高中数学一轮复习考点专题59 新信息背景下的数列问题 (含解析)

PAGE1-版权所有@高考资源网微专题59新信息背景下的数列问题含“新信息”背景的数列问题，以其难度通常位于试卷的最后一题。此类问题有以下几个难点：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”。但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向。三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系，即前面问题的处理是为了最后一问做好铺垫。但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加。本节通过10道例题来说明如何对这种“新信息”题目进行理解与分析，如何寻找到解题的突破口与思路一、基础知识：1、此类问题常涉及的知识点（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式（2）数列的单调性（3）放缩法证明不等式（4）简单的有关整数的结论（5）数学归纳法与反证法2、解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索。（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。二、典型例题：例1：定义：若对任意SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0都为完全平方数，则称数列SKIPIF1<0为“完全平方数列”；特别的，若存在SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0为完全平方数，则称数列SKIPIF1<0为“部分平方数列”（1）若数列SKIPIF1<0为“部分平方数列”，且SKIPIF1<0，求使数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0为完全平方数时SKIPIF1<0的值（2）若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，那么数列SKIPIF1<0是否为“完全平方数列”？若是，求出SKIPIF1<0的值；若不是，请说明理由（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列解：（1）思路：依题意可知先求出SKIPIF1<0的表达式，再根据表达式的特点寻找到完全平方式即可SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是完全平方数（2）思路：若要观察SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和是否为完全平方数，则要先求出SKIPIF1<0的通项公式。由SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为完全平方式，所以若SKIPIF1<0有些项为SKIPIF1<0中对应项的相反数，则再求和时很有可能不是完全平方数。根据SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可知只有SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒大于0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“完全平方数列”；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0中存在部分项小于0，可知SKIPIF1<0不是“完全平方数列”解：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和即为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为“完全平方数列”当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不是完全平方数SKIPIF1<0不是“完全平方数列”综上所述：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是“完全平方数列”，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不是“完全平方数列”（3）思路：依题意可知该等差数列的前SKIPIF1<0项和公式应为完全平方式，由等差数列求和公式SKIPIF1<0出发，可将其通过配方向完全平方式进行靠拢，可得：SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0利用整数的特性求解即可。解：设所求等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为“完全平方数列”则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为完全平方式SKIPIF1<0SKIPIF1<0由①可令SKIPIF1<0由②令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0代入到③可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合上式SKIPIF1<0综上所述，SKIPIF1<0例2：已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的最小值；（3）当SKIPIF1<0时，给出一个新数列SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0设这个新数列的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0可以写成SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)的形式，则称SKIPIF1<0为“指数型和”．问SKIPIF1<0中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．（1）思路：证明SKIPIF1<0为等比数列，可以利用条件中的SKIPIF1<0作为中间桥梁寻找SKIPIF1<0的关系，则有SKIPIF1<0，只需找到SKIPIF1<0的关系，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，进而代入解出SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为公比是SKIPIF1<0的等比数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：由（1）可解出SKIPIF1<0，进而可求出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可在SKIPIF1<0的情况下得到关于SKIPIF1<0的恒成立不等式，从而通过参变分离可求出SKIPIF1<0的范围：SKIPIF1<0，再验证SKIPIF1<0是否成立即可解：由（1）可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0（3）思路：SKIPIF1<0时，可代入求出SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，利用“指数型和”的定义，可先求出SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，从而将问题转化为SKIPIF1<0可否写成SKIPIF1<0的形式，本题不便将SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0的形式，所以考虑利用等式转化为方程是否有解的问题。