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文档简介

工程数学（本）形成性考核作业4综合练习书面作业（线性代数部分）一、解答题（每小题10分，共80分）1.设矩阵，，已知，求．解：由XA=B知，XAA-1=BA-1，则X=BA-1=2.设矩阵，解矩阵方程解：因为012 →102 得A-1=5 所以X=A-1B'=5-323.解矩阵方程，其中，．解：由可得(A-1)X=B由已知条件可得A-1=3558A-11=351→150-120因此，(A-1)-1=-85X=(A-1)-1B=-8554.求齐次线性方程组的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形A=1-13-12→1方程组的一般解为x1=4x3-5令x3=1，X1=4令x3=0X2=-5于是，X1方程组的通解为k1X1+k25．求齐次线性方程组的通解．解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形A=1-31-→1方程组的一般解为x1=-514x3令x3=1，得方程组的一个基础解系X1=-于是，方程组的通解为kX1(其中k为任意常数)6.当取何值时，齐次线性方程组有非零解？在有非零解的情况下求方程组的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形A=12145故当λ=7时，方程组有非零解。方程组的一般解为x1=-3x3x2令x3=1，得方程组的一个基础解系X1=-于是，方程组的通解为kX1(其中k为任意常数)7.当取何值时，非齐次线性方程组有解？在有解的情况下求方程组的通解.解：将齐次线性方程组的系数矩阵转化为阶梯形B=1111-1因R(A)=2，故当R(B)=2时，即当λ=5时，方程组有无穷多解B=111选x3为自由未知数，得解方程组即x1x2x3=C-211+8.求线性方程组的通解. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形1-24-52→1方程组的一般解为x1=-2x3-1x2=令x3=0，得方程组的一个特征解X0=(-1,2,0)不计最后一列，x3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1=(-2,1,1)于是，方程组的通解为：X=X0+kX1(其中k是任意常数)二、证明题（每题10分，共20分）1.对任意方阵，试证是对称矩阵．证明：由已知条件和对称矩阵性质(A+A')'=A'+（A'）'=A'+A=A+A'所以A+A'是对称矩阵。2.设阶方阵满足，试证矩阵可逆.证明：原式可以分解为A(I-A)

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