2022-2023学年四川省成都市双流区教科院附属学校八年级（上）测评数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市双流区教科院附属学校八年级第一学期测评数学试卷（一）一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）1．下列各数是无理数的是（）A．0.2 B．3 C．2. D．2．下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（）A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm3．下列计算中，正确的是（）A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．4．是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝5的一组解，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）甲乙丙丁9899S21.80.650.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（）A．144 B．196 C．256 D．3047．下列说法正确的是（）A．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定为零 B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 C．负数没有立方根 D．任何数的立方根都只有一个8．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（﹣3）2的算术平方根是，的倒数是．10．一组数据2，4，8，9的中位数是．11．已知一个正数的平方根分别是3﹣a和2a+3，则这个正数是．12．若：，则x+y＝．13．如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为dm．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）14．（1）计算：（）×﹣6；（2）解方程组：．15．化简求值﹣a，其中a＝﹣1．16．在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题：（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；（2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为人；（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩．平均数（分）中位数（分）方差8（1）班m90498（2）班91902917．一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m，这辆卡车能通过横截面如图所示的隧道吗？18．（1）如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ，则PQ，AP，CQ的数量关系是；（2）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）（思维拓展）如图3，△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝45°，若AD＝5，BD＝3，求CD的长度．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．如图所示，OA＝OB，数轴上点A表示的数是．20．已知实数x，y满足，则xy2的平方根为．21．如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝4，BC＝6，则DC＝．22．若a1＝1+，a2＝1+，a3＝1+，a4＝1+…，则+…+的值为．23．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：（1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为；（2）如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，请补全过程求出原方程组的解；（3）若关于m，n的方程组，则方程组的解为．25．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如（+3）（﹣3）＝﹣4，（+）（﹣）＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如＝＝，＝＝7+4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）计算：++…+；（3）设实数x，y满足（x+）（y+）＝2019，求x+y+2019的值．26．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM＝EM；（3）当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝5CM，则的值为．

参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分，答案涂在答题卡上）1．下列各数是无理数的是（）A．0.2 B．3 C．2. D．【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．解：A．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；C．2.是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是无理数，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．2．下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（）A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．解：A、∵32+52＝34，52＝25，∴32+52≠52，∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵42+52＝41，82＝64，∴42+52≠82，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵122+52＝169，132＝169，∴122+52＝132，∴能构成直角三角形，故C符合题意；D、∵2+4＝6＜7，∴不能构成三角形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．下列计算中，正确的是（）A． B．2+＝2 C．2﹣2＝ D．【分析】利用二次根式的加减法的法则及乘法的法则对各项进行运算即可．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、2与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；C、2与﹣2不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．是关于x，y的二元一次方程x﹣ay＝5的一组解，则a的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据题意，可得：1﹣（﹣2）a＝5，据此求出a的值是多少即可．解：根据题意，可得：1﹣（﹣2）a＝5，∴2a+1＝5，解得a＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．5．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）甲乙丙丁9899S21.80.650.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，∵丁的方差较小，∴丁发挥稳定，∴选择丁参加比赛．故选：D．【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．如图，以一直角三角形的三边分别向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则B所代表的正方形的面积为（）A．144 B．196 C．256 D．