即判断SKIPIF1<0是否有解。SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0只是SKIPIF1<0个2相乘，所以可通过对分解后的每个因式能否表示为SKIPIF1<0的形式进行讨论即可。解：由（1）可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0假设SKIPIF1<0中的项存在“指数型和”，则SKIPIF1<0使得：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时：SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，为“指数型和”当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为偶数，则SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0为奇数SKIPIF1<0为奇数，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为奇数，则SKIPIF1<0为偶数，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0个奇数之和也为奇数SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为奇数时，不存在“指数型和”综上所述：只有SKIPIF1<0为“指数型和”例3：如果存在常数SKIPIF1<0使得数列SKIPIF1<0满足：若SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中的一项，则SKIPIF1<0也是数列SKIPIF1<0中的一项，那么就称数列SKIPIF1<0为“兑换数列”，常数SKIPIF1<0是它的“兑换系数”（1）若数列：SKIPIF1<0是“兑换系数”为SKIPIF1<0的“兑换数列”，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值（2）若有穷递增数列SKIPIF1<0是“兑换系数”为SKIPIF1<0的“兑换数列”，求证：数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（3）已知有穷等差数列SKIPIF1<0的项数是SKIPIF1<0，所有项之和是SKIPIF1<0，试判断数列SKIPIF1<0是否为“兑换数列”？如果是，给予证明，并用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明理由（1）思路：依照“兑换数列”的定义可知，SKIPIF1<0应均在数列中，在第（1）问中涉及两个变量SKIPIF1<0，故考虑寻找两个等量，通过方程解决。其最重要的等量关系就是找到SKIPIF1<0是数列中的哪一项。通过排序可知SKIPIF1<0，则通过不等式性质可知：SKIPIF1<0，此数列一共就4项且单调递增，所以得SKIPIF1<0，从而解得SKIPIF1<0解：由已知可得：SKIPIF1<0在“兑换数列”中，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0也在该数列中，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：第（1）问提供了这样一个思路：如果数列是有限数列且单调，则由SKIPIF1<0对应生成的数列也单调，且单调性相反。由“兑换数列”的定义即可知两个数列中项应存在相等关系。所以利用这个特征可知在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0能够得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据首尾和是个常数的特点可知求和时使用倒序相加法即可得到SKIPIF1<0解：不妨设有穷数列SKIPIF1<0的项数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0为递增数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）思路：由（2）可得：若有穷单调数列SKIPIF1<0为“兑换数列”，则要满足SKIPIF1<0。那么在等差数列SKIPIF1<0中，有性质SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，所以就可得到：SKIPIF1<0，且等差数列若不是常数列，则为单调数列。由这两点并结合（2）的思路则可证明等差数列均为“兑换数列”，SKIPIF1<0，再通过等差数列前SKIPIF1<0项和公式即可解出SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是“兑换数列”，证明如下：设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0递增SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0同理，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0递减SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为常数列，只需SKIPIF1<0即可，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0为“兑换数列”SKIPIF1<0由（2）可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4：设数列SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0；②所有项SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．设集合SKIPIF1<0，将集合SKIPIF1<0中的元素的最大值记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中满足不等式SKIPIF1<0的所有项的项数的最大值．我们称数列SKIPIF1<0为数SKIPIF1<0的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（1）若数列SKIPIF1<0的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的伴随数列SKIPIF1<0的前30项之和；（3）若数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0常数），求数列SKIPIF1<0的伴随数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（1）思路：首先要根据例子及定义理解什么是“伴随数列”，“SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中满足不等式SKIPIF1<0的所有项的项数的最大值”，则意味着SKIPIF1<0每取一个值SKIPIF1<0，则可通过解不等式SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的最大值即为SKIPIF1<0，那么按此规律可知在（1）中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，说明在SKIPIF1<0中，小于等于3的只有1项，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0（2）思路：由（1）可知：伴随数列SKIPIF1<0中的项即为解不等式SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的最大值，本题已知SKIPIF1<0，则可建立不等式SKIPIF1<0，则对SKIPIF1<0取每一个值，计算SKIPIF1<0的最大值即可。