2022-2023学年福建省福州市沙京中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年福建省福州市沙京中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合M={x|=1}，N={y|=1}，M∩N=（）A．? B．{（3，0），（0，2）} C．[－2,2] D．[－3,3]参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．【解答】解：集合M={x|+=1}=[－3,3]，N={y|+=1}=R，则M∩N=[－3,3]，故选：D．2.函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：Ｂ3.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（）A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an+1，a1=1，∴a1=2a2，解得a2=．当n≥2时，Sn﹣1=2an，∴an=2an+1﹣2an，化为=．∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为．∴Sn=2an+1=2××=．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知数列数列{}满足,且.若函数，记，则的前9项和为（）A.0 B.-9 C.9 D.1参考答案：C略5.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限参考答案：D试题分析：由纯虚数的定义可得,解之得,则复数在复平面内对应的点在第四象限,故应选D.考点：复数的有关概念与几何意义.6.已知，，满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是（

）A、 B、 C、 D、参考答案：A

略7.若x，y满足约束条件，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线，找到直线，在纵轴上的截距最小时和最大时经过的点，分别把点的坐标代入目标函数中求出最小值和最大值，注意这个最大值点不在可行解域内,也就求出了目标函数的取值范围.【详解】可行解域如下图所示：

在可行解域内，平行移动直线，可以发现当直线经过点时，在纵轴上的截距最小，当经过点时，在纵轴上的截距最大，解方程组：，解方程组：,所以由于点不在可行解域内，所以，故本题选C.【点睛】本题考查了线性目标函数的取值范围，画出可行解域是解题的关键，需要注意的量本题的最大值点不在可行解域内，8.设sin（π﹣θ）=，则cos2θ=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos2θ的值．【解答】解：∵sin（π﹣θ）=sinθ=，则cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．9.曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A． B． C．1 D．2参考答案：B【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出曲线y=x3与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．【解答】解：曲线y=x3与y=x的交点坐标为（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1）曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是==根据y=x3与y=x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等∴曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为故选B10.已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（

）A．

B． C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数f(x)的部分对应值如下表：则不等式f(|x|)≤2的解集是________．参考答案：[－4,4]12.在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin∠ABD=

，BC=

．参考答案：，6．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，BH=k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△ABC==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，又S△ABC=×AC×BH==3=3，解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．13.设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．参考答案：{2，3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知成等差数列，则等比数列{an}的公比为__________．参考答案：【详解】由，，成等差数列得，即则所以或（舍），故答案为.15.已知函数的图象与函数的图象交于A、B两点,则(为坐标原点)的面积为

.

参考答案：【解题思路】由,可得,即,解得,或(舍去),结合,可得或，∴A，B,画图象如图所示，根据函数图象的对称性可得的中点,∴的面积等于与的面积之和,即16.已知向量=（－4，3），=（6，m），且⊥，则m=__________.参考答案：8【分析】利用转化得到加以计算，得到.【详解】向量则.

17.已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，椭圆C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A、B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为，且=λ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求实数λ的值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（II）运用向量共线的知识，设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得到A，B的横坐标，即可得到所求值．解答： 解：（I）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得，，由，可得，即有．将代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0，则x1=，x2=．又因为，，，所以，所以λ=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．19.(本题满分14分）如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．参考答案：（1）设抛物线的标准方程为，则，从而．因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．（2）解法一：如图作，，垂足分别为，则由抛物线的定义知，．记的横坐标分别为，，则，解得．类似地有，解得．记直线与的交点为，则．所以．故．解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．将此式代入得，故．记直线与的交点为，则，，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故．从而为定值．20.选修4-5：不等式选讲已知，，求证:.参考答案：证明：，，不妨设，则，，由排序不等式得，所以.21.已知y=是二次函数，且f(0)=8及f(x+1)－f(x)＝－2x+1

（1）求的解析式；（2）求函数的单调递减区间及值域..参考答案：解:(1)设f(0)=8得c=8

2分f(x+1)-f(x)=-2x+1得a=－１，b=2………………..5分(2)=当时,

8分单调递减区间为(1,4).值域…………..12分22.（本小题满分14分）已知椭圆（I）求椭圆的离心率；（II）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点的对称点分别为,求四边形的面积的最大值.参考答案：（I）；（II）.试题分析：（I）将椭圆方程化成标准形式得可得从而计算得即可求得离心率．（II）由题意可知，点的坐标为设的方程为则的方程为分别联立直线方程与椭圆方程消元得到一个一元二次方程，由于知道是此方程的根，利用韦达定理也就可求出另一根，即是点A或B的横坐标，进而可求出直线AB的斜率，从而就可用斜截式设出直线AB的方程；从而就可求出原点到直线的距离d,然后联立直线AB的方程与椭圆的方程，消元后得到一个关于直线AB截距为参数的一元二次方程，由韦达定理及弦长公式可将弦AB的长用直线AB截距表示出来，从而就可用直线AB截距将三角形OAB的面积表示成为直线AB截距的函数，求此函数的最大值即得到三角形OAB的面积的最大值，再注意到四边形为平行四边形,且四边形的面积为三角形OAB的面积的四倍得到结果．试题解析：（I）由题意，椭圆的标准方程为所以从而因此，故椭圆的离心率

................................4分（II）由题意可知，点的坐标为设的方程为则的方程为...............5分由

得由于是此方程的一个解.所以此方程的另一解同理

.......................7分故直线的斜率为