2022-2023学年广东省惠州市马安中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年广东省惠州市马安中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域是A.

B.

C.D.参考答案：D2.已知集合，，那么（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：C，所以，选C.3.已知A、B均为集合的子集，且则

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：5.在棱长为1的正四面体A-BCD中,E是BD上一点,,过E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】作图可分析，设过作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆，则必垂直于该截面，设小圆的半径为，则必有，进而求解即可【详解】根据已知条件，作图如下：在棱长为1的正四面体中，从图中可见，该正四面体在棱长为的正方体内，，，，设为中点，，在中，，设过作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积最小的截面为小圆，则必垂直于该截面，设小圆半径为，，,在，,则必有则所得截面面积的最小值为故答案选B【点睛】本题考查立体几何的截面问题，解答的难点在于把截面面积最小的情况转化为所截的圆面问题，进而列式，属于难题6.函数的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，即可得出结论．【解答】解：由题意，函数在（﹣1，1）上单调递减，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，故选A．7.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在上的如下函数：①；

②；

③；

④则其中是“保等比数列函数”的的序号为（

）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

参考答案：C8.函数在坐标原点附近的图象可能是（

）参考答案：A9.设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2 B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2参考答案：D考点： 映射．专题： 应用题．分析： 按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．解答： 解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2，当x=2时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．点评： 本题考查映射的定义，一个对应能构成映射时，必须使A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素10.已知圆C的方程为，点M在直线上，则圆心C到点M的最小距离为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得出结果.【详解】因为圆的方程为，所以其圆心坐标为，又在直线上，所以求圆心到点的最小距离，即是求圆心到直线的距离，由点到直线距离公式可得：.故选C【点睛】本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．12.设,集合则的值是

参考答案：-113.已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}的通项公式为___．参考答案：【分析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．【详解】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是______．参考答案：[0,2]【分析】利用椭圆的定义，化简，再利用函数的单调性，即可求出的取值范围．【详解】解：，因为且函数在上单调递增，所以，故．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15.__________．参考答案：216.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。（I）直方图中的值为

；（II）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为

。

第11题图

参考答案：，【相关知识点】频率分布直方图17.已知函数满足，且时，,则函数与的图象的交点的个数是

.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，函数．（1）讨论的单调性．（2）若，证明：．参考答案：（1）∵，∴定义域是又，①当时，在单调递减；②当时，∴在递增，在递减，（2）时，，，要证，问题转化为证明，整理得：恒成立，令，，故在递减，在递增，故，故存在，使得，故当或时，递增，当时，递减，故的最小值是或，由，得，，∵，故，故时，，原不等式成立．19.（本小题满分12分）已知，，其中.且满足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.参考答案：(Ⅰ)由题意知，由得，，

……3分∵，又，∴，∴………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得

………………

7分∵，，∴，.

…………

9分又∵有解，即有解，∴，解得，所以实数的取值范围为.…12分20.（14分）

设关于x的方程有两个实根α、β，且。定义函数

（I）求的值；

（II）判断上单调性，并加以证明；

（III）若为正实数，①试比较的大小；

②证明参考答案：解析：（I）解：的两个实根，

…………3分

（II），

…………4分当

…………5分而，上为增函数。

…………7分

（III）①

…………9分由（II），可知

…………10分②同理，可得

…………12分又由（I），知所以

…………14分21.（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望．参考答案：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72.

……………（3分）众数的估计值为75分

……………（5分）所以，估计这次考试的平均分是72分．

……………（6分）（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II）从95，96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是，有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是，两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率

……………（8分）随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有．∴∴变量的分布列为：0123P

…………（10分）

…………（12分）

解法二.随机变量满足独立重复试验,所以为二项分布,即………（10分）

…………（12分）22.设已知抛物线C：y2=2px的焦点为F1，过F1的直线l与曲线C相交于M，N两点．（1）若直线l的倾斜角为60°，且|MN|=，求p；（2）若p=2，椭圆+y2=1上两个点P，Q，满足：P，Q，F1三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．参考答案：【分析】（1）直线l的方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，利用弦长公式，求p；（2）分类讨论，求出弦长，表示面积，即可得出结论．【解答】解：（1）直线l的方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，整理可得=0，∴xN+xM=，∵|MN|=，∴+p=，∴p=2