例如SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；以此类推便可寻找到规律，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，抓住这个规律即可得到SKIPIF1<0的前30项，进而求和若考虑解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前30项和为SKIPIF1<0（3）思路：已知SKIPIF1<0即可求出数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，再结合（2）对“伴随数列”定义的使用，即可建立不等式SKIPIF1<0，从而可得到：SKIPIF1<0，根据项的的特点可考虑以相邻两项为一组进行求和，则需对项数进行奇偶分类讨论，进而得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0例5：对于数列SKIPIF1<0，若满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“SKIPIF1<0数列”，定义变换SKIPIF1<0：将“SKIPIF1<0数列”SKIPIF1<0中原有的每个1都变成SKIPIF1<0，原有的每个0都变成SKIPIF1<0.例如：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0数列”，令SKIPIF1<0（1）若数列SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0（2）若数列SKIPIF1<0共有10项，则数列SKIPIF1<0中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由（3）若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0中连续两项都是SKIPIF1<0的数对个数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的表达式（1）思路：依题意可知变换SKIPIF1<0的特点为1项分裂为2项，所以可将SKIPIF1<0中的项两两一组，再根据规则即可还原为SKIPIF1<0，照此方法即可得到SKIPIF1<0解：由变换SKIPIF1<0的规则可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：首先可先观察两次变换的特点，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，发现无论是从1开始还是从0开始，两次变换后均可得到一对相邻的数，且首尾也相同，这意味着若SKIPIF1<0中若含相邻的数，则两次变换后这两个数生成的数首尾也将连接成相邻的数对，例如：SKIPIF1<0。进而可知：SKIPIF1<0共有10项，那么两次变换后至少会有SKIPIF1<0对，（例如当SKIPIF1<0时）若作两次SKIPIF1<0变换：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的每一项通过两次SKIPIF1<0变换均生成一对两项相等的数对，所以至少有10对（3）思路：依题意可将SKIPIF1<0视为一个数列，则所求即为该数列的通项公式。由数列的知识可知，求通项公式常用的手段有三种：利用数列中的项寻找规律并证明；通过递推公式；通过求和公式。所以若不愿列出具体项寻找规律，则需要先找到关于SKIPIF1<0的一个递推公式，即寻找第SKIPIF1<0次变换与前几次变换SKIPIF1<0数对的联系。由（2）可知，若产生SKIPIF1<0数对，则上一步只能为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0数对的个数与上一步SKIPIF1<0数对（记为SKIPIF1<0）的个数相同。即SKIPIF1<0，再考虑SKIPIF1<0数对的来源，共有两个，一个是由上一步的SKIPIF1<0得到，一个是由上一步的SKIPIF1<0得到由SKIPIF1<0变换的规则及（2）可知：SKIPIF1<0中SKIPIF1<0数对只能由SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0数对生成，SKIPIF1<0中的1共有SKIPIF1<0个（因为每一次变换生成相同个数的SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中含SKIPIF1<0个1，SKIPIF1<0个0），所以SKIPIF1<0，联立两个等式可得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0即可得到关于SKIPIF1<0的递推公式，然后再求得SKIPIF1<0的通项公式即可解：设SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0数对SKIPIF1<0①另一方面：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的总个数相等SKIPIF1<0中项有SKIPIF1<0个SKIPIF1<0中SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个而SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0数对从SKIPIF1<0处只有两条途径能够得到：一个是由SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0得到（SKIPIF1<0个），一个是由SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0得到（SKIPIF1<0个）SKIPIF1<0②由①②可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为奇数时：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0例6：已知数列SKIPIF1<0是正整数SKIPIF1<0的一个全排列，若对每个SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0数列（1）写出满足SKIPIF1<0的所有SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0（2）写出一个满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的通项公式（3）在SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0中，记SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，求证：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解：（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）思路：SKIPIF1<0中的项为SKIPIF1<0的一个全排列，所以在构造SKIPIF1<0最好符合一定的规律，以便于写出通项公式，由（1）的启发可知SKIPIF1<0的前5个数可为第（1）问中的一种情况，因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即只关心相邻两项的差，故SKIPIF1<0可为SKIPIF1<0的一个排列，且SKIPIF1<0，这样就保证了在第2组SKIPIF1<0中，相邻项的差均符合条件，只需验证SKIPIF1<0即可：以SKIPIF1<0为例，则SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0符合题意。