304【分析】正由方形的面积公式得出AC2＝25，AD2＝169，再由勾股定理得CD2＝AD2﹣AC2＝169﹣25＝144，即可得出答案．解：如图，由正方形的面积公式得：AC2＝25，AD2＝169，由勾股定理得：CD2＝AD2﹣AC2＝169﹣25＝144，∴B所代表的正方形的面积为144，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、正方形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．下列说法正确的是（）A．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定为零 B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 C．负数没有立方根 D．任何数的立方根都只有一个【分析】根据平方根及立方根的定义及性质进行逐项判断即可．解：若一个数的立方根等于它本身，则这个数为±1或0，则A不符合题意；负数有立方根，但没有平方根，则B不符合题意；任何实数都有立方根，则C不符合题意；任何数的立方根都只有一个，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平方根及立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．8．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是（）A． B． C． D．【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝36，列方程组即可．解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意得：，故选：C．【点评】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（﹣3）2的算术平方根是3，的倒数是﹣．【分析】直接利用算术平方根的定义结合倒数的定义化简得出答案．解：（﹣3）2＝9的算术平方根是3，的倒数是：﹣．故答案为：3，﹣．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．10．一组数据2，4，8，9的中位数是6．【分析】根据中位数的定义求解即可．解：数据2，4，8，9的中位数是＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．11．已知一个正数的平方根分别是3﹣a和2a+3，则这个正数是81．【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，从而可得到关于a的方程，然后再求得a的值，最后依据平方根的定义求得这个正数即可．解：∵一个正数的平方根分别是3﹣a和2a+3，∴3﹣a+2a+3＝0，解得：a＝﹣6，∴3﹣a＝3﹣（﹣6）＝9．∴这个正数＝92＝81．故答案为：81．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．12．若：，则x+y＝5．【分析】先解出方程组的解，然后求出x+y；或直接让两个方程相加整体求得x+y的值．解：方法一：（1）×2﹣（2）得：3y＝3，y＝1．将y＝1代入（1）得：x+2＝6，x＝4．∴x+y＝1+4＝5x+y＝5．方法二：两个方程相加，得3x+3y＝15，x+y＝5．【点评】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．注意此题中的整体思想．13．如图，已知圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为6dm．【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为12dm，圆柱高为9dm，∴AB＝9cm，BC＝BC′＝6cm，∴AC2＝92+62＝117，∴AC＝3（cm），∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）14．（1）计算：（）×﹣6；（2）解方程组：．【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）先利用加减消元法求出y，然后利用代入消元法求出x，从而得到方程组的解．解：（1）原式＝﹣2﹣3＝3﹣6﹣3＝﹣6；（2），①×5﹣②×2得﹣25y+4y＝﹣15+36，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得2x+5＝﹣3，解得x＝﹣4，所以原方程组的解为．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．15．化简求值﹣a，其中a＝﹣1．【分析】将原式变形后代入数值，根据二次根式的性质计算即可．解：∵a＝﹣1，∴a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，∴原式＝﹣a＝1﹣a﹣a＝1﹣2a＝1﹣2（﹣1）＝1﹣2+2＝3﹣2．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，结合已知条件将原式进行正确的变形是解题的关键．16．在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题：（1）求各班参赛人数，并补全条形统计图；（2）此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为1人；（3）小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩．平均数（分）中位数（分）方差8（1）班m90498（2）班919029【分析】（1）从两个统计图可知八（2）班成绩为A等级的学生有2人，占调查人数的20%，由频率＝可求出八（2）班调查人数，进而求出八（1）班成绩为C等级的人数，补全条形统计图；（2）根据频率＝进行计算即可；（3）根据平均数的计算方法进行计算即可求出m的值，再根据优秀率的大小和方差的大小得出结论即可．解：（1）八（2）班调查人数为2÷20%＝10（人），即八（1）班调查人数也是10人，所以样本中八（1）班成绩在C等级的人数为10﹣3﹣5＝2（人），补全条形统计图如下：（2）8（2）班成绩为C级的人数为10×（1﹣20%﹣70%）＝1（人），故答案为：1；（3）八（1）班学生成绩的平均数为＝91（分），即m＝91，八（1）班学生成绩的优秀率为＝80%，八（2）班学生成绩的优秀率为20%+70%＝90%，从优秀率看，80%＜90%，所以八（2）班的成绩较好，从方差来看，49＜29，所以八（2）班的成绩较稳定．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率＝是正确解答的关键．17．一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m，这辆卡车能通过横截面如图所示的隧道吗？【分析】作弦EF∥AD，且EF＝2.8m，OH⊥EF于H，连接OF，在直角三角形OFH中，由勾股定理求出OH，再求出隧道高，就可以判断．解：作弦EF∥AD，且EF＝2.8m，OH⊥EF于H，连接OF，则HF＝1.4m，又OH＝＝＝（m），∴隧道高HG＝OH+OG＝OH+AB＝2.6+（m），∵2.6+＞4，∴这辆卡车能通过隧道．【点评】本题考查了圆中垂径定理，勾股定理以及矩形性质的实际应用，属于中考常考题，灵活运用所学知识是解题关键．18．（1）如图1，等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q，连接PQ，则PQ，AP，CQ的数量关系是PQ＝AP+QC；（2）如图2，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）（思维拓展）如图3，△ABC中，AD⊥BC，∠BAC＝45°，若AD＝5，BD＝3，求CD的长度．【分析】（1）由旋转的性质可得BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∠A＝∠BCE＝90°，由“SAS”可证△BQE≌△BQP，可得PQ＝QE，可得结论；（2）由旋转的性质可得BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，由“SAS”可证△BQE≌△BQP，可得PQ＝QE，可得结论；（3）分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，证明四边形AEGF是正方形；设CD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出CD的值．