2022-2023学年河北省保定市林屯中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河北省保定市林屯中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在上的函数满足：且，其中为的导函数，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a–b|=A． B．2C．5 D．50参考答案：A由题意知，所以.

3.抛物线y2=2x的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣ C．x=﹣1 D．x=﹣参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程是：x=﹣．故选：D．4.点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：D如图，以为原点，以，，方向为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，（其中，），∴的取值范围是．故选．5.将函数y＝2sinx的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数y＝f（x）的图象，则f（x）的一个解析式是A．y＝2sin（x＋）

B．y＝2sin（x－）C．y＝2sin（x＋1）

D．y＝2sin（x－1）参考答案：B6.如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的表面积为（）A．（+1）π B．（+2）π C．（+3）π D．（+4）π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，即可得出该几何体的表面积．【解答】解：由一个圆柱挖去一个圆锥所得的几何体，∴该几何体的表面积S=π×12+2π×1×1+×2=（3+）π．故选：C．【点评】本题考查了圆柱与圆锥的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.（5分）已知曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）（w＞0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，]，则x0=（）A．B．C．D．参考答案：C【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题．8.复数=A．-2 B．-2i C．2 D．2i参考答案：D略9.已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3]参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数f（x）=3sin（ωx﹣）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定ωx﹣的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案【解答】解：由题意可得ω=2，∵x∈[0，]，∴ωx﹣=2x﹣∈[﹣，]，由三角函数图象知：f（x）的最小值为3sin（﹣）=﹣，最大值为3sin=3，所以f（x）的取值范围是[﹣，3]，故选：D10.已知恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲）如右图，直角三角形中，，，以为直径的圆交边于点，，则的大小为

参考答案：略12.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果的力能使弹簧伸长，则把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功为__________．（单位：焦耳）参考答案：1.2略13.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm．参考答案：考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：求出球的体积，利用圆锥的体积与球的体积相等，求出圆锥的高，然后求出圆锥的母线长即可．解答：解：由题意可知球的体积为：=，圆锥的体积为：=，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以，所以h=4，圆锥的母线：=．故答案为：．点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．14.已知函数，则________;参考答案：-4略15.如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可．【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，可得BC=千米，AC=10﹣=千米．∠DAC=120°，CD==．（千米）．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．16.已知函数的最小正周期为

.参考答案：答案：

17.已知全集U=R，集合，则集合=________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数。（1）若，求的最大值和最小值；（2）若，求的值。参考答案：解：（Ⅰ）．又，，，．（II）由于，所以解得

19.（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题： 概率与统计．分析： （Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答： （Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P ∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．20.设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-2a1,Sn,2an+1成等差数列.⑴当a1=2时,求{an}的通项公式；⑵当a1=2时,设bn=log2(an2)-1,,若对于n∈N*,1/b1b2+1/b2b3+1/b3b4+……+1/bnbn+1＜k恒成立,求实数k的取值范围；⑶设cn=Sn+1,问:是否存在a1,使数列{cn}为等比数列?若存在,求出a1的值,若不存在,请说明理由.参考答案：解：（I）当时，，两式相减得：

当时，，，适合

所以是以为首项，以2为公比的等比数列，因为所以

（II）由（1）得，所以=因为，所以，所以

（III）由（1）得是以为首项，以2为公比的等比数列所以=

要使为等比数列，当且仅当所以存在，使为等比数列略21.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a＞0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜e（n∈N*，n≥2）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出lnx＜x﹣，令x=1+（n≥2），得到ln（1+）＜（﹣），累加即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，记△=1﹣4a2，当△≤0时，得a≥，若a≥，则﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，此时函数f（x）在（0，+∞）递减，当0＜a＜时，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1=，x2=，显然x1＞x2＞0，故此时函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减；综上，0＜a＜时，函数f（x）在（，）递增，在（0，）和（，+∞）递减，a≥时，函数f（x）在（0，+∞）递减；（Ⅱ）证明：令a=，由（Ⅰ）中讨论可得函数f（x）在区间（0，+∞）递减，又f（1）=0，从