按此规律构造，5个数为一组，第SKIPIF1<0组的数为第SKIPIF1<0组对应的数加上5，从而得到SKIPIF1<0解：由（1）可知SKIPIF1<0，记为SKIPIF1<0的第一组数考虑构造数列满足SKIPIF1<0，则对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合要求SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0（3）思路：若SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0中相邻项的差为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0必然由若干个SKIPIF1<0组成，但不会同时出现SKIPIF1<0且不会同时出现SKIPIF1<0（否则数列会出相同项，不符题意）即SKIPIF1<0可以写成SKIPIF1<0的形式，且SKIPIF1<0，由此可解得SKIPIF1<0，然后根据SKIPIF1<0的取值分别进行验证，看SKIPIF1<0中的项是否在SKIPIF1<0中（主要抓住SKIPIF1<0），即可判断出SKIPIF1<0的值只能是SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0且由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不符题意②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不符题意③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符题意当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以可以找到这样的SKIPIF1<0使之成立（例如第（2）问中的结论）④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0不符题意⑤若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符题意当SKIPIF1<0时，同③可以找到这样的SKIPIF1<0使之成立（例如第（2）问中的结论）⑥若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不符题意综上所述，若SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例7：若有穷数列SKIPIF1<0满足：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则称该数列为“SKIPIF1<0阶非凡数列”（1）分别写出一个单调递增的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”（2）设SKIPIF1<0，若“SKIPIF1<0阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式（3）记“SKIPIF1<0阶非凡数列”的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，求证：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0解：（1）3阶非凡数列：SKIPIF1<04阶非凡数列：SKIPIF1<0（2）思路：首先明确其通项公式应该是关于SKIPIF1<0和序数SKIPIF1<0的表达式，要求得通项公式，关键要确定SKIPIF1<0，因为非常数列的等差数列为单调数列，所以由SKIPIF1<0一方面利用等差数列性质可得到SKIPIF1<0，另一方面也可知该数列以SKIPIF1<0为分界线，左右两侧分为正项与负项（与SKIPIF1<0的符号有关），可分SKIPIF1<0进行讨论。当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为递增数列，从而可知SKIPIF1<0为负项，SKIPIF1<0为正项。再由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而用SKIPIF1<0可表示出SKIPIF1<0，另一方面SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0均可用SKIPIF1<0表示，所以可求得其通项公式。按同样的方法可求出SKIPIF1<0时的通项公式解：设等差数列的公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为递增数列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为递减数列，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）①证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②思路一：本题的难点在于不知SKIPIF1<0中各项的符号，但从（1）（2）问可得到一个规律，任意“归化数列”SKIPIF1<0，其正项和为SKIPIF1<0，负项和为SKIPIF1<0，进而可以考虑在求和时正项一组，负项一组进行放缩。解：依题意可得：SKIPIF1<0中的项有正有负设SKIPIF1<0中的正项为SKIPIF1<0，负项为SKIPIF1<0，零项为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0（所有系数放大为1）SKIPIF1<0（所有系数变为SKIPIF1<0）SKIPIF1<0思路二：本题从通项公式入手，考虑SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，合并同类项即可得到：SKIPIF1<0，联想到裂项相消，且由第①问可知SKIPIF1<0，可利用放缩及绝对值不等式得到SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即不等式得证小炼有话说：（1）对于“新概念”的题目，要善于利用具体实例或者前面的小问掌握其规律，为最后一问做准备。在本题中通过前两问所总结出的“正项和为SKIPIF1<0，负项和为SKIPIF1<0”即为第三问的突破口（2）从一个已知数列中抽出若干项形成新数列，要善于运用双字母进行书写。可参考本题中的写法。SKIPIF1<0可以表示出新数列的项源自于SKIPIF1<0的第几项，而SKIPIF1<0表示新数列中该项的序数。一种写法，两个含义均显现其中。例8：对于数列SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0作为新数列SKIPIF1<0的第一项，把SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）作为新数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项，数列SKIPIF1<0称为数列SKIPIF1<0的一个生成数列．例如，数列SKIPIF1<0的一个生成数列是SKIPIF1<0．已知数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的生成数列，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．