯qm1a1+qm2a2+⋯+qmnan=W1}(2)该矛盾方程一般不存在通常意义下的解,得到的解是最小二乘解。在实际应用中,为改善方程组的条件矩阵,发展了两种算法,一是从基底函数入手,通过变换函数族的基底来改善法方程组状态;二是直接从矛盾方程入手,应用Householder变换把系数正交三角化,直接求解拟合系数。2zern东南角项数的拟合规律由上节可以看出,拟合曲面时首先需要对曲面进行采样。采样点的数目过少时,拟合得到的Zernike多项式所表示的曲面与实际的曲面形状之间的误差过大;采样点的数目过多,则会使得计算量增大,计算时间过长,而且采样的工作量大增,耗费较多的人力物力。本节将针对这一问题加以分析研究。整个研究方法是基于不完全归纳法进行的。分析过程分以下几个步骤:1)建立一个测试函数来表示曲面形状。2)拟合得到的Zernike多项式所表示的曲面与实际的曲面形状之间的误差用均方根值(RMS)来表示,计算得到RMS与采样点数目的关系图以及RMS与采样点数目、Zernike多项式的项数的关系图,并总结与拟合精度相关的规律。3)换一个新的测试函数来表示曲面形状,重复步骤1)和2),总结得到相同的规律。首先,建立第1个测试函数z(x,y)=x2+3y3+5y,0≤x,y≤1(3)并在x和y方向均匀采样,得到的采样点数目与RMS值的关系图见图1,曲线1～16分别代表Zernike项数为:4,6,8,12,18,24,32,40,50,72,90,98,144,200,242,288时的情况。由图1可以得到以下的规律:1)RMS值随着采样点数目成反变化。而且,在关系图中的曲线一般存在一个明显的曲线曲率变化点,当采样点数目大于该点时,RMS值随着采样点数目变化的速度变得非常缓慢。2)Zernike多项式的项数太少时,RMS值非常大。这表明此时的拟合效果很差,采样点数目的增大不能使得RMS值降低至一个令人满意的数值。3)当Zernike多项式的项数大于一定值后,在相同的采样点数目情况下,Zernike多项式的项数越多,RMS值越大。或者说,在相同的RMS值要求下,Zernike多项式的项数越多,需要的采样点的数目也越多。随着采样点数目增大,不同项数Zernike多项式拟合曲线趋于相同的数值。由规律2)和3)可以看出,对于一个需要拟合的曲面来说,存在一个最为合适的Zernike多项式的项数。当拟合所用的Zernike多项式的项数小于这个合适值时,RMS值比较大,拟合精度较差。当拟合所用的Zernike多项式的项数大于这个合适值时,拟合所用的Zernike多项式的项数则越多,得到的RMS值也越大。因此要尽可能选用较少项数的Zernike多项式来进行曲面拟合。由规律3)可知,RMS值与Zernike多项式的项数具有一定的关系。当以采样点数目与Zernike多项式项数的比值作为自变量RMS为因变量时,得到的样项比(采样点数目与Zernike多项式项数的比值)与RMS值的关系图见图2。曲线1～16分别代表Zernike项数为:4,6,8,12,18,24,32,40,50,72,90,98,144,200,242,288时的情况。由图2可以看出,当Zernike多项式的项数小于30时,样项比大于10以后,RMS值的变化已经很小,因此一般可以采用样项比等于10来确定拟合所需要的采样点的数目;当Zernike多项式的项数为30～100时,样项比大于6以后,RMS值的变化已经很小,拟合精度已经很好,因此一般可以采用样项比等于6～10来确定拟合所需要的采样点的数目,Zernike多项式的项数越趋近于100,所选取的样项比越趋近于6。当Zernike多项式的项数为100～300时,样项比大于4以后,RMS值的变化已经很小,因此一般可以采用样项比等于4～6来确定拟合所需要的采样点的数目,Zernike多项式的项数越趋近于300,所选取的样项比越趋近于4。为了使得结论更加具有一般性,再建立两个不同的测试函数加以对比验证。建立第2个测试函数z(x,y)=sin(2x3+3x2+2y4+y3+5y)(4)在x和y方向均匀采样,得到的采样点数目与RMS值的关系图见图3。曲线1～14分别代表Zernike项数为8,12,18,24,32,40,50,72,90,98,144,200,242,288的情况。得到的样项比(采样点数目与Zernike多项式项数的比值)与RMS值的关系图参见图4。建立第3个测试函数z(x,y)=actan(x2+2x+2y3+y)+e0.1x+0.03y2+2x1.9+7y3.8(5)并在x和y方向均匀采样,得到的采样点数目与RMS值的关系图见图5。曲线1～14分别代表Zernike项数为4,8,12,18,24,40,50,72,90,98,144,200,242,288的情况。得到的样项比(采样点数目与Zernike多项式项数的比值)与RMS值的关系图参见图6。由图3～图6知,虽然测试函数不同,但与第1个测试函数所得到的采样点数目与RMS及样项比的变化规律相一致。另外,通过对更多的测试函数加以对比验证,可以得到相同的变化规律,受篇幅所限,这里不再一一列出。3采样点数目对拟合精度的影响在实际的曲面拟合中,元件的曲面形状一般表示为一个简单的基本曲面和一个由Zernike多项式所组成的形变曲面的和。以某个元件的曲面拟合为例,通过优化设计得到的形变面的等高线图见图7(a)。其中x和y值为归一化的值,因此为无量纲值。采用162个Zernike项数所组成的Zernike多项式对形变面进行曲面拟合。按照Zernike多项式的项数为100～300时,样项比取5确定的拟合所需要的采样点的数目为810。均匀采样870个点拟合所得到的形变面等高线图见图7(b),此时计算得到的RMS值为0.00238;均匀采样1297个点拟合所得到的形变面等高线图见图7(c),此时计算得到的RMS值为0.00212;均匀采样1959个点拟合所得到的形变面等高线图见图7(d),此时计算得到的RMS值为0.00204;对比图7(a)和图7(b)可知在采样点为870个时拟合得到的形变面等高线图与初始的形变面等高线图相差不大,大部分区域的形状都比较一致。图7(c)、图7(d)与图7(a)相比,虽然采样点数分别增大了1.49和2.25倍,但等高线图变化很小,RMS值也仅仅分别减小了11%和14%,而且可以看出,随着采样点数目的进一步增多,RMS值减小的趋势也越来越缓慢,这些都和上面所得到的拟合精度与采样点数目关系的规律是相符的。采样点数目对于Zernike多项式拟合曲面具有重要的实际意义。本文中采用不完全归纳法建立不同的测试函数,研究采样点数目与RMS及样项比的变化关系。发现虽然测试函数不同,但它们遵循相同的变化规律,并由该规律总结得到采用Zernike多项式拟合曲面时拟合精度较好时的采样点数目的经验公式:当Zernike多项式的项数小于30时,采样点的数目可以取为10倍Zernike多项式的项数;当Zernike多项式的项数为30～100时,采样点的数目可以取为6～10倍Zernike多项式的项数,所取采样点数目与Zernike多项式项数为反变化关系;当Zernike多项式的项数为100～300时,采样点的数目可以取为4～6倍Ze