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝∠ABC＝90°，如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∠A＝∠BCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝180°，∴点E，点C，点D三点共线，∵BP＝PF，∠BPF＝90°，∴∠PBF＝45°，∴∠ABP+∠CBQ＝45°，∴∠EBC+∠CBQ＝45°＝∠QBE＝∠PBF，∵BE＝BP，BQ＝BQ，∴△BQE≌△BQP（SAS），∴PQ＝QE，∴PQ＝QE＝QC+CE＝AP+QC，故答案为：PQ＝AP+QC；（2）CQ＝AP+PQ，理由如下：如图2，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，AP＝CE，∵∠PBF＝45°，∴∠ABP+∠ABQ＝45°，∴∠EBC+∠ABQ＝45°＝∠QBE＝∠PBF，∵BE＝BP，BQ＝BQ，∴△BQE≌△BQP（SAS），∴PQ＝QE，∴PQ＝QE＝QC﹣CE＝QC﹣AP，∴CQ＝AP+PQ；（3）∵△ABE由△ABD翻折而成，△ACF由△ACD翻折而成，∴△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°．又∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．∴四边形AEGF是矩形，又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴矩形AEGF是正方形，且边长为5，设CD＝x，则CF＝x，CG＝5﹣x，BG＝2，在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，∴22+（5﹣x）2＝（3+x）2．解得x＝，即CD＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．如图所示，OA＝OB，数轴上点A表示的数是﹣．【分析】利用勾股定理求得线段OB的长，结合数轴即可得出结论．解：OB＝＝．∵OA＝OB，∴OA＝．∴数轴上点A表示的数是：﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段OB的长度是解题的关键．20．已知实数x，y满足，则xy2的平方根为±6．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x、y的值，最后，再进行计算即可．解：∵实数x，y满足，∴x＝2，y＝3．∴xy2＝2×18＝36．∴xy2的平方根为±6．故答案为：±6．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．21．如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG＝4，BC＝6，则DC＝．【分析】连结EG，由E是AD的中点，可证明Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），即知FG＝DG＝4，设DC＝x，在Rt△BCG中，可得（x+4）2＝（4﹣x）2+62，即可解得答案．解：连结EG，如图：∵E是AD的中点，∴DE＝AE＝EF，在矩形ABCD中，∠D＝∠A＝∠BFE＝90°＝∠GFE，∵EG＝EG，∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL），∴FG＝DG＝4，设DC＝x，则CG＝DG﹣DC＝4﹣x，BG＝BF+FG＝AB+FG＝DC+FG＝x+4，在Rt△BCG中，BG2＝CG2+BC2，∴（x+4）2＝（4﹣x）2+62，解得：x＝，故答案为：．【点评】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理解决问题．22．若a1＝1+，a2＝1+，a3＝1+，a4＝1+…，则+…+的值为2022．【分析】根据题目中的已知条件，即可求求得a1、a2、a3、a4，…，a2022的值，观察式子的规律即可求得答案．解：∵a1＝1+＝1+＝1++＝[1+]2，a2＝1+＝1+＝1++＝[1+]2，a3＝1+＝1+＝1++＝[1+]2，a4＝1+＝1+＝1++，…，a2022＝1++＝1+＝1++＝[1+]2，∴+…+＝1++1++1++1++…+1+＝2022+1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2023﹣＝2022；故答案为：2022．【点评】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式和数字变化的规律，解题的关键是用裂项法将分数代成﹣，再化简，寻找抵消规律求和．23．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．【分析】连接CF，F点在直线CF上运动；由已知可证明△ABE≌△BCF（ASA），当DF⊥CF时，DF最小，求出AE＝，即可求解．解：连接CF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BCAC，∵线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴F点在直线CF上运动，∴CF＝AE，∠BCF＝30°，∴F点在直线CF上运动，当DF⊥CF时，DF最小，∵CD＝3，∴CF＝∴AE＝，∵AD＝3，∴DE＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，点的轨迹；熟练掌握等边三角形的性质，能够通过主动点的运动确定从动点的运动轨迹是解题的关键．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：（1）解方程组，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为；（2）如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，请补全过程求出原方程组的解；（3）若关于m，n的方程组，则方程组的解为．【分析】（1）用加减消元法即可；（2）把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，即可解题；（3）设m+n＝x，m﹣n＝y，即可解题．解：（1）相加得6x＝12，即x＝2，代入得y＝3.5，故此方程组的解为；（2）由已知得，解得，即，解得；（3）设m+n＝x，m﹣n＝y，得，解得，即，解得．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，关键是整体代换法的熟练应用．25．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如（+3）（﹣3）＝﹣4，（+）（﹣）＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如＝＝，＝＝7+4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：（1）比较大小：＜（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）计算：++…+；（3）设实数x，y满足（x+）（y+）＝2019，求x+y+2019的值．【分析】（1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；（2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可；（3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可．解：（1）＝＝，＝＝2+，即+＜2+，则＜，故答案为：＜．（2）∵＝＝＝＝﹣，∴原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+⋯+（﹣）＝1﹣＝．（3）∵（x+）（y+）＝2019，∴x+＝，∴x+＝﹣y①，同理y+＝﹣x②，∴①+②得x+y++＝+﹣（x﹣y），∴x+y＝0，即x+y+2019＝2019．【点评】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．26．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M．求证：BM＝EM；（3）当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若2AC＝5