（1）写出SKIPIF1<0的所有可能值；（2）若生成数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）证明：对于给定的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的所有可能值组成的集合为SKIPIF1<0．（1）思路：由“生成数列”的定义可知SKIPIF1<0的前三项可能的值为SKIPIF1<0，进而通过不同的组合可求得SKIPIF1<0解：由已知可得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可能的求和为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0可能的取值为SKIPIF1<0（2）思路：本题已知SKIPIF1<0的表达式，可类比在数列中已知SKIPIF1<0求数列通项的方式，得到SKIPIF1<0，计算可得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0生成数列可得：SKIPIF1<0，通过合理组合即可得到：SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0通项公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的生成数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则以上各种组合中，只有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）思路：由生成数列的定义可知SKIPIF1<0，所以其SKIPIF1<0共计SKIPIF1<0中情况。而观察SKIPIF1<0中元素的个数恰好也为SKIPIF1<0个（SKIPIF1<0从SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0个），且本题无法一一计算出SKIPIF1<0，故从SKIPIF1<0可取的值的个数与SKIPIF1<0元素个数相等作为突破口，若要证SKIPIF1<0取值集合所给集合相等，则可通过两个步骤证明：一是证明SKIPIF1<0的值一定都在SKIPIF1<0中，可通过SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为奇数可得，二是证明对于不同的生成数列，其和也必然不同（利用反证法），进而再利用SKIPIF1<0可取的值的个数与SKIPIF1<0的个数均为SKIPIF1<0即可证明结论SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0种情况SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为奇数满足SKIPIF1<0且分子为奇数的SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0种SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0种情况SKIPIF1<0只需证明两个不同的生成数列，其和不同即可设数列SKIPIF1<0为两个不同的生成数列，且和分别记为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0为生成数列，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不同SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0种不同的生成数列，其和共有SKIPIF1<0种可能SKIPIF1<0只有SKIPIF1<0种可能∴SKIPIF1<0可能值必恰为SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0个．SKIPIF1<0SKIPIF1<0的所有可能值组成的集合为SKIPIF1<0例9：有限数列SKIPIF1<0同时满足下列两个条件：①对于任意的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0；②对于任意的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三个数中至少有一个数是数列SKIPIF1<0中的项.（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）证明：SKIPIF1<0不可能是数列SKIPIF1<0中的项；（3）求SKIPIF1<0的最大值解：（1）由①可知：SKIPIF1<0考虑SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0三个数至少有一个在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0均不在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：本题并不容易去证明“不可能”，故考虑用反证法，先假设可能，再推出矛盾。若SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0中至少有一项在SKIPIF1<0里，此时就会“创造出一项”位于SKIPIF1<0中，进而可知这种“创造”是无休止的，所生成的新的项要大于之前的每一个数（数列递增）那么以此类推下去，SKIPIF1<0的项数会无限增加下去，与“SKIPIF1<0为有限数列”矛盾。所以本题的证明可以以“SKIPIF1<0为有限数列”为突破口，假定最后的三项为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0比SKIPIF1<0都大，那么只能为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理对于SKIPIF1<0，也可得到SKIPIF1<0，从而推出SKIPIF1<0，与数列递增矛盾。所以SKIPIF1<0不可能是数列SKIPIF1<0中的项解：（反证法）：假设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0中的项由②可知：6，10，15中至少有一个是数列SKIPIF1<0中的项，则有限数列SKIPIF1<0的最后一项SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.由①，SKIPIF1<0.对于数SKIPIF1<0，由②可知：SKIPIF1<0；对于数SKIPIF1<0，由②可知：SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，这与①矛盾.所以SKIPIF1<0不可能是数列SKIPIF1<0中的项.（3）思路：本题的主旨在于尽可能构造项数多的SKIPIF1<0，由（2）的证明过程可提供一条线索，当大于1的项超过3项时，则不成立，所以可知SKIPIF1<0中至多有3项，且这3项中两项的乘积等于第三项。同时还可对其进行推广得到SKIPIF1<0中至多有3项，绝对值大于1；然后可将这种思路拓展至其它范围，比如绝对值在0至1之间同理也至多只有3项。再补充上SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，可构造为SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，证明如下：（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0符合①、②.（2）设SKIPIF1<0符合①、②，则：①SKIPIF1<0