2022年黑龙江省伊春市宜春黄岗中学高三数学理月考试题含解析

2022年黑龙江省伊春市宜春黄岗中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集，则右图中阴影部分表示的集合为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：A3.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两条切线互相垂直，则离心率为

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：【知识点】椭圆的简单性质．H5A

解析：椭圆的方程为：，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两条切线互相垂直，根据圆和椭圆的对称性求得∠OAB=45°，所以：，解得：，即椭圆的离心率，故选：A．【思路点拨】首先根据已知条件和圆与椭圆的对称性求出∠OAB=45°，进一步求出进一步求出椭圆的离心率的值．4.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=loga(ax2–x)在[3，4]是增函数，则a的取值范围是A．（1，+∞）

B． C．

D．参考答案：A5.若，则a=（）A．5 B．﹣5 C．5i D．﹣5i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求解．【解答】解：∵，∴，解得a=﹣5．故选：B．6.设为第二象限的角，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D7.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A． B．[2，4] C．[3，6] D．[4，6]参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）?（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D8.若函数，若,则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.已知=（5，－3），C（－1，3），=2，则点D坐标

（）

A．（11，9）

B．（4，0）

C．（9，3）

D．（9，-3）参考答案：D10.已知函数，则等于（

）A．-1

B.0

C.1

D.2参考答案：【知识点】函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断；函数的值．B4

【答案解析】D

解析：函数，则=f（lg2）+f（﹣lg2）=+=+1+=+=2．故选：D．【思路点拨】利用对数函数是奇函数以及对数值，直接化简求解即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是▲

.

参考答案：略12.关于函数有下列命题：____________.①函数的周期为； ②直线是的一条对称轴；③点是的图象的一个对称中心；④将的图象向左平移个单位，可得到的图象.其中真命题的序号是____________.（把你认为的真命题的序号都写上）参考答案：（1）（3）略13.定义在R上的函数满足：与都为偶函数，且x∈[-l，l]时，f(x)=，则在区间[-2018，2018]上所有零点之和为▲.

参考答案：2018函数的图象与函数的图象均关于直线和对称且周期为4，画出函数与的图象，如图所示：观察图象可得，两个函数的图象在区间上有两个关于直线对称的交点，在区间上没有交点，则在区间上有2个零点，在区间上所有零点之和为，在区间上所有零点之和为，…，故在区间上所有零点之和为，同理在区间上所有零点之和为，因此在区间上所有零点之和为故答案为

14.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为

．参考答案：

设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.函数，则函数的值域是

。参考答案：答案:

16.已知两定点A(－1，0)和B(1，0),动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为

.参考答案：17.若两曲线与存在公切线,则正实数的取值范围是

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3+（2+a）x2+（a﹣1）x，（a∈R）．（Ⅰ）当a=﹣2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）定义若函数H（x）有三个零点，分别记为α，β，γ，且α＜β＜γ，则称β为H（x）的中间零点，设x=t是函数g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点．（i）当t=1时，求a的取值范围；（ii）当t=a时，设x1，x2，x3是函数g（x）=（x﹣a）f′（x）的3个零点，是否存在实数b，使x1，x2，x3，b的某种排列成等差数列，若存在求出b的值，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导，利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）（i）当t=1时，求得g（x），当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则h（1）=2a+2＜0，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，根据等差数列的性质，分别讨论x1，x2，x3，b的排列，结合韦达定理，即可求得b的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，则f（x）=x3﹣3x，f′（x）=x2﹣3，令f′（x）=0，解得：x=±，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上可知：当x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，f（x）单调递增，当x∈（﹣，）时，f（x）单调递减；（Ⅱ）（i）g（x）=（x﹣t）f′（x）=（x﹣t）[x2+（a+2）x+a﹣1]，由当x=1是g（x）=（x﹣t）f′（x）的中间零点，令h（x）=x2+（a+2）x+a﹣1，则需要h（1）=2a+2＜0，即a＜﹣1，∴a的取值范围（﹣1，+∞）；（ii）假设存在b满足条件，不妨x2=a，x1＜x3，则x1＜x2=a＜x3，则x1，x3，是x2+（a+2）x+a﹣1=0，则x1+x3=﹣（a+2），x1x3=a﹣1，则x1=，x3=，①当x1，a，x3，b成等差数列，则x1+x3=2a=﹣a﹣2，解得：a=﹣，则x3﹣x1=b﹣a=，则b=a+=﹣+=，②当b，x1，a，x3成等差数列，同理求得x3﹣x1=a﹣b=，则b=a﹣=﹣﹣=﹣，③当x1，b，a，x3成等差数列，同理求得x3+x1=a+b=﹣（a+2），则a=﹣b﹣1，x1=2b﹣a=2b++1=+1，x3=2a﹣b=﹣b﹣2﹣b=﹣2b﹣2，∴x1x3=（+1）（﹣2b﹣2）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，整理得：5b2+b=0，解得：b=0或b=﹣，经检验b=0，b=﹣，满足题意，④当x1，a，b，x3成等差数列，x1+x3=a+b=﹣（a+2），则2a=﹣b﹣2，x1=2a﹣b=﹣2b﹣2，x3=2b﹣a=2b++1=+1，则x1x3=（﹣2b﹣2）（+1）=﹣5b2﹣7b﹣2=a﹣1=﹣﹣2，解得：b=0，或b=﹣，经检验b=0，b=﹣，满足题意，综上所述：b的取值为，﹣，0或﹣．19.随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店． （1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率； （2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望． 参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P． （2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出． 【解答】解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A， 则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”， 则P（A）=1﹣P=1﹣=． （2）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=， P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=． E（X）=0×+1×+2×+3×=． 【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.如图,椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2,椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于A,B两点,问在x轴上是否存在定点P,使得为定值？证明你的结论.参考答案：（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.故椭圆的方程为.（4分）（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,,则,,可得.设点,那么,若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,此时,,当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,此时,,,,综上,在轴上存在定点,使得为定值.（12分）21.已知函数，.若恒成立，求m的取值范围；已知x1，x2是函数的两个零点，且x1＜x2，求证：x1x2＜1.参考答案：令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则即.方法一：，，，即，欲证：，只需证明，只需证明，只需证明.设，则只需证明，即证：.设，，在单调递减，，，所以原不等式成立.方法二：由（1）可知，若函数有两个零点，有，则，且，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，只需证，又，即证即证，.令，，有在上单调递增，，.所以原不等式成立.22.（本题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500），单位：元）．（Ⅰ）估计居民月收入在[1500，2000）的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；（Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在[1500，2000）的居民数X的分布列和数学期望．参考答案：（Ⅰ）由题意，居民月收入在[1500，2000）的概率约为1﹣（0.0002+0.0001+0.0003+0.0005×2）×500=1﹣0.0016×500=1﹣0.8=0.2．

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